Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Рациональные уравнения" 9 класс

1
Калиева Улбосын Амановна
учитель высшей квалификационной
категории
ГБОУ «Лицей «МКШ им. В.Н. Челомея»
Алгебра в 9 классе.
(2 урока – 90 мин.).
Тема: Рациональные уравнения.
Цель урока:
1. Сформировать знания по решению уравнений, научить решать
рациональные уравнения различными методами, распознавать основные
типы уравнений и выбирать метод решения.
2. Добиться понимания необходимости владения методами решения
уравнений, умения применять приемы сравнения, выделять главное,
переносить знания в новую ситуацию; развивать творческие способности
учащихся.
3. Продолжить развитие памяти, мышления, речи, внимания.
Оборудование: экран, кодоскоп, кодопозитивы, магнитная доска, карточки,
комплект дидактической игры «Лото», копировальная бумага, таблицы, экран.
Ход урока.
I. Оргмомент. (1 мин)
II. Проверка домашнего задания.(5 мин)
(На кодоскопе заранее заготовлено дом. задание. Просмотр тетрадей, пары
обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку. Работа ведется
фронтально: выяснение типичных ошибок учащихся и причин их
породивших. Исправление обнаруженных ошибок. Оценивание в баллах.)
№
пп
Задания
Ответы
1.
Может ли нарушиться равносильность, если выполнить
следующее преобразование(1-3):
В уравнении (8х+1)(2х-3)-1 = (4х-2)
2
раскрыть скобки и
привести подобные члены
нет
2.
В уравнении (2х-8)
2
= 4х (2х-8) обе части разделить на 2х-8
да
3.
В уравнении дробь
сократить на х-2
да
7
2
23
2
2
=++
−
+−
xx
x
xx
2
23
2
−
+−
x
xx
2
4.
Покажите равносильные уравнения и уравнения–
следствия(4-6)
(9-х
2
)(9+х
2
)=0 и 81-х
4
=0
5.
х
2
-5/(x-4) = 16 -5/(x-4) и х
2
=16
6.
и
7.
Решите уравнения (7-9)
8.
{-5;-1;1;5}
9.
{-1/4; 1/4; 2}
10.
Разложите на множители (10-12)
(x+2)(x
2
+x+4)
11.
12.
(x+1)(x-2)(x+2)(x
2
+1)
Выводы (на экране):
!
!
Равносильные преобразования
Неравносильные преобразования
1.Простейшие преобразования;
2. Преобразования, связанные с
применением тождественных
равенств;
3.Решение простейших уравнений
(линейных и квадратных)
1. Освобождение от знаменателей,
содержащих переменные;
2. Приведение подобных членов
(дробей, содержащих
переменные в знаменателе )
уравнения
067
22
=+− xx
067
2
=+− xx
2
)24(1)32)(18( −=−−+ xxx
3
1
1−=x
02526
24
=+− xx
023216
23
=+−− xxx
863
23
+++ xxx
60324195
2345
−++−− xxxxx
2
)2)(5)(3)(1( +−−− xxxx
4433
2345
−−−−+ xxxxx
3
!
III. Повторение. Опрос.(5-7 мин)
1.Два ученика у доски:
а) доказать теорему Безу;
б) разложить на три множителя многочлен ,
используя теорему Безу.
2.Класс работает устно. Задание на экране.
1) Равносильны ли уравнения? Указать ОДЗ уравнений.
а) и ;
б) и .
2) Какое из двух уравнением является следствием?
а) и ;
б) и .
3) Указать ОДЗ уравнения:
а) ; б) ; в) . Что является решением
каждого из этих уравнений?
3.Вопросы:
1. Что называется уравнением с одним неизвестным?
2. Что называется областью определения уравнения f(x)=g(x)?
3. Что значит решить уравнение?
4. Что называется корнем уравнения f(x) = g(x)?
5. Какое уравнение называется возвратным?
6. Какое уравнение называется однородным?
Ответы:
1. Уравнением с одним неизвестным называется запись вида f(x) = g(x), в
которой f(x) и g(x)– выражения от неизвестной х.
2. Областью определения уравнения называется множество всех значений
х, при которых определены обе части уравнения.
3. Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что их нет.
4. Корнем или решением уравнения называется значение неизвестного, при
подстановке которого в уравнение получается верное числовое
равенство.
5. Алгебраическое уравнение вида называется
возвратным, если его коэффициенты, одинаково удаленные от начала и
от конца, равны между собой.
6. Уравнение вида Р(х) =0 называется однородным уравнением степени k
относительно переменной х, если Р(х)–однородный многочлен степени k.
=
=
.0
,0
0
b
a
b
a
44112)(
234
++−+= xxxxxP
xxx 2124
2
−=−
014
2
=−x
5
)1(
)1(
2
=
−
−
x
x
51=+x
3
9
3
2
−
=
− xx
x
9
2
=x
30)4)(3( =−+ xx
3043 =−+ xx
0
1
1
=
−
−
x
x
1
5
5
=
−
−
x
x
13682 =−+− xx
0...
1
10
=+++
−
n
nn
axaxa
4
IV. Вводная беседа учителя. (2 мин)
- Один начинающий волшебник, герой шуточной песни, неумело обращался
с заклинаниями, в результате вместо грозы у него получилась коза, а вместо
утюга – слон. Чтобы не получилось как у нашего героя, решать уравнения
нужно начинать с рассуждений, совершить ряд преобразований, и делать это
следует очень осмотрительно.
Например, решая уравнения, мы могли бы рассуждать так (на экране)
Пример 1
Пример 2
Ответ: х = -1.
Ответ: х=-2, х=1
На самом деле, стараясь «избавиться от всего лишнего», мы допустили
ошибки. Какие?
- В результате неравносильных преобразований в уравнении 1 потерян
корень х = 0, а в примере 2 появился посторонний корень х = 1.
- Как же не попасть в подобные ловушки?
- Сегодня на уроке мы научимся методам и приемам решения
рациональных уравнений и проведем классификацию этих уравнений по
виду. Но сначала выясним как мы повторили домашнее задание.
V. Тест (под копировальную бумагу) (5мин)
№ пп
Задания
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Решите уравнение х
3
+ х
2
-2х=0.
а) -1; 2; б) -2; 1; в) 2; 0; -1; г) -2; 0; 1.
Решите уравнение х
4
-8х
2
– 9 = 0.
а) -1; 1; б) 1; 3; в) 3; -3; г) 3; -3; 1; -1.
Решите уравнение (х
2
+ 4х + 1)(х
2
+ 4х + 5)=-4.
а) 4; -2; б) -1; -3; в)1; 3; г) -2; 4.
Найдите все значения а, при которых уравнение (а
2
+а)х = а
2
-4а
не имеет корней.
а) 4; 0; б) -2; 2; в) 0; -1; г) 1; 4.
Решите уравнение
а) -2; -4; 4 ; б) -2; в) 4; 0; г) -4.
Найдите корни многочлена х
3
-2х
2
-29х+30.
а) 6; -5; б) -5; 1; 6; в) 1; 2; 6; г) -1; -5; 6.
Найдите корни многочлена х
4
-4х
3
+5х
2
-2х-12.
а) -1; 3; б) 3; 4; в) нет корней; г) 0; 5.
1
,23
,2)3(
−=
=+
=+
x
x
xxx
2,1
,023
,341
,
1
34
1
1
2
2
2
−==
=+−
−=−+
−
−
=
−
−+
xx
xx
xxx
x
x
x
xx
.0
28
)2)(16(
2
2
=
−+
+−
xx
xx
5
№ пп
Ответы
Производится самопроверка, учащиеся выставляют баллы через копирку в
тетрадях для самостоятельных работ.
№ пп
1
2
3
4
5
6
7
Ответы
г
в
б
в
г
б
а
VI. Изучение нового материала. (40 мин)
Определение.
Функция вида , где n – натуральное число,
- некоторые действительные числа, называется целой
рациональной функцией.
Определение.
Уравнение вида P(x)=0, где P(x) – целая рациональная функция, называется
целым рациональным уравнением.
Определение.
Уравнение вида , где
– целые рациональные функции,
называется рациональным уравнением.
Основные типы уравнений
1. Решить уравнение .
Решение.
Сложив дроби, стоящие в левой части, получим уравнение
, равносильное данному. Это уравнение равносильно системе:
Квадратное уравнение имеет корни x = 3, x = -1, а x = -1 – посторонний
корень.
Ответ: x = 3.
2. Решить уравнение .
Решение.
Разложим многочлен, стоящий в левой части на множители методом
группировки.
nn
nn
axaxaxaxP ++++=
−
−
1
1
10
...)(
n
aaa ,...,,
10
0
)(
)(
...
)(
)(
)(
)(
2
2
1
1
=+++
xQ
xP
xQ
xP
xQ
xP
m
m
)(),...,(),(),(),...,(),(
2121
xQxQxQxPxPxP
mm
0
1
2
1
1
1
2
=
−
−
−
−
+
x
xx
x
0
1
32
2
2
=
−
−−
x
xx
=−−
.0
,032
2
2
x
xx
012832
23
=+−− xxx
6
, тогда исходное уравнение
равносильно уравнению , которое равносильно совокупности
уравнений:
Ответ:
3) Решить уравнение .
Решение.
Приведем уравнение к стандартному виду: , ОДЗ
уравнения: . Применяя теорему Безу многочлен можно записать так:
. Тогда исходное уравнение
равносильно уравнению , которое равносильно
совокупности уравнений
Ответ:
4) Решить уравнение .
Решение.
ОДЗ уравнения: .
Пологая, что , получим уравнение . Решая его,
получим: .
Возвращаясь к переменной х , имеем
Ответ: .
5)Решить уравнение .
Решение.
ОДЗ уравнения: .
)4)(32()32(4)32(12832
2223
−−=−−−=+−− xxxxxxxx
0)4)(32(
2
=−− xx
.2,2,
2
3
,04
,032
321
2
−===
=−
=−
xxxоткуда
x
x
− 2;5,1;2
44112
234
−−=+ xxxx
044112
234
=++−+ xxxx
Rx
)25)(2)(1(44112
2234
++−−=++−+ xxxxxxxx
0)25)(2)(1(
2
=++−− xxxx
=++
=−
=−
;025
,02
,01
2
xx
x
x
−
=
=
=
.
2
175
,2
,1
x
x
x
−
2;1;
2
175
036)23(13)23(
24
=++−+ xx
Rx
2
)23( += xy
03613
2
=+− yy
9,4
21
== yy
=+
=+
;9)23(
,4)23(
2
2
x
x
−=+
=+
−=+
=+
323
323
223
223
x
x
x
x
−=
=
−=
=
.35
,31
,34
,0
x
x
x
x
−− 0;
3
1
;
3
4
;
3
5
01)33)(13(
22
=+++++ xxxx
Rx
7
Пусть , тогда уравнение примет вид , откуда .
Возвращаясь к первоначальной переменной, получим уравнение:
Ответ:
6) Решить уравнение .
Решение.
ОДЗ уравнения: .
Пусть , тогда уравнение имеет вид: или ,
откуда . Следовательно, исходное уравнение равносильно
совокупности уравнений:
Ответ:
7) Решить уравнение .
Решение.
ОДЗ уравнения: .
Непосредственной проверкой устанавливаем, что х=0 не является корнем
данного уравнения. Тогда выносим х за скобки в каждом множителе левой
части уравнения:
Замена: , отсюда получим уравнение t (t+8) =9, откуда t
1
=1, t
2
=-9.
Далее:
txx =++ 13
2
01)2( =++tt
1−=t
023
2
=++ xx
−=
−=
.2
,1
x
x
−− 1;2
04
5
35
2
2
=+
−+
+
−+
xx
x
x
xx
−
2
211
,0/ xxRx
t
x
xx
=
−+ 5
2
04
3
=++
t
t
034
2
=++ tt
1,3
21
−=−= tt
−=
−+
−=
−+
,1
5
;3
5
2
2
x
xx
x
xx
=−+
=−+
052
;054
2
2
xx
xx
+−=
−−=
−=
=
.61
,61
,5
,1
x
x
x
x
+−−−− 61;61;5;1
222
9)152)(132( xxxxx =+++−
Rx
2
9)
1
52()
1
32( x
x
xx
x
xx =+++−
9)
1
52)(
1
32( =+++−
x
x
x
x
t
x
x =+−
1
32
−=−+
=−+
,93
1
2
;13
1
2
x
x
x
x
=++
=+−
.0162
;0142
2
2
xx
xx
8
Ответ: .
8) Решить уравнение .
Решение.
ОДЗ уравнения: .
Очевидно, что х = 0 не является корнем данного уравнения. Тогда, разделив обе
части уравнения на х
2
, получим уравнение равносильное исходному:
Из этой записи видно, что это обобщенное возвратное уравнение. Пусть
, тогда , откуда
Отсюда t
2
+8-3t-8=0, t(t-3)=0, т.е. t
1
=0, t
2
=3.
Далее:
Ответ: { -2; -1; 2; 4 }.
9) Решить уравнение
Решение.
ОДЗ уравнения:
Запишем уравнение так:
Из этой записи видно, что это обобщенное возвратное уравнение.
Пусть , тогда . Теперь уравнение имеет вид:
3(t
2
+ 8/3) - 10t = 0. Отсюда 3t
2
– 10t +8 = 0, т.е. t
1
=2, t
2
=4/3.
Возвращаясь к переменной х, имеем:
Ответ: .
10) Решить уравнение .
2
133
;
2
22 −
0161283
234
=++−− xxxx
Rx
,0
1612
8
2
2
=++−−
x
x
xx
.08)
4
(3
16
2
2
=−−−+
x
x
x
x
t
x
x =−
4
22
)
4
( t
x
x =−
.8
16
2
2
2
+=+ t
x
x
=−
=−
,3
4
;0
4
x
x
x
x
=−−
=−
043
04
2
2
xx
x
=−=
−==
.4,1
,2,2
xx
xx
).
4
3
(10
48
3
2
2
x
x
x
x
−=+
.0/ xRx
.0)
4
3
(10)
16
9
(3
2
2
=−−+
x
x
x
x
t
x
x
=−
4
3
3
816
9
2
2
2
+=+ t
x
x
=−
=−
,
3
44
3
;2
4
3
x
x
x
x
=−−
=−−
,0124
;0126
2
2
xx
xx
=−=
=
.6,2
,213
xx
x
− 6;213;2
( ) ( )
03121
624
3
2
=−+−++− xxxxxx
9
Решение.
ОДЗ уравнения: .
Данное уравнение однородное.
Х = 0 не является корнем данного уравнения. Разделим левую и правую части
равенства на х
6
. Тогда получим:
.
Пусть , тогда решим уравнение . Легко видеть , что
у
1
=1. Разделим многочлен у
3
+ 2у – 3 на у – 1, перейдем к равносильному
уравнению (у – 1)(у
2
+ у + 3) = 0. Решая его получим, что у = 1. Тогда
, т.е. х = 1.
Ответ: х = 1.
11) Решить уравнение .
Решение.
ОДЗ уравнения: .
При решении уравнений подобного вида не следует спешить раскрывать
скобки. Надо найти выгодный способ группировки множителей. Чаще всего он
таков в общем случае приводится к решению уравнения вида
. Если a+ d = b+ c, то группируют пары так:
.
Решаем данное уравнение, пользуясь этим замечанием:
Пусть , тогда (t - 2) t = 24, t
1
= -4, t
2
= 6. Возвращаясь к переменной х,
получим:
х
1
= -3, х = 2.
Ответ: { -3; 2 }.
12) Решить уравнение .
Решение.
ОДЗ уравнения: .
Группируя правый множитель с последним, а второй с третьим , получим:
.
Введя новую переменную и затем, решив совокупность уравнений, получим
х
1
= 0, х
2
= - 5.
Ответ: { -5; 0 }.
Rx
03
1
2
1
2
2
3
2
2
=−
+−
+
+−
x
xx
x
xx
t
x
xx
=
+−
2
2
1
032
3
=−+ tt
1
1
2
2
=
+−
x
xx
24)2()1)(1( =++− xxxx
Rx
Adxcxbxax =++++ ))()()((
Abxcxdxax =++++ )))())(()(((
.24))(2(
,24))1())(2)(1((
22
=+−+
=++−
xxxx
xxxx
xxt +=
2
=+
−=+
,6
;4
2
2
xx
xx
24)4)(3)(2)(1( =++++ xxxx
Rx
24)65)(45(
22
=++++ xxxx
10
13) Решить уравнение .
Решение.
ОДЗ уравнения:
В левой части уравнения выделим квадрат разности.
Пусть , тогда . Отсюда:
.
Ответ: .
Вывод: мы рассмотрели основные методы решения рациональных уравнений:
1. Способ группировки.
2. Вынесение общего множителя за скобки.
3. Использование формул сокращенного умножения.
4. Способ выделения полного квадрата.
5. Разложение на множители.
6. Введение новой переменной.
- Какой метод решения уравнений объединяет все с1 по 5 перечисленные
приемы? В чем его суть?
Ответ: метод разложения на множители. Суть этого метода заключается в
следующем: f
1
(x)f
2
(x)f
3
(x)=0 можно заменить совокупностью уравнений:
f
1
(x) = 0, f
2
(x) = 0, f
3
(x)=0 . Решив уравнения этой совокупности, нужно взять
их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а
остальные отбросить как посторонние.
- Чем же шестой метод особенен?
Ответ: удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более
прозрачной.
- В чем суть этого метода? (учитель показывает на экране формулировку и
обсуждает с учащимися)
!
Если уравнение f(x) = 0 удалось преобразовать к виду h(q(x)) = 0.
то нужно ввести новую переменную y = q(x), решить уравнение
h(y) = 0, а затем рассмотреть совокупность уравнений :
q(x) = y
1
, q(x) = y
2
, ..., q(x) = y
n
, где y
1
, y
2
, ..., y
n
- корни уравнения
h(y) = 0.
40
)9(
81
2
2
2
=
+
+
x
x
x
.9/ − xRx
.040
9
18)
9
(
,40
9
18
)
9
9
(
,40
9
9
2)
9
9
(
9
9
2
2
2
2
2
2
22
=−
+
+
+
=
+
+
+
−
=
+
+
+
+
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
t
x
x
=
+ 9
2
2,20,04018
21
2
=−==−+ tttt
=
+
−=
+
,0
9
;20
9
2
2
x
x
x
x
=−−
=++
.0182
,018020
2
2
xx
xx
191=x
191=x
11
VII. Закрепление изученного материала.(20 мин)
(учитель показывает на экране самостоятельную работу и обсуждает с
учащимися методы решений уравнений).
Дифференцированная самостоятельная работа по выбору учащихся
( выполняется в парах) предлагается в виде игры «Лото»
Оборудование: карта, поделенная на 9 одинаковых клеток, на которых
написаны уравнения, двусторонние карточки: с одной стороны записаны
ответы к уравнениям, а на другой слова, которые вместе составляют эпиграф к
данному уроку. Задание: решить уравнения на карте, найти карточки с
правильными ответами и закрыть ими соответствующие уравнения. Карточки
нужно класть ответом вниз, тогда на верхней их стороне получиться эпиграф.
(1-3 уравнения уровня А, 4-5 -уровня Б, 6-9 – уровня С).
Карта с уравнениями
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Карточки с правильными ответами (разрезные) I сторона
{ -1; 3}
{ 1}
{ -3; 0}
{1}
II сторона
РАЗВИТИЕ И ОБРАЗОВАНИЕ
ИЛИ СООБЩЕНЫ.
НИ ОДНОМУ ЧЕЛОВЕКУ
ВСЯКИЙ, КТО
НЕ МОГУТ БЫТЬ ДАНЫ
ЖЕЛАЕТ К НИМ
ПРИОБЩИТЬСЯ,
СОБСТВЕННОЙ
ДОЛЖЕН
ДЕЯТЕЛЬНОСТЬЮ,
ДОСТИГНУТЬ ЭТОГО
СОБСТВЕННЫМИ
01363)12(
222
=−−+−− xxxx
)94()96(
222
−−=−− xxxxx
9
142
)
1
(2
1
2
2
=+++
x
x
x
x
1024)14)(8)(2)(4( =+++− xxxx
81)3(2)6(
222
=−−− xxx
015372
234
=−+−− xxxx
051214125
234
=+−+− xxxx
1
)4)(1(
8
)2)(1(
6
=
+−
+
++ xxxx
1
232
33
22
2
2
2
2
+−
+−
=
+−
++
xx
xx
xx
xx
− 9;
2
615
;1
−
3;
3
1
;
3
558
955 −
203;3
− 32;
2
1
;1
12
СИЛАМИ,
ИЗВНЕ ОН
СОБСТВЕННЫМ
МОЖЕТ ПОЛУЧИТЬ
НАПРЯЖЕНИЕМ.
ТОЛЬКО ВОЗБУЖДЕНИЕ
Карточки уровня А по 1б
уровня Б по 2б
уровня В по 3б
Решения выполняются в тетрадях для самостоятельных работ.
Количество баллов и предварительная оценка ставиться самим учеником и эти
тетради собираются на проверку.
VIII. Итоги и домашнее задание.(7-8 мин)
30-25 б – оценка «5»
24-19 б – оценка «4»
18-13 б - оценка «3»
менее 13 б – оценка «2»
Уровень А (оценка «2» или «3»):
1)Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике в 9
классе: № 2.124(а), № 2.126(а,б), 2.129(а,б);
2)А.П.Ершова «Разноуровневые дидактические материалы» С-7 Вариант Б
1
Уровень Б (оценка «4»или «5»):
1) А.П.Ершова «Разноуровневые дидактические материалы» С-7 Вариант В
2
2) С-8* Вариант А
1
№1 (а-г); №2(а,б).
IX.Выводы и обобщение по схеме.
13
Литература:
1. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк «Алгебра. 9 класс»
2. М.Л.Галицкий «Сборник задач по алгебре. Учебное пособие для 8-9
кл. с углубленным изучением математики».
3. Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк «Дидактические материалы по алгебре
для 9 класса с углубленным изучением математики».
4. А.П.Ершова «Разноуровневые дидактические материалы».
5. Н.Я. Виленкин «Алгебра 9 класс».
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: