Презентация "Фракталы" 10-11 класс

• Гармония рождается из хаоса...

• Фракталы

• Математика, если на нее правильно посмотреть, отражает не только истину, но и несравненную красоту

• Фрактал — это бесконечно самоподобная
• геометрическая фигура,
• каждый фрагмент которой
• повторяется при уменьшении масштаба.

• Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Это слово может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:
• -Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
• -Является самоподобной или приближённо самоподобной.
• -Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.
• Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных.
• Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

• Фрактальная графика. Искусство ли это? Можно ли считать искусством картины, которые генерируются компьютером на основании математических формул? Ответ, казалось бы, однозначен – нет. Это, если бы не принималось во внимание живое участие человека. Именно глаз художника извлекает из автоматически созданной картины пропорцию, цвет, ритм и превращает, казалось бы, механистическое творение в живое, насыщенное собственной энергией и видением мира полотно.

• Математика описывает такие разные, на первый взгляд, процессы как взаимодействие звезд, гармонию музыки, строение человека, радугу цветов, пропорции растительного мира. Все в нашем мире – математика. Поэтому человек инстинктивно тянется к фрактальным картинам. Как ни сложна может быть фрактальная графика, в ней не бывает ничего лишнего, потому что пропорции и цвет выверены при помощи математики с гармонией Земли и Вселенной.

. Геометрические фракталы

• . Геометрические фракталы
• Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал

• Для построения из центра равностороннего треугольника "вырежем" треугольник. Повторим эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального) и так до бесконечности. Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его - получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием

Из геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является первый - снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого ___ заменяется на 4 линии каждая длинной в 1/3 исходной _/\_. Таким образом, с каждой итерацией длинна кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций - получим фрактал - снежинку Коха бесконечной длинны. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь

• Из геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является первый - снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого ___ заменяется на 4 линии каждая длинной в 1/3 исходной _/\_. Таким образом, с каждой итерацией длинна кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций - получим фрактал - снежинку Коха бесконечной длинны. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь

. Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:

• . Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:
• С течением времени стремится к бесконечности.
• Стремится к 0
• Принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы.
• Поведение хаотично, без каких либо тенденций.

• Бенуа́ Мандельбро́т (фр. Benoît B. Mandelbrot; 20 ноября 1924, Варшава — 14 октября 2010, Кембридж) — французский и американский математик, создатель фрактальной геометрии. Лауреат премии Вольфа по физике (1993).

• Объяснение фракталов ученым

обратимся к классике - множству Мандельброта.

• обратимся к классике - множству Мандельброта.
• Для его построения нам необходимы комплексные числа. На всякий случай напомню, что такое комплексные числа. Комплексное число - это число, состоящее из двух частей - действительной и мнимой, и обозначается оно a+bi. Действительная часть a это обычное число в нашем представлении, а вот мнимая часть bi интересней. i - называют мнимой единицей. Почему мнимой? А потому, что если мы возведем i в квадрат, то получим -1.
• Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень и извлекать корень, нельзя только их сравнивать. Комплексное число можно изобразить как точку на плоскости, у которой координата Х это действительная часть a, а Y это коэффициент при мнимой части b.
• Функционально множество Мандельброта определяется как Zn+1=Zn*Zn+C.

• Для всех точек на комплексной плоскости в интервале от -2+2i до 2+2i выполняем некоторое достаточно большое количество раз Zn=Z0*Z0+C, каждый раз проверяя абсолютное значение Zn. Если это значение больше 2, что рисуем точку с цветом равным номеру итерации на котором абсолютное значение превысило 2, иначе рисуем точку черного цвета. Все множество Мандельброта в полной красе у нас перед глазами.
• Черный цвет в середине показывает, что в этих точках функция стремится к нулю - это и есть множество Мандельброта. За пределами этого множества функция стремится к бесконечности. А самое интересное это границы множества. Они то и являются фрактальными. На границах этого множества функция ведет себя непредсказуемо - хаотично.

Справа-небольшой участок множества Мандельброта, увеличенное до размеров предыдущего рисунка.

• Справа-небольшой участок множества Мандельброта, увеличенное до размеров предыдущего рисунка.

множество Жюлиа.

• множество Жюлиа.

Фракталы в природе

• Покажите мне дизайнера, который не увлекался бы фрактальной графикой сейчас или некоторое время назад. Фрактал таит в себе особую математическую магию, наверное, именно поэтому он так притягателен для всех творческих людей. Так и должно быть.

• Что нового вы сегодня узнали на уроке?
• Нужно ли включить изучение фракталов в геометрию?
• Хотели бы вы больше узнать о фракталах?