Школьный этап всероссийской олимпиады школьников 11 класс


11 класс.
Школьный этап олимпиады
Рекомендуемое время проведения олимпиады: 3- 4 урока
Методика оценивания выполнения олимпиадных заданий
Наилучшим образом зарекомендовала себя на математических олимпиадах
7-балльная шкала, действующая на всех математических соревнованиях от
начального уровня до Международной математической олимпиады. Каждая задача
оценивается целым числом баллов от 0 до 7. Итог подводится по сумме баллов,
набранных участником.
Баллы
Правильность (ошибочность) решения
7
Полное верное решение.
6-7
Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не
влияющие на решение.
5-6
Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в
обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью
правильным после небольших исправлений или дополнений.
4
Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных
случаев.
2-3
Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении
задачи.
1
Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения
(или при ошибочном решении).
0
Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0
Решение отсутствует.
Тематика заданий школьного этапа олимпиады
Числа и вычисления.
Делимость. Простые и составные числа. Разложение числа на простые множители.
Четность. Деление с остатком. Признаки делимости на 2
k
, 3, 5
k
, 6, 9, 11. Свойства
факториала. Свойства простых делителей числа и его степеней. Взаимно простые
числа
Целые числа. Рациональные числа. Иррациональные числа. Число π .
Выражения и их преобразования.
Многочлены. Формулы сокращенного умножения. Разложение многочленов на
множители. Теорема Безу.
Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Корень n-й степени и его свойства. Свойства степени с рациональным показателем.
Тригонометрия.
Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения.
Преобразования тригонометрических выражений. Свойства тригонометрических
функций: ограниченность, периодичность.
Уравнения и неравенства.
Уравнения с одной переменной. Квадратные уравнения. Теорема Виета.
Иррациональные уравнения. Показательные и логарифмические уравнения, их
системы. Тригонометрические уравнения.
Неравенства с одной переменной. Решение неравенств методом интервалов.
Показательные и логарифмические неравенства.
Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.
Простейшие уравнения, неравенства и системы с параметрами.
Неравенства второй степени с одной переменной. Неравенства о средних.
Системы уравнений.
Текстовые задачи, сводящиеся к решению уравнений, неравенств, систем
уравнений.
Функции.
Числовые функции и их свойства: периодичность, четность и нечетность,
экстремумы, наибольшее и наименьшее значения, промежутки
знакопостоянства, ограниченность. Понятие об обратной функции. Свойство
графиков взаимно обратных функций.
Тригонометрические функции числового аргумента: синус, косинус, тангенс,
котангенс. Свойства и графики тригонометрических функций.
Показательная функция, ее свойства и график. Логарифмическая функция, ее
свойства и график. Степенная функция, ее свойства и график.
Производная, ее геометрический и механический смысл.
Применение производной к исследованию функций, нахождению их наибольших и
наименьших значений и построению графиков. Построение и преобразование
графиков функций.
Касательная и ее свойства.
Планиметрия и стереометрия.
Планиметрия.
Признаки равенства треугольников. Признаки подобия треугольников. Неравенство
треугольника. Площадь треугольника.
Многоугольники. Правильные многоугольники.
Окружность. Касательная к окружности и ее свойства. Центральные и вписанные
углы. Окружность, описанная около треугольника. Окружность, вписанная в
треугольник.
Угол между касательной и хордой. Пропорциональные отрезки в окружности.
Вектор. Свойства векторов.
Стереометрия.
Взаимное расположение прямых в пространстве.
Свойства параллельности и перпендикулярности прямых.
Взаимное расположение прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная к
плоскости. Свойства параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей.
Теорема о трех перпендикулярах.
Взаимное расположение двух плоскостей. Свойства параллельности и
перпендикулярности плоскостей. Угол между прямыми. Угол между прямой и
плоскостью.
Двугранный и многогранный углы. Линейный угол двугранного угла.
Параллелепипед. Пирамида. Призма.
Декартовы координаты в пространстве. Расстояние между точками.
Вектор в пространстве.
Специальные олимпиадные темы.
«Оценка + пример».
Построение примеров и контрпримеров.
Принцип Дирихле.
Раскраски.
Игры.
Метод математической индукции.
Геометрические свойства графиков функций.
Элементы комбинаторики.
Диофантовы уравнения (уравнения в целых числах).
Типовые задания школьного этапа олимпиады
Одиннадцатый класс
11.1. По дороге едут велосипедисты: на запад – Вася и Петя с равными между
собой скоростями, а на восток – Коля и Миша с равными между собой скоростями.
Вася встретился с Мишей в 12.00, Петя с Мишей – в 15.00, Вася с Колей – в 14.00.
Когда встретились Петя с Колей?
11.2. В мешке лежат 26 синих и красных шаров. Среди любых 18 шаров есть
хотя бы один синий, а среди любых 10 шаров есть хотя бы один красный. Сколько
красных шаров в мешке?
11.3. При каких значениях параметра а система уравнений
1
1
ха
ха


имеет решения?
11.4. Среднее арифметическое десяти различных натуральных чисел равно
15. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих чисел.
11.5. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S SA/AB=2.
Проведены высота AD треугольника SAB и медиана BM треугольника
ABC. Найдите отношение MD/BD.
Ответы и решения
11.1 Ответ. в 17.00.
Решение. Расстояние между Мишей и Колей и их скорости не меняются, а
скорости Васи и Пети равны. Вася встретил Колю через 2 часа после Миши,
значит, Петя встретят Колю тоже через 2 часа после Миши, т. е. в 17.00.
11.2 Ответ. 17.
Решение. Так как из 18 шаров найдется хотя бы один синий, то красных не
более 17, а из любых 10 шаров найдется хотя бы один красный, то есть синих
не более 9. Так как всех шаров 26, то синих – 9, а красных – 17.
11.3 Ответ. При a = 0 .
11.4 Ответ. 105.
Решение.
Сумма данных чисел равна 150. Так как все числа различны, то сумма девяти
наименьших из них не меньше, чем 1 + 2 + ... + 9 = 45. Следовательно, наибольшее
число не может быть больше чем 105.
Это возможно: (1 + 2 + ... + 9 + 105) : 10 = 15.
11.5 Ответ
10
4