Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Неравенство Коши и его применение при решении различных задач" 9 класс

Конспект занятия по математике
Учитель: Орлова Алена Юрьевна, учитель физики и математики Средней школы
№ 39 г. Ярославля.
Предмет: алгебра.
Класс: 9.
Тема: «Неравенство Коши и его применение при решении различных задач».
Цели урока:
-обучающие: основная - научить решать задачи, применяя неравенство Коши;
дополнительная – вспомнить и повторить знания о неравенстве Коши, показать
разнообразие задач, которые решаются с его помощью;
-развивающие: развивать умение наблюдать, объяснять решение задачи с,
обобщать, делать выводы;
-воспитательные: воспитать точность, способность анализировать решение
конкретных задач, развить графическую культуру и аккуратность в исполнении, интерес к
предмету.
Тип урока: элективное занятие.
Литература: материалы дипломной работы, Супрун В.А. усложненный курс
математики для школьников, 2006 год.
Ход урока:
Этап
урока
Время
Действия учителя
Действия ученика
Орг.
3
Уточняется количество учеников в классе,
записывается тема урока, учитель разъясняет
план работы на весь урок.
Ученики записывают
число и тему занятия.
Всестор.
пров.
знан.
3
Знаменитое неравенство великого французского
математика Огюстена Луи Коши от 1821 года о
связи между средним арифметическим и
средним геометрическим положительных чисел
n
a,...,a
1
(
2n
) есть неравенство
nn
AG
,
Подг. к
усв. нов.
знаний.
5
Сегодня мы с вами познакомимся с данным
неравенством и решим несколько задач, которые
чаще всего используются в части 2 Единого
Государственного Экзамена. Начнем с самого
неравенства. Вспомним, что среднее
арифметическое нескольких чисел записывается
, а среднее геометрическое
n
nn
aaG ...
1
. Об этом вы знаете из курса
геометрии 8 класса. Таким образом
сформулируем определение: неравенство Коши
это неравенство, связывающее между собой
среднее арифметическое и среднее
геометрическое положительных чисел
n
a,...,a
1
(
2n
).
Усв. и
закрепл.
знан.
21
Давайте попробуем решить несколько задач на
применение неравенства Коши.
Задача 1. Докажите неравенство

 .
Решение. Данное неравенство можно доказать с
помощью классического неравенства Коши (

). Разложим второе слагаемое в
заданном неравенстве на сумму двух слагаемых
и сгруппируем слагаемые так как нам удобно:



 

Применим к выражению в скобке неравенство
Коши



 


 
Полученному применим еще раз
неравенство Коши



 

 
 

Таким образом, третий раз применив
неравенство Коши доказали неравенство. В
цепочке соотношений трижды применялось
неравенство Коши для двух положительных
чисел.
Задача 2. Докажите неравенство
 
 
    
Решение. Перенесем все в одну часть и
приведем подобные слагаемые
 
 
     
Применим к левой части формулу квадрата
разности
 
 
  
Каждое из слагаемых полученного выражения
неотрицательно, это доказывает справедливость
требуемого неравенства. Равенство достигается
лишь в том случае, когда .
Неравенство доказано.
Задача 3. Решите уравнение
  

Решение. Область определения неизвестного в
данном уравнении есть промежуток ∞.
На этом промежутке правую часть уравнения
оценим снизу, используя неравенство Коши для
чисел:
 
     
     
Заметим, равенство в произведенной
оценке достигается тогда и только тогда, когда
тоесть 
Таким образом,
 
. Причем,
равенство в этом отношении достигается только
при . Следовательно, исходное уравнение
имеет единственный корень 
Замечание. В приведенном решении оценку
 
можно получить по средствам применения
обобщенного неравенства Коши:




 
Задача 4. Найдите наименьшее значение
функции
 
 
 
Решение. Разобьем свободный член на сумму 4
и 1 и представим
в виде
 
 
 
Применим неравенство Коши для двух
взаимообратных чисел, тогда:
 
 

Прибавим к обеим частям неравенства
свободный член 4 и получаем, что
–
наименьшее значение функции, которое
достигается только при . Следовательно,


Рефл.
3
Итак, надеюсь, вы наглядно увидели, что
применение неравенства Коши к решению
некоторых задач во много раз упрощает их
решение. Как правило, задачи, решаемые с
помощью неравенства Коши, имеют несколько
решений.
Инф. о
д.з.
2
Еще раз детально разберите решение
сегодняшних задач и постарайтесь найти
подобные задачи в КИМах ЕГЭ.
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: