Ученики на Учителя.com


Открытый урок "Решение систем уравнений с двумя переменными" 9 класс

Муниципальное образовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа района имени Лазо
рабочего поселка Мухен
Открытый урок на тему:
в 9 классе
Кушнарь Лариса Александровна
учитель математики
первой квалификационной
категории
2017– 2018 учебный год
Девиз: «Три пути ведут к знанию:
путь размышления – это путь самый благородный,
путь подражания – это путь самый легкий
и путь опыта – это путь самый горький».
Конфуций.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Цель урока:
Формирование ключевых компетентностей:
а) усвоение знаний в их системе, умение самостоятельно применять
полученные ЗУН, осуществлять их перенос в новые условия;
б) развитие умений рассчитывать свои силы и оценивать свои
возможности;
в) воспитание умения контролировать внимание на всех этапах урока.
Задачи урока:
Выявить уровень усвоения полученных знаний;
Создать условия для самооценки своих возможностей и выбора цели в
деятельности;
Развивать навыки индивидуальной и самостоятельной работы;
Побуждать к само-, взаимоконтролю;
Вызывать потребность в обосновании своих высказываний.
Психологическая установка
Продолжаем отрабатывать навыки решения систем уравнений;
Формируем математическую интуицию;
На уроке можем ошибаться, сомневаться, консультироваться.
Каждый учащийся сам себе дает установку
Содержание урока
1.Разминка. Проверка домашнего задания;
2.Решение систем уравнений с двумя переменными алгебраическими
способами;
3. .Решение систем уравнений с двумя переменными графическим способом;
4.Исследование систем уравнений и новые открытия.
5. Итоги урока.
I. О б о р у д о в а н и е : доска, набор заданий, карточки с заданием
тестов, индивидуальные оценочные листы, презентация урока,
мультимедийная установка.
Работа учащихся состоит из этапов. Результаты каждого этапа ученики
заносят в индивидуальные оценочные листы и показывают cвое
эмоциональное состояние.
ОЦЕНКА МОЕЙ РАБОТЫ НА УРОКЕ.
Фамилия ученика…………………………………..
Этап
Вид работы
Оценка
Эмоциональное
состояние
1
Разминка.
Проверка домашнего
задания.
2
Решение систем
уравнений
алгебраическими
способами
3
Графическое
решение систем двух
уравнений с двумя
переменными.
4
Исследование
систем уравнений
5
Общая оценка.
Ход урока
1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ.
• Учитель сообщает учащимся тему и цель урока.
• Рассказывает о том, как будет построен урок.
• Знакомит с требованиями ведения оценочного листа.
Этап I Начало урока посвящается проверке знаний.
Решение систем, содержащих два уравнения с двумя переменными второй
степени весьма трудная задача, но в некоторых случаях системы могут быть
решены с помощью простых и изящных приемов. Открыть некоторые из них
– это цель домашней работы в группах.
4 группам дано задание решить систему уравнений:
Ученик 1 групппы показывает решение системы уравнений:
- графическим способом.
Решение:
В одной системе координат построим графики уравнений: и ху= -
3.
-графиком этого уравнения является окружность с центром в точке
(0;0) и радиусом .
В треугольнике АВС, АВС =90°, АВ=1, ВС=3, АС= .
Длину отрезка АС= возьмем за радиус окружности .
ху=3; у= ; - графиком этого уравнения является гипербола, ветви
которой расположены во II и IV координатных углах.
х
-6
-3
-1
-0.5
0.5
1
3
6
у
0.5
1
3
6
-6
-3
-1
-0.5
Рисунок 1
Графики изображены на рисунке 1.
Графики и пересекаются в четырех точках (они обозначены
буквами А, В, С, Д), следовательно, данная система уравнений имеет четыре
решения:
(3;-1), (-3;1), (-1;3), (1;-3).
Ответ: (3;-1), (-3;1), (-1;3), (1;-3).
Интересно заметить, что решения данной системы симметричны. Точки С и
В и А и Д симметричны относительно начала координат. Точки С и А и Д и В
симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов (прямой
у=х), поэтому их координаты “меняются местами”
Решение ученика 2 группы.
Решить систему
Свое решение на доске показывает одна из групп:
(1)
Система (1) “распадается” на две более простые системы:
(2)
(3)
Каждое решение системы (1) является решением хотя бы одной из систем (2)
или (3).И каждое решение системы (2) и (3) является решением системы (1).
Системы (2) и (3) является симметричными, решим каждую из них:
(1)
(2)
Пусть и корни
уравнения
Пусть и корни уравнения
и его корни,
Тогда (3;-1) и (-1;3)-
решения системы (1).
и его корни,
Тогда (-3;1) и (1;-3)-
решения системы (2)
Для того чтобы понять содержательную сторону приведенного решения,
обратимся к графической иллюстрации. На рис.2 в одной системе координат
показано графическое решение систем.
Рисунок 2
и
Каждая прямая х+у =2 и х+у =-2 пересекает гиперболу ху=-3 в двух точках, а
всего мы имеем четыре точки пересечения (они обозначены буквами А, В, С,
Д). Это те же точки, которые получились при пересечение гиперболы и
окружности (смотри рис.1).
Ответ: (3;-1), (-3;1), (-1;3), (1;-3).
Еще один способ решения данной системы представил один
из учеников3 группы.
Решение:
Сложим почленно первое уравнение системы сначала с
уравнением 2ху=-6,а затем с уравнением -2ху=6.Получим систему:
Из первого уравнения получаем, что
х+у=2 или х+у =-2.
Из второго уравнения получаем, что
х-у=4 или х-у=-4.
Рассматривая каждое уравнение первой строки совместно с каждым
уравнение второй строки приходим к четырем системам линейных
уравнений:
Решив каждую из них получим следующие решения исходной системы:
(3;-1), (-3;1), (-1;3), (1;-3).
Решение проиллюстрировано графически на рис.3.
Рисунок 3
Теперь мы видим, что четыре прямые при попарном пересечении указывают
нам те же самые точки, которые получились при пересечении окружности и
гиперболы (смотри рис.1).
Ответ: (3;-1), (-3;1), (-1;3), (1;-3).
И еще разберем один из способов решения системы
Данная система является симметричной и решается она очень красиво с
помощью введения новых переменных. Пусть , и учитывая, что
,получим:
Если u=-3, то или тогда получим:
и
Полученные системы тоже являются симметричными системами, которые
мы уже решали. Итак,(3;1), (-1;3), (-3;1),(1;-3)-решения данной системы.
Мы рассмотрели пять различных способов решения одной и той же системы
уравнений. Каждый выберет для себя способ, который ему больше всего
понравился, самое главное - что каждый из Вас научился решать системы
такого вида и поэтому эпиграфом домашнего задания могли служить слова
Б.В.Гнеденко: “Ничто так не содействует усвоению предмета, как действие с
ним в разных ситуациях”.
Разминка.
Учащимся предлагается решить тестовые задания (из КИМов
ГИА),результаты решений записать в тетрадь. На выполнение задания
отводится пять минут.
(слайд 5-8).
Самопроверка тестового задания (слайд 9).
Обратитесь к своим оценочным листам. Поставьте в них заработанную
оценку и изобразите свое эмоциональное состояние с помощью “смайлика”
улыбающегося, безразличного или грустного.
. Этап II Решение систем уравнений алгебраическими
способами.
(слайд 10).
. Ваша задача состоит в том, чтобы поставить в соответствие каждому
уравнению верный ответ. Системы уравнений обозначены буквами. Если все
задания выполните правильно , вы прочитаете имя одного из
древнегреческих математиков. На решения отводится 15 минут.
Четверо учащихся решают системы уравнений по образцам у доски.
1). Решите систему уравнений по образцу
Образец:
1) Выразим в уравнении первой степени х-5у=-2 одну переменную через
другую х=-2+5у.
2) Подставим полученное выражение (-2+5у) в уравнение второй степени
(-2+5у)-у
2
=16.
3) Приведем уравнение к уравнению с одной переменной
-2+5у-у
2
=-16, -у
2
+5у-2+16=0, -у
2
+5у+14=0 ·(-1), у
2
-5у-14=0.
4) Решим квадратное уравнение
у
2
-5у-14=0, а=1; в=-5; с=-14, D=в
2
-4ас=(-5)
2
-4·1·(-14)=25+56=81=9
2
>0 – два
корня.
У
1;2
= У
1
= У
2
=
5) Найдем значение второй переменной
Если У
1
=7, то х
1
=-2+5·7=33;
Если У
2
= -2, то х
2
=-2+5·(-2)=-2-10=-12.
(33;7); (-12; -2) – решения системы
Ответ: (33;7); (-12; -2)
=−
−=−
.16
,25
2
ух
ух
;
2
95
12
95
2
=
=
−
а
Dв
;7
2
14
2
95
==
+
.2
2
4
2
95
−=
−
=
−
2). Решить систему уравнений по образцу
Образец: Решить систему уравнений способом сложения.
1) Складываем почленно оба уравнения, получаем систему
2) Решим полученное уравнение с одной переменной 2х
2
=50
х
2
=50:2=25,
х= ,
х
1
=5; х
2
= -5.
2. Найдем значение второй переменной
Если х
1
=5, то 5
2
+3у
2
=28, 25+3у
2
=28, 3у
2
=28-25=3, у
2
=3:3=1, у
1
=1, у
2
=
-1.
Если х
2
= -5, то (-5)
2
+3у
2
=28, 25+3у
2
=28, 3у
2
=28-25=3, у
2
=3:3=1, у
1
=1,
у
2
= -1.
Ответ: (5;1); (5;-1); (-5; 1); (-5;-1).
Решите по образцу
3).Решить систему уравнений по образцу
Образец: Решить систему уравнений способом
подстановки.
=+
=−
.283
,223
22
22
ух
ух
=+
=
.283
,502
22
2
ух
х
25
=+
=−
.182
,142
22
22
ух
ух
=−−
=−
.29
,72
22
ухух
ху
6) Выразим в уравнении первой степени 2у-х=7 одну переменную через
другую –х=7-2у,
х=2у-7
7) Подставим полученное выражение (2у-7) в уравнение второй степени
(2у-7)
2
-(2у-7)у-у
2
=29.
8) Приведем уравнение к уравнению с одной переменной
4у
2
-28у+49-2у
2
+7у-у
2
=29, у
2
-21у+49-29=0, у
2
-21у+20=0,
9) Решим квадратное уравнение
у
2
-21у+20=0, а=1; в=-21; с=20, D=в
2
-4ас=(-21)
2
-4·1·20=441-80=361=19
2
>0 –
два корня.
У
1;2
= У
1
= У
2
=
10) Найдем значение второй переменной
Если У
1
=20, то х
1
=2·20-7=40-7=33;
Если У
2
= 1, то х
2
=2·1-7=-5.
(33;20); (-5; 1) – решения системы
Ответ: (33;20); (-5; 1)
Решите по образцу
4). Решить систему уравнений по образцу
Образец: Решить систему уравнений графическим способом.
1) В уравнении ху= 4 выразим переменную у через переменную х,
получим .
;
2
1921
12
1921
2
=
=
−
а
Dв
;20
2
40
2
1921
==
+
.1
2
2
2
1921
==
−
=+−
=−
.92
,13
22
ухух
ху
−=
=
.85,0
,4
2
ху
ху
х
у
4
=
2) Составим таблицу значений переменных для гиперболы
х
-8
-4
-2
-1
1
2
4
8
у
-1
-2
-4
4
2
1
3) Найдем координаты вершины параболы х=0, тогда у=0,5·0
2
-8=-8.
КВП(0;-8)
4) Составим таблицу значений переменных для параболы у =0,5х
2
-8
х
-4
-2
-1
0
1
2
4
у
0
-6
-7,5
-8
-7,5
-6
0
Ответ: (-3,8; -1,2); (-0,6; -7,9); (4,2; 0,9) ;
Решите по образцу:
У=х
2
+1,
Ху=3.
Решение систем уравнений второго уровня.
Решить систему уравнений
x-5y=5,
x
2
-25y
2
=-75.
Разложим левую часть второго уравнения системы на множители, используя
формулу разности квадратов
а
2
–b
2
=(a+b)(a-b):
х
2
-25y
2
=(x-5y)(x+5y)
х
у
4
=
2
1
−
2
1
0
х
у
у
х
После этого наша система уравнений примет вид:
x-5y=5,
(x-5y)(x+5y)=-75.
Используя первое уравнение системы x-5y=5 , заменим во втором уравнении
x-5y на его значение 5
x-5y=5,
5(x+5y)=-75.
Разделим левую и правую части второго уравнения системы на 5:
x-5y=5,
x+5y=-15. (3)
Таким образом, мы получили линейную систему уравнений. Вычтем
почленно из 1-ого уравнения 2-рое: -10y=20.Выразим отсюда y: y=-2.
Теперь подставим у=-2 в одно из уравнений системы (3),
например во второе:
x+5*(-2)=-15, x=-5.
Ответ: x = -5, y = -2.
Решить систему уравнений
2x+3y=-8,
4x
2
+5xy+9y
2
=50. (1)
Возведем в квадрат обе части первого уравнения: (2x+3y)
2
=(-
8)
2
Используем формулу квадрата суммы:
(a+b)
2
=a +2ab+b
(2x+3y)
2
=4x
2
+12xy+9y
2
После этого наша система уравнений примет вид:
4x
2
+12xy+9y
2
=64,
4x
2
+5xy+9y
2
=50. (2)
Вычтем почленно из первого уравнения второе:
7xy=14,
xy=2.
Воспользуемся первым уравнением системы (1): 2x+3y=-8.
Выразим из этого уравнения x через y:
2x=-3y-8
x=-1.5y-4
Теперь подставим в уравнение xy=2 вместо x полученное выражение:
y(-1.5y-4)=2
-1.5y2 -4y-2=0
Найдем корни полученного квадратного уравнения: y1=-2 и y2=-2/3.
Подставляя полученные значения в уравнение x=-1.5y-4, найдем
соответствующие значения x:
x
1
=-1.5*(-2)-4
x
1
=-1
x
2
=-1.5*(-2/3)-4
x
2
=-3
Ответ: x
1
= -1, y
1
= -2; x
2
= -3, y
2
= -2/3.
Решить систему уравнений
2x
2
-xy=-8,
y
2
-2xy=32. (1)
В первом уравнении вынесем за скобку x, а во втором y:
x(2x-y)=-8,
y(y-2x)=32.
Домножим второе уравнение на -1:
x(2x-y)=-8,
y(2x-y)=-32.
Домножим первое уравнение на y, а второе на x:
xy(2x-y)=-8y,
xy(2x-y)=-32x.
Мы получили два уравнения, с одинаковой левой частью, следовательно, их
правые части равны:
-8y=-32x Выразим отсюда y: y=4x
Подставим в уравнение x(2x-y)=-8 вместо y, полученное выражение:
x(2x-4x)=-8
x(-2x)=-8
-2x
2
=-8
x
2
=4 x
1
=2 x
2
=-2
Подставляя полученные значения в уравнение y=4x,
найдем соответствующие значения y:
y
1
=4*2
У1=
8 y2=4*(-2)
y
2
=-8
Ответ: x
1
= 2, y
1
= 8; x
2
= -2, y
2
= -8.
Решить систему уравнений
x+4y=-2,
x
3
+64y
3
=-56.
Используя формулу суммы кубов a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
), разложим на
множители x
3
+64y
3
:
x
3
+64y
3
=(x+4y)(x
2
-4xy+16y
2
).
После этого система примет вид:
x+4y=-2,
(x+4y)(x
2
-4xy+16y
2
)=-56.
Подставляя во второе уравнение системы вместо x+4y его значение -2, мы
получим:
x+4y=-2,
-2(x
2
-4xy+16y
2
)=-56.
x+4y=-2,
x
2
-4xy+16y
2
=28.
Возведем в квадрат обе части первого уравнения x+4y=-2.
По формуле квадрата суммы
(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2
:
(x+4y)
2
=x
2
+8xy+16y
2
Таким образом, мы получим систему уравнений:
x
2
+8xy+16y
2
=4,
x
2
-4xy+16y
2
=28. (3)
Вычтем почленно из первого уравнения системы (3) второе:
8xy-(-4xy)=4-28
12xy=-24
xy=-2
Воспользуемся первым уравнением системы (1) и выразим одно
неизвестное через другое, допустим x через y:
x+4y=-2
x=-4y-2
Подставим теперь в уравнение xy=-2 вместо x полученное выражение:
y(-4y-2)=-2
-4y
2
-2y+2=0
2y
2
+y-1=0
Найдем корни полученного квадратного уравнения:
y
1
=-1 y
2
=0.5
Подставляя полученные значения в уравнение x=-4y-2, найдем
соответствующие значения x:
x
1
=-4*(-1)-2
x
1
=2
x
2
=-4*0.5-2
x
2
=-4
Ответ: x
1
= 2, y
1
= -1; x
2
= -4, y
2
= 0.5
(слайд 11)
- Итак, вы получили имя ДИОФАНТ. Чем же знаменит он? Почему именно
его имя я зашифровала в таблице?
Рассказ учителя.
Диофант Александрийский – один из самых своеобразных древнегреческих
математиков. До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти
Диофанта; полагают, что он жил в 3 веке нашей эры. Из работ Диофанта
самой важной является “Арифметика”, из 13 книг которой только 6
сохранились до наших дней. В сохранившихся книгах Диофанта содержится
189 задач с решениями. В пяти книгах содержатся методы решения
неопределенных уравнений. Это и составляет основной вклад Диофанта в
математику (слайд 12).
А вот о том, сколько же лет прожил Диофант вы мне ответите на следующем
уроке, решив дома задачу текст которой у вас на парте,. Эта задача была
найдена в одном из древних рукописных сборников задач в стихах, где жизнь
Диофанта описывается в виде алгебраической загадки, представляющей
надгробную надпись на его могиле.
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей – и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею 5 лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил ,
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Этап III. Решение систем уравнений графическим
способом.
Тестирование. Три уровня сложности.
1 уровень.
Установите соответствие между формулой и графиком
1).
1. у= кх+в(к>0)
2. у= кх(к<0)
3. у=кх+в (к<0)
4. у=кх (к>0)
5. У=!х!
а б в
г д
2).
а б в
1. У=ах
2
(а >0 ) г) д
2. У =к/х(к>0)
3. У= к/х (к<0)
4. У= х
1/2
, 5. У=ах
2
(а<0)
2 уровень.
“Проанализируйте уравнения, их графики и заполните таблицу”. В
таблице записаны уравнения с двумя переменными, а ниже приведены их
графики. Ваша задача состоит в том, чтобы поставить в соответствие
каждому уравнению график. Системы уравнений обозначены буквами. Если
все задания выполните правильно вы прочитаете имя одного из
древнегреческих математиков.
3 уровень.
-Изображены графики некоторых уравнений, а справа записаны системы
уравнений. Но в этой системе одного уравнения не хватает. Ваша задача
заключается в том, чтобы
1. в систему вписать уравнение линии, изображенной на чертеже
2. дополнить чертеж графиком, уравнение которого уже записано в
системе
3. найти решения данной системы графически.
В правом столбце таблицы записаны буквы, а рядом пара чисел. Каждая пара
соответствует решению системы . Из полученных букв составьте фамилию
великого французского ученого. Работает каждый индивидуально. Время
работы 10 минут.
В это же время у доски 4 учащихся выполняют работу в парах (слайд 13).
- Возьмите свои оценочные листы, поставьте себе оценку за работу на третьем этапе урока
и выразите свое эмоциональное состояние.
Этап IV.Исследовательская деятельность.
- На данном этапе урока нам предстоит с вами побывать в роли исследователей. Перед
нами стоит задача: выяснить количество решений системы двух уравнений с двумя
переменными в зависимости от параметра.
Индивидуальное домашнее задание , которое приготовил ученик(слайд
14,15).
Если , то система имеет единственное решение,
если , то система не имеет решений,
если , то система имеет бесконечно много решений.
При каких значениях параметра а система
а) имеет бесконечно много решений;
б) имеет единственное решение?
Решение:
а) , а = 4.
б) , а 4.
Решите систему уравнений:
Решение:
2
1
2
1
b
b
a
a
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
=
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
==
=−
=−
146
732
yax
yx
14
7
6
32
=
−
−
=
a
6
32
−
−
a
=+
=++
nyx
ymx
2
1)1(
а)
, т.е. при m 1 система имеет единственное решение
,
б) , т.е. при m = 1 и n 1 исходная система решений не имеет.
в) , при m = 1 и n = 1 система имеет бесконечно много решений.
Ответ: если m = 1 и n 1, то решений нет;
если m = 1 и n = 1, то решений бесконечное
множество, ;
если m 1 и n – любое, то
ИТОГ УРОКА.
Итак, сегодня мы с вами
=+
=++
nyx
ymx
2
1)1(
2
1
1
1 +
m
−=
+−=
ynx
ymx
2
)1(1
ynyym 21 −=−−
1−=+− nyym
−
−
−=
−
−
=
m
n
nx
m
n
y
1
22
1
1
−
+−−
=
−
−
=
m
mnn
x
m
n
y
1
2
1
1
n
m 1
2
1
1
1
+
=
n
m 1
2
1
1
1
=
+
=
−=
−
ynx
y
2
любое
−
+−−
=
−
−
=
m
mnn
x
m
n
y
1
2
1
1
• закрепили знания, умения и навыки по теме “Уравнения с двумя
переменными второй степени и их графики. Решение систем уравнений
с двумя переменными”.
• познакомились с великим ученым, который внес огромный вклад в
развитие математики.
• приобрели начальные навыки исследовательской деятельности
Все ваши работы сложите в файл и сдайте.
Задание на дом (слайд 16-18).
-Осталось проверить барометр вашего настроения.
Урок окончен.
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: