Ученики на Учителя.com


Повторение школьного курса геометрии. Планиметрия. Прямоугольный треугольник

Название предмета – геометрия Класс - 11 Уровень обучения - базовый
УМК (название учебника, автор, год издания) - Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б.
Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013
Тема урока – Повторение школьного курса геометрии. Планиметрия. Прямоугольный треугольник.
Цель урока – организовать деятельность учащихся по:
− систематизации знаний об изученных свойствах прямоугольных треугольников,
− решению планиметрических задач с применением алгебраического и тригонометрического аппаратов.
Задачи урока:
1. Создать условия для достижения предметных планируемых результатов урока: на базовом уровне ученик должен знать (понимать) значение
математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике и уметь:
− решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей) прямоугольных треугольников;
− проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач
2. Создать условия для достижения метапредметных планируемых результатов урока (развития универсальных учебных действий), которые
выражаются в:
− формировании интеллектуальной культуры, выражающейся в развитии абстрактного и критического мышления, умении распознавать
логически некорректные высказывания, применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, способности ясно, точно и
грамотно формулировать и аргументированно излагать свои мысли в устной и письменной речи, корректности в общении;
− формировании информационной культуры, выражающемся в умении осуществлять поиск, отбор, анализ, систематизацию и
классификацию информации, использовать различные источники информации для решения учебных проблем;
− формировании умения видеть различные стратегии решения задач, планировать и осуществлять деятельность, направленную на их
решение, проверять и оценивать результаты деятельности, соотнося их с поставленными целями и личным жизненным опытом, а также
публично представлять её результаты, в том числе с использованием средств информационных и коммуникационных технологий.
3. Создать условия для достижения личностных планируемых результатов урока, к которым относятся:
− способность к эстетическому восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений;
− потребность в самообразовании, готовность принимать самостоятельные решения.
Общее количество часов, отведенное на изучение темы - 1
Место урока в системе уроков по теме – первый урок из раздела «Повторение школьного курса геометрии».
Техническое обеспечение урока – ПК, проектор, экран (или ПК и TV)
Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы)
Структура урока - мотивация – анализ содержания учебного материала – выделение главного в учебном материале – обобщение и систематизация
– установление внутрипредметных и межпредметных связей – рефлексия.
Содержание урока:
1.Организационный этап (мотивация)
Учитель обращает внимание учеников на раздаточный материал – опорный конспект темы «Треугольники» (находится в конце плана урока), который
учащиеся вместе с педагогом составили в 9 классе, и предлагает сформулировать тему и цель урока.
Ученики приходят к выводу, что повторив общие свойства всех треугольников, необходимо повторить свойства и признаки прямоугольного
треугольника, как наиболее востребованного к решению задач вида треугольников. Формулируют тему и цель урока.
2.Этап актуализации субъектного опыта учащихся
Учитель организует анализ содержания учебного материала, содержащегося в опорном конспекте и выделение главного в учебном материале.
Ученики находят и повторяют признаки и свойства прямоугольного треугольника.
3.Этап обобщения и систематизации
Учитель вовлекает учащихся в планирование их предстоящей деятельности на уроке и организует обобщение и систематизацию знаний по теме
«Прямоугольный треугольник» через классификацию задач по теме. При этом можно воспользоваться сайтом https://math-ege.sdamgia.ru/ и вывести
на экран Каталог заданий и задания из 3, 6, 16.
Ученики знакомятся с классификацией заданий и выделяют те из них, которые необходимо решить на этом уроке.
Учитель организует установление внутрипредметных и межпредметных связей, используя задачи практического содержания и задания из других
разделов геометрии. Организует устное решение типичных задач (тексты задач и при необходимости чертежи к ним выводятся на экран):
1
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC =
4,
. Найдите АВ
В треугольнике АВС угол С равен 90°, АС = 4,8 ,


. Найдите АВ. (Ответ: 5)
3
В треугольнике ABC угол C
равен 90°,АВ = 13, 
.
Найдите высоту CH.
2
Найдите площадь квадрата, изображённого на
клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см.
рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4
В треугольнике ABC угол ACB
равен 90°, угол B равен 58°, CD
— медиана. Найдите угол ACD.
Ответ дайте в градусах
5
Один из углов прямоугольного треугольника равен 29°. Найдите угол между высотой и биссектрисой,
проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
6
Острые углы прямоугольного треугольника равны 24° и 66°. Найдите угол между биссектрисой и медианой,
проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Учитель может воспользоваться задачами из уже представленного Каталога заданий и подобрать задачи разного уровня сложности. Задачи можно
взять из открытого банка заданий с сайта http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege.
4.Этап применения изученного
Учитель организует решение задач, при этом возможна групповая или парная работа с последующей презентацией решений:
1. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 6 и 10.
2. В треугольнике ABC угол ACB равен 90°, угол B равен 58°, CD — медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
3. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
4. Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший
угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
5. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
6. В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, угол А равен 30º , АВ = 4 . Найдите СН.
5.Этап информации о домашнем задании
Учитель предлагает учащимся сформулировать домашнее задание. Возможны варианты:
1. Повторить или выучить опорный конспект по теме «Треугольники».
2. Решить вариант из 2-3 задач, составленный и размещённый учителем на сайте https://math-ege.sdamgia.ru/
3. Составить вариант из 2-3 задач по теме урока самостоятельно.
6.Этап подведения итогов учебного занятия
1. Какую цель мы сформулировали в начале урока?
2. Что мы сделали для её достижения?
3. Достигли ли мы цели урока? Ответ обоснуйте.
7.Рефлексия
Используя цвета светофора (зеленый – могу идти дальше, желтый – есть повод подумать, красный – остановись и поработай),
1. Оцените свои знания по теме урока.
2. Оцените свою деятельность на уроке.
3. Оцените своё настроение на уроке.
Опорный конспект по теме «Треугольники»
Равнобедренные
Опр.: треугольник
называется
равнобедренным,
если две его
стороны равны
Прямоугольные
Опр.: если один из углов треугольника
прямой, то он прямоугольный
Равные
Опр: треугольники называются
равными, если их можно
совместить наложением.
Подобные
Опр.: два треугольника
называются подобными, если
их углы соответственно равны
и стороны одного
треугольника
пропорциональны
сходственным сторонам
другого.
Общие свойства
1.Сумма углов треугольника равна 180º.
2.Внешний угол треугольника равен сумме
двух углов треугольника, не смежных с ним.
3.Каждая сторона треугольника меньше
суммы двух других сторон. В треугольнике
против большей стороны лежит больший угол
и наоборот. Против равных углов лежат
равные стороны и наоборот.
4.Средняя линия треугольника параллельна
одной из его сторон и равна половине этой
стороны.
5.S =

=
=
6.S =
 

 
  
7. S =
ab·sin C
8. В любом треугольнике медианы
пересекаются в одной точке, которая делит
каждую медиану в отношении 2:1, считая от
вершины.
9. В любом треугольнике биссектрисы
пересекаются в одной точке, которая является
центром вписанной окружности.
10. В любом треугольнике высоты
пересекаются в одной точке
11. В любом треугольнике серединные
перпендикуляры пересекаются в одной точке,
которая является центром описанной
окружности.
12. теорема синусов:

=

=

13. теорема косинусов: a² = b²+c²-2bc·cosA
Медиана треугольника
Опр.: отрезок, соединяющий вершину с
серединой противоположной стороны.
Биссектриса треугольника
Опр.: отрезок биссектрисы угла треугольника,
соединяющий вершину треугольника с точкой
противоположной стороны
Высота треугольника
Признак
: если два угла треугольника равны, то треугольник
равнобедренный
Свойства:
1.В равнобедренном треугольнике углы при основании равны
2. В равнобедренном треугольнике биссектриса,
проведенная к основанию, является медианой и высотой и
наоборот.
Признак
: Если квадрат одной стороны
треугольника равен сумме квадратов двух
других сторон, то треугольник
прямоугольный
Свойства:
1.Сумма двух острых углов
равна 90º
2.Катет, лежащий против угла
в 30º, равен половине
гипотенузы
3.Если катет равен половине
гипотенузы, то угол, лежащий
против этого катета, равен 30º
Признаки равенства
треугольников:
1.по двум сторонам и
углу между ними
2.по стороне и двум
прилежащим к ней углам
3.по трём сторонам.
Признаки равенства
прямоугольных
треугольников:
1.по катетам
2.по катету и
прилежащему к нему
острому углу
3.по гипотенузе и
острому углу
4.по гипотенузе и катету
Свойство:
Если треугольники равны,
то равны их соответственные стороны и
углы
Признаки:
1.по двум углам
2.по двум
пропорцио
-нальным
сторонам и
углу между ними
3.по трём
пропорцио
-нальным
сторонам
Свойство:
Отношение площадей двух подобных
треугольников равно квадрату
коэффициента
подобия
 =
противолежащийкатет
гипотенуза
 =
прилежащийкатет
гипотенуза
tg =
противолежащийкатет
прилежащийкатет
30º
45º
60º
Алгоритм решения задач:
1.найти подобные
треугольники
2.из подобия пары
треугольников следует
равенство трёх отношений их
сходственных сторон
3. В записанное равенство
отношений подставляем
известные величины и
находим неизвестные.
sin
Равносторонние
Опр.: треугольник
называется
равносторонним,
если все его
стороны равны.
Свойство: все
углы = 60º
S =
а²
cos
tg
1
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов катетов:
c² = a² +b²
S =

, где a и b - катеты
Опр.: перпендикуляр, проведенный из
вершины треугольника к прямой, содержащей
противоположную сторону.
Скачать материал

Геометрия - еще материалы к урокам: