Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Свойства логарифмов" 10 класс

Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество.
Свойства логарифмов
Справочные сведения
Логарифмом положительного числа b по основанию а ( записывают log
a
b), где а > 0, a
1,
называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.
Равенство
ba
b
a
log
, где а > 0, a
1, b > 0, называют основным логарифмическим
тождеством.
x = log
a
b – корень уравнения a
x
= b, где а > 0, a
1, b > 0.
Логарифм числа по основанию 10 называется десятичным логарифмом: log
10
b = lg b.
Логарифм числа по основанию е называется натуральным логарифмом: log
е
b = ln b.
yx
y
x
yxyx
a
aaa
aaa
a
a
logloglog)4
logloglog)3
1log)2
01log)1
bb
b
b
x
n
p
x
b
n
b
xpx
aa
aa
a
p
a
a
a
a
p
a
n
n
log
2
1
log)9
log
1
log)8
loglog)7
log
1
log)6
loglog)5
a
b
ab
a
b
b
b
a
ba
c
c
a
log
1
log)12
1loglog)11
log
log
log)10
Примеры с решениями
1. Вычислить: 1)
;81log
3
2)
;16log
4
1
3)
;27log
9
Решение. 1)
481log
3
, так как 3
4
= 81.
2) Пусть
x16log
4
1
. Тогда по определению логарифма
16
4
1
x
, или
2
4
4
1
x
, откуда
2
4
1
4
1
x
,
2x
.
3) Пусть
x27log
9
. Тогда по определению логарифма
279
x
, откуда
32
33
x
,
32
33
x
,
32 x
,
5,1x
.
2. Найти: 1)
;7
5log
7
2)
;5,0
12log5,0
5,0
3)
.
8
1
3log
8
Решение. 1) По определению логарифма (согласно основному логарифмическому тождеству)
;57)1
5log
7
2)
;321212125,05,0
2
1
5,0
5,0
12log12log5,0
5,05,0
3)
.
3
1
388
8
1
1
1
3log
3log
1
3log
8
8
8
3. Вычислить:
1)
;8,1log45log
99
2)
;121log
5
11
3)
.10000log
2
1
3log2
3,03,0
Решение.
1)
;281log8,145log8,1log45log
9999
2)
;
5
2
2
5
1
121log
5
1
121log121log
11
5
1
11
5
11
3)
.209,0log
100
9
log100log9log10000log3log10000log
2
1
3log2
3,0
3,03,03,0
2
1
3,0
2
3,03,03,0
Дидактический материал
1. Вычислить:
1)
;16log
2
2)
;04,0log
2,0
3)
;
81
1
log
3
4)
;9log
3
1
5)
;1log
23
6)
.
125
1
log
5
Ответы: - 4; 4; -3; - 2; 2; 0.
2. Вычислите десятичные логарифмы:
1)
;10000lg
2)
;1,0lg
3)
;0001,0lg
4)
10lg
.
Ответы: - 4; - 1; ½; 4.
3. Вычислите натуральные логарифмы:
1)
;ln e
2)
;ln
3
1
e
3)
;ln e
4)
.10lgln
Ответы:
.1;
2
1
;
3
1
;0
4. Вычислите:
1)
;
3
5
log29log
5
1
5
1
2)
.2log2196log
77
Ответы: - 2; 2.
5. Найдите значения выражений:
1)
;
49
125
4log
2log
7
5
2)
;
110
16
4lg
10log
5,0
4
3)
;
5
4
log
3
5
log12log
222
4)
.
3
1
3
5log
5log2
3
3
Ответы:
.
16
5
;2;4
Логарифмические уравнения и их системы
Справочные сведения
Определение. Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется
логарифмическим уравнением.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение
log
a
x = b, (1)
где a и b – данные числа, а х – переменная величина.
Если а > 0 и
1a
, то такое уравнение имеет единственный корень x = a
b
.
Решение более сложных
логарифмических
уравнений сводится либо к решению
алгебраических уравнений, либо к решению уравнений вида (1).
Способы решения логарифмических уравнений
1. Способ непосредственного применения определения логарифма.
Пример 1. Решим уравнение log
x
( х
3
– 5х + 10 ) = 3.
Решение. По определению логарифма можно написать:
х
3
– 5х + 10 = х
3
, откуда: х = 2.
Проверка: log
2
(2
3
- 5
2 + 10) =
log
2
8 = 3. Ответ: 2.
Известно, что областью определения логарифмической функции является множество
положительных действительных чисел. Поэтому часто при решении логарифмических
уравнений
вначале определяется
область допустимых значений переменной (ОДЗ). Затем решается данное уравнение и найденные
значе-ния переменной проверяются на принадлежность ОДЗ.
2. Способ приведения уравнения к виду log
a
f(x) = log
a
g(x) c последующим применением
потенцирования.
Пример 2. Решим уравнение: lg( x + 5) – lg( x
2
– 25 ) = 0.
Решение. Найдем ОДЗ. Для этого решим систему неравенств:
.0)5)(5(
,05
025
,05
2
xx
x
èëè
x
x
Отсюда имеем:
 ;5x
.
Преобразуем данное уравнение: lg( x + 5) = lg( x
2
– 25 ).
Потенцируя, имеем: х + 5 = х
2
– 25 или х
2
– х – 30 = 0, откуда х
1
= 6, х
2
= - 5. Но
 ;55
.
Ответ: 6.
3. Способ введения новой переменной.
Пример 3. Решим уравнение :
.02loglog
2
2
2
xx
Решение. Пусть
log
2
х = у, тогда вместо исходного уравнения получим: у
2
– у – 2 = 0.
Решив полученное квадратное уравнение, имеем: у
1
= 2, у
2
= - 1.
Теперь найдем искомые значения х:
log
2
х = 2, х
1
= 4; log
2
х = -1, х
2
=
2
1
.
ОДЗ: х > 0. Оба найденные значения х принадлежат ОДЗ. Ответ: 4;
2
1
.
4. Способ почленного логарифмирования.
Пример 4. Решим уравнение:
.8
2log
2
x
x
Решение. Перепишем это уравнение в следующем виде:
8
2
log
2
xx
x
или
.8
2
log
2
xx
x
Теперь почленно прологарифмируем это уравнение по основанию 2:
)8(loglog
2
2
log
2
2
xx
x
. Применяем свойства логарифмов:
,log8logloglog
2
2222
xxx
,log23log
2
2
2
xx
.03log2log
2
2
2
xx
Решаем это уравнение способом введения новой переменной. Получаем:
1) log
2
х = 3, х
1
= 8; 2) log
2
х = -1, х
2
=
2
1
.
Выполняем проверку:
1)
;88,88,88
23
28log
2
2)
.88,8
2
1
,8
2
1
212
2
1
log
2
Ответ: 8;
2
1
.
5. В практике встречаются логарифмические уравнения, содержащие логарифмы с разными
основаниями. В таких случаях применяется формула перехода к новому основанию:
a
b
b
c
c
a
log
log
log
Пример 5. Решим уравнение:
.5
2log
4
log
2
x
x
Решение. ОДЗ:
.;11:0 x
Используем формулу перехода к новому основанию:
,
log
2log
2log
2
2
x
x
тогда данное
уравнение имеет вид:
,5
log
2log
4
log
2
2
2
x
x
или
.5log4log
22
xx
Тогда:
,5log5
2
x
,1log
2
x
откуда получаем, что х = 2.
.;11:02 
Ответ: 2.
6. Показательно-логарифмические уравнения.
Чаще всего такие уравнения решаются способом логарифмирования обеих частей уравнения
и приведением к логарифмическим уравнениям.
Пример 6. Решим уравнение:
.1623
3
2
3
loglog
xx
x
Решение. Перепишем это уравнение в виде:
.1623
3
3
3
log
log
log
x
x
x
x
Воспользуемся
основным логарифмическим тождеством
ba
b
a
log
, имеем:
,162
33
log
log
x
x
xx
,1622
3
log
x
x
.81
3
log
x
x
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:
.81loglog
3
log
3
3
x
x
Тогда
,4log,4loglog
2
333
xxx
откуда:
2log
3
x
и
2log
3
x
или х
1
=
9
1
и
х
2
= 9.
Проверка:
;1628181333
9
1
33
9
1
3)1
4422
2
9
1
log2
9
1
log
9
1
log
9
1
log
9
1
log
3
3
3
3
2
3
.16281813393)2
2
2
2
2
9log9log
3
2
3
Ответ:
.9;
9
1
При решении систем логарифмических уравнений в основном применяются те же способы,
что и при решении систем алгебраических уравнений ( способы подстановки, алгебраического
сложения, введения новых переменных и др.)
Пример 6. Решим систему уравнений:
.3lg1lg
,813
2
xy
yx
Решение. Для первого уравнения применяем свойства показательной функции, а второе
уравнение потенцируем:
;3lg10lglg
,33
4
2
xy
yx
;30lglg
,33
4
2
xy
yx
.30
,42
xy
yx
Введем новые переменные:
,ybèxa
получим систему рациональных уравнений:
.30
,42
ba
ba
Решаем систему методом подстановки, получаем: а = 5 и b = 6. Тогда:
65 yèx
или х = 25 и у = 36.
Проверка:
;3lg13625lg
,813
36252
;3lg130lg
,813
4
.30lg30lg
,8181
Вывод: пара чисел (25;36) действительно является решением системы.
Ответ: (25;36).
Дидактический материал
1. Решите логарифмические уравнения:
.3:;14log)
7
Îòâåòxa
.2:;3lg1lg1lg) Îòâåòxxá
.5;1:;5lnln6ln) Îòâåòxxâ
.27;3:;03log7log2)
3
2
3
Îòâåòxxã
.33:;222log)
3
2
1
Îòâåòxä
.3:;1
2
32
log)
5
3
Îòâåò
x
x
å
.3;1;1:;044log2)
2
2
2
Îòâåòxxxxæ
.1:;15log2525log)
9
2
3
Îòâåòç
xx
.27;
3
1
:;27)
2log
3
Îòâåòxè
x
.9:.023log)
6
Îòâåòê
x
2. Решите системы логарифмических уравнений:
6;3;3;6:
;2log
,2log2log
)
3
33
Îòâåò
yx
xy
à
.1;2:
;1log12log
,13
)
33
log
3
Îòâåò
yx
á
yx
6;2:
;4log
,57623
)
2
Îòâåò
xy
â
yx
5,0;5,4:
.5lg2lglg
,5010
)
lg1
Îòâåò
yxyx
ã
yx
Логарифмические неравенства
Справочные сведения
Определение. Неравенство, содержащее переменную под знаком логарифма, называется
логарифмическим неравенством.
Всякое значение переменной , при котором данное логарифмическое неравенство обращается в
верное числовое неравенство, называется решением логарифмического неравенства.
Решить логарифмическое неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их
нет.
Решение логарифмических неравенств в основном сводится к решению неравенств вида
xgxf
aa
loglog
или
.loglog xgxf
aa
Для решения таких неравенств, учитывая область определения логарифмической функции и ее
свойства, применяют следующие утверждения:
1) при а > 1 неравенство
xgxf
aa
loglog
равносильно системе неравенств:
);()(
,0)(
,0)(
xgxf
xg
xf
(1)
2)
при 0 < а < 1
1 неравенство
xgxf
aa
loglog
равносильно системе неравенств:
);()(
,0)(
,0)(
xgxf
xg
xf
(2)
Примеры с решениями
Пример 1. Решим неравенство
.252log
3
1
x
Решение. Преобразуем правую часть неравенства:
.9log52log
3
1
3
1
x
Здесь а =
3
1
, поэтому
используем систему неравенств вида (2):
;952
,052
x
x
или
.2
,
2
5
x
x
Решением последней системы будет промежуток
.;2 
Ответ:
.;2 
Пример 2. Решим неравенство
).62lg(11lg xx
Решение. Используем свойства логарифмов:
,1)62lg(1lg xx
.10lg)62(1lg xx
В полученном неравенстве а = 10 > 1, поэтому используем систему неравенств вида (1):
;10)62)(1(
,062
,01
xx
x
x
отсюда:
;01642
,3
,1
2
xx
x
x
;082
,3
,1
2
xx
x
x
.0)2)(4(
,3
,1
xx
x
x
Изображая решение каждого неравенства системы по отдельности на координатной прямой,
находим общую часть – промежуток
.4;3
Ответ:
.4;3
Дидактический материал
1. Решите логарифмические неравенства:
.7;2:;27log)
3
1
Îòâåòxa
.75,2;25,0:;114lg) Îòâåòxá
.;4:);6(log23log)
55
 Îòâåòxxâ
.2;
4
3
:);3(log)34(log)
9
1
9
.1
Îòâåòxxã
.2;
4
1
:;02loglog)
2
2
2
Îòâåòxxä
.;101,0;0:;4log3log)
4
1,0
2
1,0
 Îòâåòxxå
.2;4:;122lg)
2
Îòâåòxxæ
.3;21;2:;22log)
2
2
1
Îòâåòxxç
.2;1:;
4
1
2)
33
1
log
3
Îòâåòè
x
x
.
3
2
1;1:;
9
1
3)
1
1
log
2
Îòâåòê
x
x
Тест № 1
1.
Вычислите:
6log
3log
1,0
5
1005
.27).63).18).68).9) ÅDÑÂA
2.
Найти значение выражения:
25log
3log
3
85
2
1681log
5
2
.10).25).20).15).5) ÅDÑÂA
3.
Решите уравнение:
)32(log3log)34(log2
222
xx
.
3
1
1).
3
1
1).1).
3
2
1).2) ÅDÑÂA
4.
Решите неравенство:
.1
2
12log
3,0
x
.24;4,23).;25).;4,23).4,23;0).24;) ÅDÑÂA 
5.
Решить систему уравнений
.
5lglg
7lglg
yx
yx
.10;10).10;10).100;10)).10;10)(.)
4216
ÅDÑÂðåøåíèÿÍåòA
6.
Решите уравнение:
1
lg2
45lg
2
x
xx
.2).1).).8,0).1;4) ÅDðåøåíèÿÍåòÑÂA
7.
Найдите произведение корней уравнения
0log12log6
3
2
3
xx
.9).6).0).18).6) ÅDÑÂA
8.
Решите неравенство:
.15log3log
1515
xx
.5;0)8;5).;5).8;0).;5) ÅDÑÂA 
9.
Решите неравенство:
0
2
29
log
4
x
x
.
2
1
4;
3
1
2).1;0).
2
1
4;
3
1
2).
2
1
4;
3
1
2).
2
1
4;
3
1
2)
ÅDÑÂA
10.
Решить систему уравнений:
2423
1)(log
1
3
yx
xy
.0;3)3;3).3;3).3;0).3;3) ÅDÑÂA
Тест № 2
1.
Вычислите :
.2log)16(loglog3
5,042
.6).2).2).4).4) ÅDÑÂA
2.
Используя определение и свойства логарифмов, найдите значение выражения:
.2732log
7
3
14log
4log
2
69
3
.6).5).4).3).9) ÅDÑÂA
3.
Решите уравнение:
).1(log4)4(log)13(log
222
xxx
.9).8).3).6).5) ÅDÑÂA
4.
Решить неравенство:
4lg2lg x
.25;).;25).0;).25;0).;0)  ÅDÑÂA
5.
Решить систему уравнений
.52
,4)(log
2
yx
yx
.7;9)6;7).4;8).12;0).9;7) ÅDÑÂA
6.
Решите уравнение:
.2
log
)45(log
5
2
5
x
xx
.5,0).5,1).25,1).2).5) ÅDÑÂA
7.
Найдите произведение корней уравнения:
.03lg2lg
2
xx
.3).10).100).10).3) ÅDÑÂA
8.
Решите неравенство:
.62log2log2log
2
2
5,0
xxx
.6;2).7;66;2).;2).6;).8;2) ÅDÑÂA
9.
Решите неравенство:
.0
)2(log
3
5
2
x
xx
).3;0(0;2).3;01;2).3;1)).;3(0;1).3;2) ÅDÑÂA
10.
Решить систему уравнений
.7232
,1)(log
1
2
yx
yx
.1;1)1;3).1;1).0;1).1;2) ÅDÑÂA
Тест № 3*
1.
Найти значение выражения:
.14log2256log32log2
777
.2).4).2).4).16) ÅDÑÂA
2.
Чему равно выражение:
?81logloglog
345
.9).3).1).5).0) ÅDÑÂA
3.
Решите уравнение:
.5,0log316log
2
1
log
333
x
.5,16).5,12).5,9).5,6).5,0) ÅDÑÂA
4.
Решите уравнение:
.11,0)lg)20(lg(
õ
lîgõõ
.5).4).5;4).10).4;5) ÅDÑÂA
5.
Решить систему неравенств:
.016
,0)2(
2
3
x
xlîg
.4;3).4;0).3;0).4;3).) ÅDÑÂðåøåíèÿÍåòA
6.
Найдите
,1
1
x
x
где х – это корень уравнения
.7logloglog
2
1
4
1
16
1
xxx
.
17
18
).
2
3
).
82
83
).
257
258
).
626
627
) ÅDÑÂA
7.
Вычислите:
.
12log6log
5,0log4log10
55
55
5,0lg
.2).2).1).1).3) ÅDÑÂA
8.
Решите уравнение:
.log2log3
2
93
xx
xx
.
9
1
;1).).9).1).9;1) ÅêîðíåéÍåòDÑÂA
9.
Решите неравенство:
04log
2
3
x
.;9
9
1
;0).4;01;).;9
9
1
;0)).;1(
9
1
;0).;9
9
1
;) 



ÅDÑÂA
10.
Решить систему неравенств:
.0log
,02lglg
2
2
x
xx
.10;1).1;01,0).10;01,0).;101;).;101,0;) ÅDÑÂA 
Код правильных ответов по теме «Логарифмы»
№ вопроса
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Тест № 1
C
E
D
E
B
C
E
D
C
B
Тест № 2
D
E
C
D
A
C
C
E
D
D
Тест № 3*
C
A
A
E
E
E
A
A
E
E
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: