Подготовка к ЕГЭ. Задание № 14 Круглые тела
Подписи к слайдам:
Подготовка к ЕГЭ.
Задание № 14
Учитель: Шарова Светлана Геннадьевна,
МБОУ «Гимназия», г. Урюпинск, Волгоградская область
Р
r
Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.
L
О
Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса . Круг – основанием конуса. Точка Р – вершиной конуса. Образующие конической поверхности – образующими конуса. ОР – высота конуса
Р
О
А
В
РАВ - осевое сечение
Р
О
О1
r
r1
Сечение плоскостью перпендикулярной к его оси
Конус
Задача №1. Радиус основания конуса с вершиной S и центром основания О равен 5, а его высота равна . Точка М – середина образующей SA конуса, а точки N и B лежат на основании конуса, причем прямая MN параллельна образующей конуса SB.
- Докажите, что угол ANO – прямой.
- Найдите угол между прямой BM и плоскостью основания конуса, если АВ=8.
Решение.
S
O
A
B
M
H
N
a) М- середина SA, MN SB, N- середина АВ
b) Пусть Н- середина АO
Задача №2. Точки А, В и С лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причем А и С диаметрально противоположны. Точка М – середина ВС.
a) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью АВС такой же угол, как и прямая АВ с плоскостью SBC.
b) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если АВ=6, ВС=8, AS=
Решение.
O
A
B
S
C
T
M
a)
b)
,
Задача №3. На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки А, В и С так, что АВ=ВС. Медиана АМ треугольника ACS пересекает высоту конуса.
- Точка N- середина отрезка AC. Докажите, что угол MNB прямой.
- Найдите угол между прямыми AM и SB, если AS=2, AC=
Решение.
N
A
B
C
S
M
K
a) Так как медиана АМ треугольника ACS пересекает высоту конуса, то плоскость ACS содержит высоту конуса. Значит, АС – диаметр основания конуса и SN – его высота.
b)
Пусть К – середина ВС, тогда искомый угол будет равен углу АМК
Задача №4. Дан прямой круговой конус с вершиной М. Осевое сечение конуса – треугольник с углом при вершине М. Образующая конуса равна . Через точку М проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
- Докажите, что полученный в сечении треугольник тупоугольный.
- Найдите площадь сечения.
Решение.
О
M
K
A
B
T
a) Пусть треугольник МАВ – искомое сечение, перпендикулярное образующей МК, и пусть Т- точка его пересечения с диаметром, проходящим через точку К.
b)
ά
β
L
L1
Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L1, называется цилиндром
Осевое сечение
Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси
Цилиндр
Задача №1. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания – точка С1, причем СС1- образующая цилиндра, а АС- диаметр основания . Известно, что
a) Докажите, что угол между прямыми ВС и АС1 равен
b)Найдите расстояние от точки В до АС1.
Решение.
А
В
С
С1
В1
a) Пусть ВВ1- образующая цилиндра, тогда ВВ1С1С - прямоугольник
b)
К
Задача №2. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания – точки В1 и С1, причем ВВ1- образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
- Докажите, что угол АВС1 прямой.
- Найдите угол между прямыми ВВ1 и АС1, если АВ=6, ВВ1=15, В1С1=8.
Решение.
А
В
С
С1
В1
К
О
О1
a)Рассмотрим пл., проходящую через ось цилиндра и АС1. Обозначим точку пересечения этой пл. и окружности основания, содержащую точку А, через точку С. Тогда СС1- образующая, АС- диаметр.
b)
Задача №3. Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно
- Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от этой плоскости.
- Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Решение.
О
О1
A
B1
B
a)
b)
Задача № 4. В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда АВ, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный АВ. Построено сечение ABMN, проходящее через прямую АВ перпендикулярно прямой CD так, что точка С и центр основания цилиндра, в котором проведен диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.
- Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
- Найдите объем пирамиды CABNM
Решение
О
А
B
M
N
D
C
H
a)
b)
Задачи для самостоятельного решения.
1. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания – точки В1 и С1, причем ВВ1- образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.
- Докажите, что угол АВС1 прямой.
- Найдите площадь боковой поверхности, если АВ=16, ВВ1=5, В1С1=12.
Ответ: b) 100π
2. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания – точка С1, причем СС1- образующая цилиндра, а АС- диаметр основания . Известно, что
a) Докажите, что угол между прямыми ВС и АС1 равен
b)Найдите объем цилиндра.
Ответ: b) 4π
3. В конусе с вершиной S и центром основания О радиус основания равен 13, а высота равна . Точки А и В – концы образующих, М – середина SA, N- точка в плоскости основания такая, что прямая MN параллельна прямой SB.
- Докажите, что ANO – прямой угол.
- Найдите угол между MB и плоскостью основания, если АВ=10.
Ответ: b)
Геометрия - еще материалы к урокам:
- Диагностическая работа по геометрии 9 класс
- Конспект урока "Сумма углов треугольника. Решение задач" 7 класс
- Тестовые задания по геометрии для обучающихся 9 класса 8 вида
- Дидактический материал "Правильные многоугольники" 9 класс
- Презентация "Геометрические фигуры: треугольник" 3 класс
- План-конспект открытый урока по геометрии "Объемы тел вращения" 11 класс