Презентация "Производная" 11 класс

• Презентация по алгебре

• на тему:
• Производная
• Выполнили ученики 11 класса
• МБОУ СОШ № 47 им. В.А.Тамгина
• Колосай К.
• Кузьмина Е.

Исторические сведения

• Содержание

• Исторические сведения
• Определение
• Дифференцируемость
• Правила дифференцирования
• Производная сложной функции
• Касательная к графику функции
• Тангенс угла наклона касательной прямой
• Производные тригонометрической и логарифмической функции
• Скорость изменения функции
• Схема исследования функций

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17столетия на основе двух задач:

• Исторические сведения

• Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17столетия на основе двух задач:
• 1) о разыскании касательной к произвольной линии
• 2) о разыскании скорости при произвольном законе движения
• Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная входе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального

производная функции f в точке x0 называется число, к которому стремится разность отношение

• Определение

• производная функции f в точке x0 называется число, к которому стремится разность отношение
• f = f (x0 + x)- f (x0)
• x x
• при x, стремящемся к нулю

• 0

• 0

Функция f, определенная на открытом интервале (a;b), является дифференцируемой на (a;b) тогда и только тогда, когда f дифференцируема в каждой точке этого интервала.

• Дифференцируемость

• Функция f, определенная на открытом интервале (a;b), является дифференцируемой на (a;b) тогда и только тогда, когда f дифференцируема в каждой точке этого интервала.
• Функция f в точке x дифференцируема тогда и только тогда, когда существует предел
• lim D(h) = lim f(x0 = h) – f(x0)
• h
• Этот предел называется производной функции f в точке х или отношением дифференциалов в точке х

• 0

• h 0

• h 0

сумма: (u + v)’ = u’ + v’

• Правила дифференцирования

• сумма: (u + v)’ = u’ + v’
• коэффициент: (Cu)’ = Cu’
• произведение: (uv)’ = u’v + uv’
• частное: (u / v)'=(u'v - uv') / v2

Если функция f имеет производную в точке x0, а функция g имеет производную в точке y0 = f(x0), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке x0, причем:

• Производная сложной функции:

• Если функция f имеет производную в точке x0, а функция g имеет производную в точке y0 = f(x0), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке x0, причем:
• Например: Найдем производную функции

• Так как h(x) = g(f(x)), где

Если функция f в точке x0 дифференцируема, то касательная к графику функции f в точке P0(x0;f(x0))

• Касательная к графику функции

• Если функция f в точке x0 дифференцируема, то касательная к графику функции f в точке P0(x0;f(x0))
• есть прямая, проходящая через P0 и имеющая наклон m = f’(x0)
• Уравнение касательной к графику функции:

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло серая линия C). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.

• Тангенс угла наклона касательной прямой

• Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло серая линия C). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.
• Геометрический смысл производной

Производные тригонометрической функции

• Производные тригонометрической и логарифмической функции

• Производные тригонометрической функции

• Производная логарифмической функции:

Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t0) = s'(t0) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t0. Вторая производная a(t0) = s''(t0) выражает мгновенное ускорение в момент времени t0.

• Скорость изменения функции

• Пусть s = s(t) — закон прямолинейного движения. Тогда v(t0) = s'(t0) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t0. Вторая производная a(t0) = s''(t0) выражает мгновенное ускорение в момент времени t0.
• Вообще производная функции y = f(x) в точке x0 выражает скорость изменения функции в точке x0, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x).

1) Нахождение области определения

• Схема исследования функций

• 1) Нахождение области определения
• 2) Проверка на четность / нечетность
• 3) Нахождение точек пересечения с осями
• 4) Нахождение промежутков знакопостоянства
• 5) Нахождение промежутков возрастания и убывания
• 6) Нахождение точек экстремума и значений функции в этих точках
• 7) Исследование поведения функции в окрестностях «особых» точек и бесконечности

СПАСИБО

• КОНЕЦ

• СПАСИБО
• ЗА ПРОСМОТР
• НАШЕЙ ПРЕЗЕНТАЦИИ!!!