Методическая разработка "Логарифмические уравнения"

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования «Московский государственный
университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)»
УЧЕБНАЯ ДИСЦИПЛИНА
МАТЕМАТИКА
Методическая разработка по теме
«Логарифмические уравнения»
подготовила
преподаватель
математических дисциплин
Новосёлова Елена Викторовна
2015
3
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
3
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
4
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
16
ЗАДАНИЯ ПРОВЕРОЧНОЙ РАБОТЫ
19
ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ МЕТОДИЧЕСКОЙ
РАЗРАБОТКИ
20
4
ВВЕДЕНИЕ
Методическая разработка составлена в соответствии с государственными
требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников для
специальностей среднего профессионального образования, одобренной и
рекомендованной Департаментом государственной политики и нормативно
правового регулирования в сфере образования Министерства образования и
науки России в 2008г. Содержание реализуется в процессе освоения
обучающимися 1 курса основной профессиональной образовательной
программы СПО с получением среднего (полного) общего образования,
разработанной в соответствии с требованиями ФГОС СПО третьего поколения.
Предлагаемая методическая разработка включает теоретический
материал по теме «Логарифмические уравнения», методику решения разных
типов уравнений, решение типовых примеров, задания для самостоятельной
работы обучающихся по теме с ответами и варианты проверочных работ.
Методическую разработку можно использовать как на уроках, так и для
организации индивидуальной и самостоятельной работы обучающихся, на
дополнительных занятиях и консультациях. В качестве дополнительного
материала она может быть использована на факультативных занятиях по
математике.
Цель методической разработки помочь обучающимся в освоении
материала по теме «Логарифмические уравнения» и получить необходимые
практические навыки по применению теоретического материала в условиях
конкретного задания.
5
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Основные понятия и определения
Уравнение, в котором неизвестное является аргументом логарифмической
функции, называется логарифмическим уравнением.
Решить логарифмическое уравнение это значит найти все его корни или
доказать что их не существует.
Корнем логарифмического уравнения называется значение переменной,
которое принадлежит области допустимых значений уравнения
.З.Д.О
и при
подстановке обращает его в тождество.
Для решения логарифмических уравнений необходимо знать
определение логарифма, свойства логарифмической функции, знать и уметь
применять основные свойства логарифмов.
Основные свойства логарифмов
1.
xa
xlog
a
2.
2a1a21a
xlogxlogxxlog
3.
2a1a
2
1
a
xlogxlog
x
x
log
4.
Применение свойств логарифмов может привести к потере корней,
если их использовать в сторону логарифмирования, или к приобретению
посторонних, если свойства использовать в сторону потенцирования. Это
происходит за счет того, что в формулах 1 4 левая и правая части определены
для разных значений х. Поэтому, приступая к решению логарифмического
уравнения необходимо установить О.Д.З. и следить за равносильностью
совершаемых преобразований, или сделать проверку полученных корней.
Например, для свойства 2 можно записать равносильное
преобразование:
21a
xxlog
0xx
xlogxlog
21
2a1a
или
2a1a
xlogxlog
0x
0x
xxlog
2
1
21a
6
Методы решения логарифмических уравнений
1. Простейшее логарифмическое уравнение.
Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:
bxlog
a
,
1a,0a
О.Д.З.:
x
> 0.
Всегда имеет единственное решение:
b
a
ax
bxlog
2. Логарифмические уравнения, решаемые потенцированием.
Этим методом решается большинство логарифмических уравнений. Если
уравнение, в котором содержатся логарифмические функции различных
аргументов, с помощью равносильных преобразований приводится к виду:
xglogxflog
aa
,
1a,0a
,
то оно решается потенцированием. Учитывая ОДЗ каждой логарифмической
функции, входящей в уравнение, потенцируем:
xglogxflog
aa
xgxf
Т.е. от логарифмического уравнения переходим к уравнению с аргументами
логарифмических функций левой и правой частей уравнения, полученных в
результате равносильных преобразований.
3. Логарифмические уравнения, решаемые введением новой переменной.
Уравнение, в котором проводятся алгебраические действия над одной и той же
логарифмической функцией, решается заменой переменной и сводится к
решению простейших логарифмических уравнений. Например, квадратное
уравнение:
0xlogxlog
а
2
а
,
1a,0a
,
const,,
, О.Д.З.:
x
> 0
Замена
txlog
a
, причем
22
а
2
а
txlogxlog
.
Решается полученное квадратное уравнение
7
0tt
2
.
Затем производится обратная замена, и решаются простейшие
логарифмические уравнения.
4. Логарифмические уравнения, решаемые логарифмированием.
Рассмотрим логарифмическое уравнение вида
xhxf
xglog
a
,
1a,0a
.
Логарифмированием обеих частей уравнения по данному основанию а
уравнение такого вида сводится к уравнению относительно одной
логарифмической функции и решается с помощью замены переменной. При
решении такого вида логарифмических уравнений необходимо правильно
устанавливать ОДЗ.
xhxf
xglog
a
, ОДЗ:
.0)x(h
,0)x(g
,0)x(f
Логарифмируем обе части уравнения по основанию а и используем свойства
логарифмов:
xhxf
xglog
a
,
xhlogxflog
a
xglog
a
a
,
xhlogxflog)x(glog
aaa
.
После дальнейших преобразований получится логарифмическое уравнение,
решаемое заменой переменной.
6. Графическое решение логарифмических уравнений.
Решить графически логарифмическое уравнение, значит в одной системе
координат построить графики левой и правой частей уравнения. Корнями
уравнения являются абсциссы точек пересечения построенных графиков
функций.
Примеры
1. Решить уравнение
4xlog
2
2
.
Устанавливаем О.Д.З.:
0x
. Рассмотрим 2 способа решения.
8
а) Приводим уравнение к виду, в котором можно потенцировать. Для
этого прологарифмируем правую часть уравнения по основанию 2:
16log2log2log4144
2
4
22
Тогда получится:
16logxlog
2
2
2
4x
16x
2
Оба корня входят в О.Д.З. уравнения.
Ответ: {
4
}.
б) Используем свойство логарифмов с учетом О.Д.З. уравнения:
xlognxlog
a
n
a
.
Получаем:
4xlog2
2
2xlog
2
4x
4x
2x
2
Ответ: {
4
}.
2. Решить уравнение
11xlog1x2log
33
.
Устанавливаем О.Д.З.:
,01x
,01x2
x > 1.
Используем свойства логарифмов и приводим уравнение к виду, в котором
можно потенцировать.
1x3log1x2log
1xlog3log1x2log
3log1xlog1x2log
33
333
333
Потенцируем:
9
1x31x2
2x
О.Д.З.
Ответ: {2}.
3. Решить уравнение
29x10x2log
2
2x
.
О.Д.З.
,12x
,02x
,09x10x2
2
х >
2
75
Приводим уравнение к виду, в котором можно потенцировать. Для этого
прологарифмируем правую часть уравнения по основанию
2x
:
2
2x2x
2xlog2xlog2122
Получаем:
2
2x
2
2x
2xlog9x10x2log
Потенцируем:
05x6x
4x4x9x10x2
2x9x10x2
2
22
2
2
1
x
= 1,
2
x
= 5
х
1
О.Д.З., т.е. не является корнем исходного уравнения, х
2
О.Д.З.
Ответ: {5}.
4. Решить уравнение
02xlogxlog
5
2
5
.
О.Д.З.: x > 0
В это уравнение входит одна и та же логарифмическая функция
xlog
5
.
Делаем замену
txlog
5
, тогда
2
2
5
2
5
txlogxlog
.
Получаем квадратное уравнение:
10
t
2
+ t 2 = 0
t
1
= 2, t
2
= 1
Делаем обратную замену и находим корни логарифмического уравнения:
xlog
5
= 2
xlog
5
= 1
04,0x
x = 5
Оба корня входят в О.Д.З. уравнения.
Ответ: {0,04; 5}.
5. Решить уравнение
06
2log
1
xlog16
x
2
16
.
О.Д.З.:
1x
0x
.
Приводим логарифмы к одному основанию:
xlog
16
1
xlog
4
1
xlogxlogxlog
2
2
2
2
2
2
2
16
2
16
4
,
xlog
2log
1
2
x
.
Тогда получаем:
06xlogxlog
16
1
16
2
2
2
06xlogxlog
2
2
2
Делаем замену
txlog
2
.
t
2
+ t 6 = 0
t
1
= 3 t
2
= 2
Обратная замена:
3xlog
2
2xlog
2
x =
8
1
x = 4
Оба корня входят в О.Д.З. уравнения.
11
Ответ: {
81
; 4}
6. Решить уравнение
3
xlg
1
xlg3
xx
.
О.Д.З.:
0xlg
0x
1x
0x
.
Уравнение такого типа решается логарифмированием обеих частей по
основанию 10 (так как оно уже дано в уравнении).
3
xlg
1
xlg3
xlgxlg
3
1
10lgxlg
xlg
1
xlg3
3
1
1xlg3
2
3
4
xlg3
2
9
4
xlg
2
Можно сделать замену
txlg
, а можно сразу решить уравнение, извлекая
квадратный корень. Получаем два простейших логарифмических уравнения:
3
2
xlg
3
2
xlg
3
2
10x
3
2
10x
3
100
1
x
3
100x
Оба корня входят в О.Д.З. уравнения.
Ответ: {
3
100
1
;
3
100
}.
7. Решить уравнение
30log
xlog
2
4
5
165x3
.
О.Д.З.: x > 0
12
Это логарифмическое уравнение не относится ни к одному из рассмотренных
типов. Проведем равносильные преобразования по свойствам логарифмов.
Используем основное логарифмическое тождество:
x5
xlog
5
304416
2
4
4
4
30log
30log
2
30log
Получаем уравнение:
2
+ х = 30
2
+ х – 30 = 0
D = 361,
3
10
x
1
О.Д.З. уравнения,
х
2
= 3
О.Д.З.
Ответ: {3}.
8. Решить уравнение
8
5,0x
2
2
2
2
1
5,0xlog
8
x
logx4log
.
О.Д.З.:
,15,0x
,05,0х
,0x
5,1x
5,0x
Используя свойства, приводим логарифмы к одному основанию и сводим
уравнение к уравнению относительно одной логарифмической функции.
88logxlogx4log
2
2
2
2
2
1
83xlog2x4log
2
2
2
011xlog2xlog4log
2
2
22
11xlog2xlog2
2
2
2
Делаем замену
txlog
2
.
011t2t2
2
07t6t
2
7t
1
1t
2
Обратная замена:
13
7xlog
2
1xlog
2
128
1
x
О.Д.З.
2x
О.Д.З.
Ответ: {2}.
9. Решить уравнение
1x2log
1x
1
log3x7log
2
3
22
.
О.Д.З.:
01x2
01x
0x7
.7x
,5,0x
( 0,5; 7).
Используем свойства логарифмов и приводим логарифмическое уравнение к
виду, в котором можно потенцировать׃
1x2log
1x
1
logx7log
2
3
3
22
1x2log
1x
1
logx7log
222
1x2log1xlogx7log
222
1xlog1x2logx7log
222
1x1x2logx7log
22
1x1x2x7
1x3x2x7
2
06x4x2
2
03x2x
2
3x
1
1x
2
1
x
О.Д.З.
Ответ: {1}.
10. Решить уравнение
5xlg
xlgxlg
xlg1
4
2
22
.
14
О.Д.З.
.0x
,0xlgxlg
2
.0x
,10x
,1x
Преобразуем логарифмическое уравнение, используя свойства логарифмов:
xlg4xlg2xlgxlg
2
2
2
222
,
xlg4xlg
4
.
Тогда получим:
5xlg4
xlg2xlg
xlg41
2
2
Делаем замену
txlg
5t4
t2t
t41
2
2

5t4
t21t
t21t21
5t4
t
t21
01t3t4
2
25D
1t
1
4
1
t
2
1xlg
4
1
xlg
10
1
x
4
10x
Оба корня входят в О.Д.З.
Ответ: {
4
10;1,0
}.
11. Решить систему уравнений
.2lgxlgylg
,1yxlg
15
О.Д.З.:
.0y
,0x
,0yx
Решить систему двух уравнений с двумя переменными, значит найти пары
значений (х; y), которые при подстановке обращают в тождество каждое
уравнение системы. Оба уравнения системы логарифмические. Используем
свойства логарифмов и приводим каждое логарифмическое уравнение к виду, в
котором можно потенцировать. Решаем оба логарифмических уравнения и
переходим к системе линейных уравнений:
,xlg2lgylg
,1yxlg
,x2lgylg
,1yxlg
,x2y
,10yx
,x2y
,10x2x
,x2y
,10x3
.320y
,310x
.
Значения обеих переменных входят в О.Д.З.
Ответ:
.320;310
12. Решить систему уравнений
.2xylog
,14423
2
yx
О.Д.З.:
0xy
Систему уравнений можно и удобно решать методом подстановки. Решаем
второе уравнение системы и оттуда выражаем одно из неизвестных. Выражаем
у из второго уравнения и переходим к показательному уравнению во первом:
,2xy
,14423
yx
,2xy
,14423
yx
,2xy
,14423
2xx
,2xy
,144423
xx
,2xy
,366
x
,2xy
,2x
.4y
,2x
Решение системы
4;2
удовлетворяет О.Д.З.
Ответ:
4;2
.
16
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Решить уравнения 1 – 30:
1.
4xlog
2
{16}
2.
02xlg
{0,01}
3.
36xlog
3
{15}
4.
2x2log
x
Ø
5.
3хlog1x2log
55
{4}
6.
хlog212xlog
22
{4}
7.
0х6logхlog
2
55
{2}
8.
5,0xloglog
24
{4}
9.
xlg5,1xlg
{0,5}
10.
2хlog2xlog1xlog
555
{4}
11.
24xlgx100xlg
2
{20}
12.
5lg2xlg
{20}
13.
xlog28xlog
33
{9}
14.
8lg3xlg4xlg
{4}
15.
241x7xlog
2
1x
{8}
16.
3х2logx21log4xlog
555
{− 1}
17.
18lg21xlg4x5lg
{8}
18.
12
11
xlogxlogxlog
2793
{
3
}
19.
6xlogxlogxlog
3
1
3
3
{27}
20.
4xlogxlog
5,02
{4}
21.
0xlogxlog2
16
2
16
{1; 4}
22.
xlg23xlg
2
{0,001; 10}
17
23.
03xlog5xlog3
2
4
2
4
{
3
4
; 64}
24.
01xlog20xlog
2
32
2
{
9
2
; 2}
25.
1
xlg1
2
xlg5
1
{100; 1000}
26.
25logxlog
x5
{5}
27.
100x
xlg1
{0,01; 10}
28.
32x
4xlog
2
{
321
; 2}
29.
42xlog4xlog1
42
{8}
30.
42xlog2xlog2xlog
2,0
3
5
5
{3}
Найти произведение корней уравнений 31 35:
31.
xlog2xlog416log3
216x
1
32.
364log16log
x2
x
2
3
42
33.
1xlog
x
3
log
2
3x3
31
34.
3
2
xlogxlogxlogxlog
812793
1
35.
x100x
xlg
10
Найти сумму корней уравнений 36 40:
36.
55log2xlog2
x5
25 +
5
37.
1
xlg2
2
xlg4
1
110
38.
018xlg5xlg
3
1100
39.
2x518x2log
2
2x
9
40.
221x7xlog
2
3
7
18
Решить системы уравнений 41 − 44:
41.
323ylog
2ylog
1x
x
(2; 4)
42.
2xlogy
1xlog2
2
2
ylog
2
(2; 2)
43.
25yx
0xylog
22
3
{(− 4; − 3), (3; 4)}
44.
3ylogxlog
6y9x
22
{12;
32
}
Решить графически уравнения 45 – 48:
45.
x1xlog
2
1
46.
2
2
x1xlog
1
47.
21xlog
2
5
48.
x2xlog
5,0
0,5
19
ЗАДАНИЯ ПРОВЕРОЧНОЙ РАБОТЫ
Варианты проверочной работы использовать как для индивидуальной
работы, так и для работы в микрогруппах. Каждый вариант состоит из двух
заданий. Первое задание содержит три уравнения, второе систему уравнений.
Решение каждого задания оценивается по пятибалльной системе.
ВАРИАНТ 1.
1. Решить уравнения:
1)
2)5x2(log
6
2)
1)2x(log)1x3(log
44
3)
02
x
1
lgxlg
2
2. Решить систему уравнений:
.27)2y(x
,уlog2хlog
33
ВАРИАНТ 2.
1. Решить уравнения:
1)
03)6x5(log
3
1
2)
5log3x8log
22
3)
3xlogxlog
2
2,0
2
2,0
2. Решить систему уравнений:
.3y2x
,1уlogхlog
5,05,0
ВАРИАНТ 3.
1. Решить уравнения:
1)
1)1x7(log
3
2)
0)2х5lg()5х4lg(
3)
5,1xlogxlog
4
2
4
2. Решить систему уравнений:
.15y4x
,2уlogхlog
22
Ответы.
Вариант 1. 1.1. {20,5} 1.2. Ø 1.3. {
100;101
} 2. (27; 3)
Вариант 2. 1.1. {6,6} 1.2. {5} 1.3. {
125;51
} 2. (4;
21
)
Вариант 3. 1.1. {
212
} 1.2. {3} 1.3. {3; 9} 2.(16;
41
)
20
ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
МЕТОДИЧЕСКОЙ РАЗРАБОТКИ
1. Башмаков М.И. Математика. Книга для преподавателя: методическое
пособие для НПО, СПО. – М.: Академия, 2013 – 224с.
2. Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. Пособие для образоват.
Учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Академия, 2013 – 416с.
3. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 11 кл. / Под ред. Колмогорова
А.Н. – 11 изд. – М.: Просвещение, 2009 – 384 с.
4. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа./ Под ред. Яковлева
Г.Н. – М.: Наука, 2008 294 с.
5. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник для средних специальных учебных
заведений. – М.: Академия, 2006 – 241 с.
6. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учебное пособие, 5е
издание. – М.: Высшая школа, 2009 – 323 с.