Презентация "Вписанная и описанная окружности" 8 класс Л.С. Атанасян

8 класс

Л.С. Атанасян Геометрия 7-9

Вписанная и описанная

окружности

О

D

В

С

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник.

А

E

А многоугольник называется описанным около этой окружности.

D

В

С

Какой из двух четырехугольников АВСD или АЕКD является описанным?

А

E

К

О

D

В

С

В прямоугольник нельзя вписать окружность.

А

О

D

В

С

Какие известные свойства нам пригодятся при изучении вписанной окружности?

А

E

О

К

• Свойство касательной

• Свойство отрезков

касательных

F

P

D

В

С

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

А

E

О

a

a

R

N

F

b

b

c

c

d

d

D

В

С

Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 15 см.

Найдите периметр этого четырехугольника.

А

О

№ 695

ВC+AD=15

AB+DC=15

PABCD = 30 см

D

F

Найти FD

А

О

N

?

4

7

6

5

D

В

С

Равнобокая трапеция описана около окружности. Основания трапеции равны 2 и 8. найдите радиус вписанной окружности.

А

ВC+AD=10

AB+DC=10

2

8

5

5

2

N

F

3

3

4

S

L

О

D

В

С

Верно и обратное утверждение.

А

О

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

ВС + АD = АВ + DC

D

В

С

Можно ли в данный четырехугольник вписать окружность?

А

О

5 + 7 = 4 + 8

5

7

4

8

В

С

А

В любой треугольник можно вписать окружность.

Теорема

Доказать, что в треугольник можно вписать окружность

Дано: АВС

K

В

С

А

L

M

О

1) ДП: биссектрисы углов треугольника

2) СOL = COМ, по гипотенузе и ост. углу

ОL = MО

Проведем из точки О перпендикуляры к сторонам треугольника

3) МОА= КОА, по гипотенузе и ост. углу

МО = КО

4) LО=MО=KО

точка О равноудалена от сторон треугольника. Значит, окружность с центром в т.О проходит через точки K, L и M. Стороны треугольника АВС касаются этой окружности. Значит, окружность является вписанной

АВС.

K

В

С

А

В любой треугольник можно вписать окружность.

L

M

О

Теорема

D

В

С

Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

А

№ 697

F

r

a1

a2

a3

r

О

r

…

+

К

О

D

В

С

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника.

А

E

А многоугольник называется вписанным в эту окружность.

О

D

В

С

Какой из многоугольников, изображенных на рисунке является вписанным в окружность?

А

E

L

P

X

E

О

D

В

С

А

E

О

А

В

D

С

Какие известные свойства нам пригодятся при изучении описанной окружности?

• Теорема о вписанном угле

О

А

В

D

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800.

С

+

3600

?

590

?

900

?

650

?

1000

D

А

В

С

О

800

1150

D

А

В

С

О

1210

Найти неизвестные углы четырехугольников.

D

Верно и обратное утверждение.

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 1800, то около него можно вписать окружность.

А

В

С

О

800

1000

1130

670

О

D

А

В

С

790

990

1230

770

В

С

А

Около любого треугольника можно

описать окружность.

Теорема

Доказать, что можно описать окружность

Дано: АВС

K

В

С

А

L

M

О

1) ДП: серединные перпендикуляры к сторонам

ВО = СО

2) ВOL = CO L, по катетам

3) СОМ = АOМ, по катетам

СО = АО

4) ВО=СО=АО, т.е. точка О равноудалена от вершин треугольника. Значит, окружность с центром в т.О и радиусом ОА пройдет через все три вершины треугольника, т.е. является описанной окружностью.

K

В

С

А

Около любого треугольника можно описать

окружность.

L

M

Теорема

О

О

В

С

А

О

В

С

А

№702 В окружность вписан треугольник АВС так, что АВ – диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: а) ВС = 1340

1340

670

230

б) АС = 700

700

550

350

О

В

С

А

№703 В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. Найдите углы треугольника, если ВС = 1020.

1020

510

(1800 – 510) : 2

= 1290 : 2

= 128060/ : 2

= 64030/

О

В

С

А

№704 (a) Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника. Докажите, что точка О – середина гипотенузы.

1800

д и а м е т р

О

В

С

А

№704 (б) Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника. Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен d, а один из острых углов треугольника равен .

d

О

С

В

А

№705 (а) Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если АС=8 см, ВС=6 см.

8

6

10

5

5

О

С

А

В

№705(б) Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если АС=18 см,

18

300

36

18

18

О

В

С

А

Боковые стороны треугольника, изображенного на рисунке, равны 3 см. Найти радиус описанной около него окружности.

1800

3

3

О

В

С

А

Радиус окружности, описанной около треугольника, изображенного на чертеже, равен 2 см.

Найти сторону АВ.

1800

2

2

450

?