Конспект урока "Теорема Пифагора" 8 класс
МОУ «Средняя общеобразовательная школа
№41»
Урок по теме
"Теорема
Пифагора"
8 класс
учитель
математики Тарабина Г.М
г. Саранск
2014 год.
Тип урока: изучение нового материала.
Урок проводится в виде спектакля, в ходе которого восьмиклассники знакомят
своих одноклассников с теоремой Пифагора, с её историей, с ее доказательством
показывают её применение в ходе решения задач;
Действующие лица: учитель, Пифагор, ученики Пифагора- Пифагорейцы
Учитель. Теорема Пифагора издавна широко применялась в разных областях науки,
техники и практической жизни. Интересна ее история. Хотя эта теорема и
связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских
текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда еще
не знали ее доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами
было установлено опытным путем на основе измерений сначала для
равнобедренных прямоугольных треугольников. Взглянув на эту мозаику, мы
убеждаемся, что квадрат, построенный на гипотенузе, содержит 4 треугольника, а на
каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника.
О том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 есть прямоугольный, знали 200 лет
до н.э., египтяне, которые вероятно, пользовались этим отношением для построения
прямых углов при сооружении зданий. В Китае предложение о квадрате гипотенузы было
известно, по крайней мере, за 500 лет до Пифагора. Эта теорема была известна и в Древней
Индии, об этом свидетельствуют следующие предложения, содержащиеся в “Сутрах”.
1) B C
A D
Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его большей и меньшей
стороне.
Квадрат на диагонали квадрата в два раз больше самого квадрата.
Пифагор, по-видимому, нашел доказательство этого соотношения.
Сохранилось древнее придание, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам
быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. И так с Пифагором вас познакомит один из
его учеников.
Ученик Пифагора
О ПИФАГОРЕ (VI в до н.э.).
Письменных документов о Пифагоре Самосском не осталось, а по более поздним
свидетельствам трудно восстановить подлинную картину его жизни и достижений. Известно, что
Пифагор покинул свой родной остров Самос в Эгейском море у берегов Малой Азии в знак
протеста против тирании правителя и уже в зрелом возрасте (по преданию в 40 лет) появился в
греческом городе Кротоне на юге Италии. Пифагорейцы узнавали друг друга по звездчатому
пятиугольнику-пентаграмме.На учение Пифагора большое влияние оказала философия и
религия Востока. Он много путешествовал по странам Востока: был в Египте и в Вавилоне. Там
Пифагор познакомился и с восточной математикой. Математика стала частью его учения. Мир
чисел жил для них особой жизнью, числа имели свой особый низменный смысл. Числа, равные
сумме своих делителей, воспринимались как совершенные (6, 28, 496). Числа, их которых
каждое равнялось сумме делителей другого (220 и 284) – дружественные. Пифагор впервые
разделил числа на четные и нечетные, простые и составные. Пифагорейцы знали правильные
тела: тетраэдр, куб и додекаэдр. Ему приписывают систематическое введение доказательств в
геометрии, создание планиметрии прямолинейных фигур, учения о подобии.Следует заметить,
что Пифагор считал Землю шаром, движущимся вокруг Солнца. Когда в XVI в. церковь начала
ожесточенно преследовать учение Коперника, это учение упорно именовалось пифагорейским.
Выступление Пифагора
Прежде, чем мои ученики предоставят, вам возможность познакомится с двумя
древнейшими доказательствами теоремы, названные в мою честь, я бы хотел проверить вашу
подготовку к восприятию этих теорем. Так как доказательство теоремы Пифагора считалось в
кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногдаPonsasinorum – ослиный
мост или elefuga – бегство убогих, так как некоторые ученики, не имевшие серьезной
математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы
наизусть, без понимания и прозванные поэтому “ослами” не были в состоянии преодолеть
теорему Пифагора,служившую для них вроде непроходимого моста.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (8мин)
1. Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что
и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции.
Для вычисления площади S четырехугольника со сторонами а, Ь, с, d применялась
формула S = a+c/2 * b+d/2,т.е. умножались полусуммы противоположных сторон. Эта
формула верна только для прямоугольника или с ее помощью можно вычислить
приблизительно площадь таких четырехугольников. У которых, углы близки к прямым. Эта
формула имеет название “египетская”, докажите, что она верна только для вычисления
площади прямоугольника.
2. Задача ал-Караджи
Найти площадь прямоугольника основание, которого вдвое больше высоты, а площадь
численное равна периметру.
3. Докажите, что площадь четырехугольника с перпендикулярными диагоналями равна
половине произведения диагоналей S =
(Проверка самостоятельной работы)
Ученики Пифагора
I. Одно из наглядных старейших доказательств теоремы Пифагора, содержащееся в одном из
произведений Бхаскары (XIIвек) состоит в следующем:
Пусть ABDE квадрат, стороны которого равны гипотенузе
прямоугольного треугольника ABC (AB = c, BC = a, AC = b).
Пусть DKBC, она равна а, ELDK, AMELABCBDKDELAMEKL =
LM = MC = CK = a-b.
II. Одно из древнейших доказательств дано, как полагает Проки, Евклидом и изложено
им в “Началах”. Как формулировка, так и доказательство теоремы Пифагора имеют у
Евклида чисто геометрический характер. (Рис.1)
На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника BAC он строит соответствующие
квадраты и доказывает, что квадрат, построенный на гипотенузе равновелик сумме
квадратов, построенных на катетах следующим образом
DBC=FBA
DBCABCFBAABCDBAFBC(
Но ABC BDLJ (
-
-FBC
HFBA,
-
HFBA BDLJ
GKCA CELG
HFBA GKCA
EDBCABC.
Пифагора
Мы рассмотрели два доказательства теоремы Пифагора нашими предками, ну а
теперь попробуйте доказать теорему Пифагора.
При доказательстве вы должны использовать свойства площадей
многоугольников, формулы площади квадрата треугольника
(учащиеся самостоятельно доказывают теорему Пифагора)
В настоящее время насчитывается более ста доказательств. Через несколько уроков
мы будем изучать главу “Подобные треугольники”, пройдя признаки подобия, мы
сможем разобрать еще вариант доказательства этой теорему. Знакомство с понятием
косинус угла прямоугольного треугольника, помогает разобрать еще один из вариантов
доказательства.
Учитель
На основании теоремы Пифагора выводится и формула, выражающая площадь
любого треугольника через длины его сторон
, где p–полупериметр;a,B,c - стороны треугольника
эта формула Герона, она названа в честь древнегреческого математика Герона
Александрийского.
Пифагор
Я очень горд, что многие известные мыслители и писатели прошлого обращались к
этой замечательной теореме и посвятили ей свои строки.
Поэт Генрих Гейне, известный своими антирелигиозными взглядами и
язвительными насмешками над суевериями, в одном из своих произведений высмеивает
“учение” о переселении душ следующим образом:
“Кто знает? Кто знает Дума Пифагора поселилась быть может в беднягу-кандидата
не сумевшего доказать теорему Пифагора и поэтому провалившегося на экзамене, тогда
как в его экзаменаторах обитают души тех самых быков, которых некогда Пифагор принес
в жертву бессмертным богам, обрадованный открытием своей теоремы”.
Подведение итогов урока:
- Что нового вы узнали сегодня на уроке?
- Сформулируйте теорему Пифагора.
- Что вы научились делать на уроке?
Домашнее задание:
Литература:
Л.С. Атанасян учебник «Геометрия 7-9» Москва «Просвещение» 2009 г.
Е.М. Рабинович «Задачи и упражнения на готовых чертежах».
Геометрия 7-9 Москва-Харьков «ИЛЕКСА» «ГИМНАЗИЯ» 2003 г.
Интернет ресурсы.
Геометрия - еще материалы к урокам:
- Самостоятельная работа "Параллельность прямых в пространстве"
- Конспект урока "Третий признак равенства треугольников" 7 класс
- Презентация "Параллельные прямые. Признаки и свойства параллельных"
- Презентация "Площади фигур"
- Конспект урока "Решение треугольников. Измерения на местности" 9 класс
- Конспект урока "Сложение векторов" 9 класс
