Конспект урока "Алгоритм построения параболы" 9 класс
Графическое изображение функций
Рассмотрим произвольное уравнение с двумя неизвестными и
, например, , разрешенное относительно неизвестной .
Это уравнение можно понимать как функцию от независимой
переменной . Областью определения функции являются все
действительные числа . Чтобы построить график функции
, рассмотрим некоторое допустимое значение и
отвечающее ему значение . Например, пусть , тогда
. Найдем несколько таких значений (решений
уравнения):
Х
-2
-1
0
1
2
у
4
-2
-4
-2
4
Рис. 8.2. График функции
Каждое решение уравнения представляет собой пару чисел;
рассматривая значение неизвестной как абсциссу, а значение
неизвестной как ординату, построим эту точку. Полученная точка
служит геометрическим изображением решения исходного
уравнения. Поскольку областью определения функции являются все
действительные числа, то уравнение имеет бесконечное множество
решений. Построим такие точки для всех допустимых значений .
Геометрическое место точек, изображающих решение уравнения с двумя
неизвестными, называется графиком этого уравнения или графиком
определяемой им функции. График функции изображен на
рис. 8.2.
График функции – это множество точек, у которых абсциссы
являются допустимыми значениями аргумента , а ординаты –
соответствующими значениями функции . Изображать функцию
x
у
4
2
2 xу
у
у
x
)(xу
,x
4
2
2 xу
x
у
2x
44
2
22 у
00
, yx
0
x
x
0
y
y
00
, yx
x
4
2
2 xу
x
y
графически очень удобно, поскольку, посмотрев на график, сразу
можно определить характер поведения функции.
Если буквально следовать определению, то для построения
графика функции нужно найти все пары соответствующих значений
аргумента и функции и построить все точки с этими координатами. В
большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек
бесконечно много. Поэтому обычно находят несколько характерных
точек, принадлежащих графику, и соединяют их либо отрезками
прямой, либо плавной кривой. Чтобы выяснить, какие точки следует
прежде всего определить для построения графика, рассмотрим общие
свойства функций.
Общие свойства функции
Определение 4. Функция называется четной, если она
обладает следующими двумя свойствами:
1) область определения этой функции симметрична относительно
точки (начала координат), то есть если точка принадлежит
области определения, то и точка также принадлежит области
определения;
2) для любого значения , взятого из области определения
функции, выполняется равенство .
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Определение 5. Функция называется нечетной, если:
1) область определения этой функции симметрична относительно
точки (начала координат), то есть если точка принадлежит
области определения, то и точка также принадлежит области
определения;
2) для любого значения , взятого из области определения
функции, выполняется равенство .
График нечетной функции симметричен относительно начала
координат.
Замечание. При построении графиков четных и нечетных функций
достаточно построить только правую ветвь графика – для положительных
значений аргумента. Левая ветвь достраивается четным или нечетным
образом.
Определение 6. Функция называется периодической,
если существует такое число , что для любого значения ,
взятого из области определения функции, значения также
принадлежат этой области определения и выполняется равенство
.
)(xfy
O
x
)( x
x
)()( xfxf
)(xfy
O
x
)( x
x
)()( xfxf
)(xfy
0Т
x
Тx
)()( Txfxf
Число называется периодом функции. Для всякого целого
числа значение также является периодом. Следовательно,
всякая периодическая функция имеет бесконечное множество
периодов. На практике обычно рассматривают наименьший
положительный период.
Значения периодической функции через промежуток, равный
периоду, повторяются. Это обстоятельство используется при
построении графика.
Определение 7. Нулем функции называется то действительное
значение , при котором значение функции равно нулю.
Чтобы найти нули функции, необходимо решить уравнение
. Графически нули функции представляют собой абсциссы
точек, в которых график этой функции пересекает ось абсцисс или
касается её. Функция может не иметь нулей.
Определение 8. Функция монотонно возрастает на
интервале , если для любых и , принадлежащих интервалу
, из неравенства следует неравенство .
Функция монотонно убывает на интервале , если
для любых и , принадлежащих интервалу , из неравенства
следует неравенство .
Интервал принадлежит области определения функции.
Рассмотрим функции, которые наиболее часто встречаются.
Основные элементарные функции
К основным элементарным функция относятся следующие:
1. Степенная функция , где - любое действительное
число.
2. Показательная функция , где .
3. Логарифмическая функция , где .
4. Тригонометрические функции
.
5. Обратные тригонометрические функции
.
Основные элементарные функции могут соединяться между собой
с помощью арифметических действий (сложения, вычитания,
умножения, деления), а также взятия функции от функции
(суперпозиции функций).
T
0k
Tk
x
0)( xf
)(xfy
ba;
1
x
2
x
ba;
12
xx
)()(
12
xfxf
)(xfy
ba;
1
x
2
x
ba;
12
xx
)
1
()
2
( xfxf
ba;
xy
x
ay
1,0 aa
x
a
y log
1,0 aa
,,cos,sin tgxyxyxy
ctgxy
,arccos,arcsin xyxy
arcctgxarctgxy ,
В данном разделе остановимся только на степенных функциях, а
остальные определим позднее.
Функция, заданная формулой , где и – некоторые
числа, называется линейной функцией. Областью определения
линейной функции служат все действительные числа.
График линейной функции – прямую линию, удобно строить по двум
точкам: точке А с координатами и точке В с координатами
, . В случае прямая проходит через начало
координат и для построения графика следует взять еще одну точку,
например точку . В случае прямая параллельна оси ОХ. В
частности, уравнение определяет ось , а уравнение
определяет ось .
bkxy
k
b
byx ,0
k
b
xy ,0
)( 0k
0b
);1( kC
0k
0y
Ox
0x
Oy
