Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Формулы приведения" 10 класс

ГБОУ СОШ №183 Центрального района Санкт-Петербурга
Конспект урока
по алгебре и началам анализа
для 10 класса
на тему:
«Формулы приведения»
(Урок первый)
Исполнитель:
Учитель математики
Шарко Тамара Валентиновна
Санкт - Петербург
2015 год
I. Тип урока: Изучение нового материала
II. Цели и задачи урока:
Обучающие
• Продолжить овладение системой математических знаний и умений,
необходимых для продолжения образования;
• повторить свойства тригонометрических функций, свойства вращательного
движения;
• продемонстрировать с помощью визуального дидактического материала
основные этапы получения (вывода) формул приведения, опираясь на
симметрию вращательного движения;
• «открыть» мнемоническое правило для запоминания формул приведения;
• показать возможность применения формул для упрощения
тригонометрических выражений;
Развивающие
• Расширять кругозор и познавательный интерес учащихся;
• создать ситуацию, при которой каждый из учащихся приобщился бы к
активной познавательной деятельности;
Воспитательные
• Формировать интерес к изучению математики и смежных дисциплин на
материале темы урока;
• Воспитывать культуру математической речи.
III. Примененные технологии урока:
• Информационно-коммуникативные технологии
• Технология гуманитаризации
• Здоровьесберегающие технологии
IV. Оборудование:
• Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11.Учебник для
образовательных учреждений базовый уровень/ Ш.А. Алимов,
Ю.М.Колягин и др.- М.: Просвещение, 2014 .
• Персональный компьютер;
• Мультимедийный проектор; экран;
• Стенды, оформленные по теме урока.
V. Программное обеспечение: MS Office Power Point
VI. План урока:
VII. Ход урока:
1. Организационный момент.
Приветствие, сообщение учащимся темы и цели урока.
2. Повторение и обобщение изученного материала.
Повторение изученного ранее (синус, косинус, тангенс и котангенс углов α и – α;
таблицу значений тригонометрических функций; знаки тригонометрических
функций; поворот точки вокруг начала координат)
1. Пусть значение α мало и положительно (0˂α˂π/2)
а) Определите, в какой четверти лежит угол?
1) 3π/2 – α III
2) π – α II
3) 2π – α IV
4) 2π + α I
5) π + α III
Повторить!
№
Вид работы
Время, затраченное на выполнение (мин)
1
Организационный момент
2
2
Повторение и обобщение
изученного материала
3
3
Актуализация знаний.
Создание проблемной
ситуации. Изложение нового
материала
15
4
Тренинг по формулам
приведения. Отработка
мнемонического правила.
10
5
Закрепление нового материала
10
6
Подведение итогов урока
3
7
Запись домашнего задания
1
8
Рефлексия
1
Чтобы определить положение точки на окружности, необходимо знать:
- угол поворота;
- направление движения.
В качестве положительного направления движения выбирают движение против
часовой стрелки.
б) Определите знак данного значения функции:
1) sin (π – α) +
2) cos (3π/2 – α) -
3) tg (2π – α) -
4) ctg (2π + α) +
5) cos (π + α) -
Информационная схема
Информационная схема 1.
Устно
Информационная схема
2. Вычислите
а) cos (-60
0
) 0,5
б) sin (-45
0
) - √2/2
в) ctg (
-π/4) -1
г) cos 135
0
- √2/2
3. Актуализация знаний. Создание проблемной ситуации. Изложение нового
материала.
Устное решение задач на нахождение значений тригонометрических функций. В
трех случаях учащиеся могут выполнить поставленную задачу, применяя
различные знания и способы решений. В четвертой задаче учащиеся сталкиваются
α
0
π/6
π/3
π/2
sinα
0
1/2
√3/2
1
cosα
π/2
π/3
π/6
0
α
с проблемной ситуацией, которая указывает на необходимость получения новых
математических знаний.
Учитель сообщает о том, что новый факт, который поможет справиться с задачей
– это и есть формулы приведения.
III. Изложение нового материала.
Тема урока: «Формулы приведения»
Определение: Формулами приведения называются соотношения, с помощью
которых значения тригонометрических функций аргументов π/2 ±α; π ±α;
3π/2±α; 2π ±α
выражаются через значения sin α, cos α, tg α, ctg α.
Цели урока на уровне ученика:
- наблюдая свойства вращательного движения точки по окружности, «открыть»
(получить) формулы приведения;
- «открыть» правило для их запоминания;
- учиться применять формулы приведения для упрощения тригонометрических
выражений.
Когда мы находим значения тригонометрических функций с помощью единичной
окружности, мы используем уже известные табличные значения.
Обратим внимание, что таблица значений тригонометрических функций
составлена для углов от 0° до 90°. Это объясняется тем, что значения
тригонометрических функций для остальных углов сводятся к значениям
тригонометрических функций для острых углов. А формулы, которые позволяют
сделать это, называются формулами приведения.
Формулы приведения
Формулы приведения необходимы для того, чтобы привести вычисления значений
тригонометрических функций для любого аргумента к вычислению
тригонометрический функций для аргумента [0; π/2]
Формулы приведения основаны на симметрии вращательного движения (см
информационная схема «Свойства вращательного движения»)
1. Докажем, что для любого α
sin (α+2 πk) = sin α, cos (α+2 πk) = cos α , где к принадлежит множеству целых
чисел
Информационная схема (свойство 1)
Это свойство выражает периодичность вращательного движения.
Так как точка P
t
совпадает на окружности с точкой P
t+2πκ
, то их абсциссы и
ординаты равны, поэтому равны значения.
sin (t+2 πk) = sin t,
cos (t+2 πk) = cos t
2. Запишем в координатной форме свойство 3 вращательного движения.
Абсцисса точки P
t+π
cos (t+π)
Абсцисса точки P
t
cos t
Так как точки диаметрально противоположны, их абсциссы отличаются только
знаком (противоположные числа).
cos (t+π)= - cos t
Ординаты диаметрально противоположных точек тоже являются
противоположными числами, поэтому sin (t+π) = - sin t.
3. Запишем в координатной форме свойство 5 вращательного движения.
Так как точки P
t и
P-
t+π
симметричны относительно оси ординат, то их ординаты
равны, то есть
sin (- t+π) = sin (π- t) = sin t, а абсциссы – противоположные числа
cos (- t+π) = cos (π- t) = - cos t
4. Ранее были получены следующие формулы
sin (π/2 – t) = cos t
cos (π/2 – t) = sin t
Формулы приведения для тангенса и котангенса получаются как следствие
полученных формул для синуса и косинуса.
tg (t+2 πk) = tg t , ctg (t+2 πk) = ctg t
Формул приведения много, а точнее 32. И все формулы надо знать. К счастью
существует простое мнемоническое правило, позволяющее быстро воспроизвести
любую формулу приведения. Правда для этого надо хорошо знать основы
тригонометрии – единичную окружность и способы работы с ней.
Задание для учащихся: внимательно просмотрите формулы приведения и заметьте
сходство и различия в них.
1. Каждая формула связывает между собой либо синус с косинусом, либо
тангенс с котангенсом. Причём, первая функция либо меняется на вторую,
либо нет.
В левой части формулы аргумент представляет собой сумму или разность одного
из «основных координатных углов»: π/2 ; π ; 3π/2; 2π и острого угла α, а в правой
части аргумент α.
2. В правой части знак перед функцией либо «плюс», либо «минус».
Мнемоническое правило (мнемоника – искусство запоминания).
Достаточно задать себе два вопроса:
1. Меняется ли функция на кофункцию?
Ответ: Если в формуле присутствуют углы π/2 или 3π/2 - это углы вертикальной
оси, киваем головой по вертикали и сами себе отвечаем: «Да», если же
присутствуют углы горизонтальной оси π или 2π, то киваем головой по
горизонтали и получаем ответ: «Нет».
2. Какой знак надо поставить в правой части формулы?
Ответ: Знак определяем по левой части. Смотрим, в какую четверть попадает угол,
и вспоминаем, какой знак в этой четверти имеет функция, стоящая в левой части.
Для применения формул приведения необходимо помнить правило:
Название функции не меняется, если к аргументу левой части добавляется – π или
+ π, меняется, если добавляются числа ± π/2 или ± 3π/2.
Знак в правой части определяется знаком левой при 0˂ t ˂π/2.
IV. Тренинг по формулам приведения. Отработка мнемонического правила.
Упростите выражение
1) cos (π/2 – α) = sin α
2) sin (π + α) = - sin α
3) ctg (3π/2 – α) = tg α
4) tg (3π/2 + α) = - ctg α
5) sin (2π – α) = - sin α
π
0
НЕТ
π/2
3π/2
ДА
V. Тест “Формулы приведения»
Упростите выражение для угла α
Вариант -1
cos α
ctg α
- tg α
- ctg α
- cos α
cos (2π – α)
+
sin (π/2 – α)
+
tg (3π/2 – α)
+
tg (180
0
– α)
+
ctg (360
0
- α)
+
sin (270
0
- α)
+
Вариант -2
ctg α
sin α
- ctg α
- sin α
- cos α
cos (3π/2 + α)
+
ctg (π + α)
+
sin (2π + α)
+
sin (180
0
+ α)
+
cos (90
0
- α)
+
tg (270
0
+ α)
+
VI. Найдите ошибку
1) sin (3π/2 + α) = - sin α 1) sin (3π/2 + α) = - cos α
2) tg (π + α) = - tgα 2) tg (π + α) = tgα
3) cos (π/3 + α) = sin α 3) cos (π/3 + α) = нет формулы
приведения, так как к аргументу левой части добавляется π/3
VII. Софизм – умышленное ложное умозаключение с замаскированной ошибкой.
Софизм – от греческого σοφιδμα – уловка, выдумка, головоломка.
Софизм π/4 = 0 ?! Найдите ошибку.
1 + sin π/4 - cos π/4 = tg π/4
1 + sin π/4 - cos π/4 = (sin π/4): (cos π/4)
cos π/4 +sin π/4 cos π/4 – cos
2
π/4 = sin π/4
cos π/4 (sin π/4 - cos π/4) = sin π/4 - cos π/4
cos π/4 =1
π/4 = 0?!
Так как sin π/4 = cos π/4, sin π/4 - cos π/4 = 0, (cos π/4) 0 = 0
Список литературы
• Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11.Учебник для
образовательных учреждений базовый уровень/ Ш.А. Алимов,
Ю.М.Колягин и др.- М.: Просвещение, 2014 .
• М.И. Башмаков Математика 10 класс (базовый уровень) книга для учителя
–М.: Издательский центр «Академия», 2008
• Дидактические материалы. 10 класс. Базовый уровень. Автор: Шабунин
М.И., Ткачева М.В.
• Резник Н.А. Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла//
Математика в школе, 2003.-№8
• Резник Н.А. Визуальные уроки. Комплект дидактических материалов к
школьным урокам. – СПб.: Свет, 1996
Список источников иллюстраций
• Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб.
для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И.Башмаков. – 3-е изд.,
стер. – М. : Издательский центр «Академия», 2017 г. – 256 с., с. 93-98.
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: