Всероссийская олимпиада школьников по математике Муниципальный этап 7-11 класс

Всероссийская олимпиада школьников по математике
Муниципальный этап
7 класс
Каждая задача оценивается в 7 баллов в соответствии с критериями и
методикой оценки:
Баллы
Правильность (ошибочность) решения.
7
Полное верное решение.
6-7
Верное решение, но имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.
5-6
Решение в целом верное. Однако решение содержит ошибки, либо пропущены случаи,
не влияющие на логику рассуждений.
3-4
Верно рассмотрен один из существенных случаев.
2
Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
0-1
Рассмотрены отдельные случаи при отсутствии правильного решения.
0
Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0
Решение отсутствует.
Задача 1.
Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру
оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух?
Задача 2.
Карлсону подарили пакет с конфетами: шоколадными и карамельками. За первые 10
минут Карлсон съел 20% всех конфет, причем 25% из них составляли карамельки. После
этого Карлсон съел еще 3 шоколадные конфеты, и доля карамелек среди съеденных
Карлсоном конфет понизилась до 20% . Сколько конфет было в подаренном Карлсону
пакете?
Задача 3.
На доске написаны три правильные несократимые дроби, дающие в сумме единицу,
причем их числители – различные натуральные числа. Оказалось, что если каждую их
этих дробей «перевернуть» (то есть заменить на обратную), то сумма полученных дробей
будет натуральным числом. Приведите пример таких дробей.
Задача 4.
За круглым столом сидят 2n (n>5) человек – рыцари и лжецы. Лжецы на любой вопрос
дают ложный ответ, рыцари – правдивый. Каждый из них знает, кто рыцарь, а кто лжец.
Каждый из них дал ответы на два вопроса: «Кто его сосед слева?», «Кто его сосед
справа?». Мудрецу, который знает, что лжецы за столом присутствуют, но их меньше, чем
рыцарей, сообщили количество ответов «Рыцарь» и ответов «Лжец», и он точно назвал
количество рыцарей. Сколько ответов «Рыцарь» получил мудрец? Ответ объясните.
Задача 5.
В конкурсе участвовали 5 человек. На каждый вопрос один из них дал неправильный
ответ, остальные – правильный. Число правильных ответов у Пети равно 10 меньше, чем
у любого другого. Число правильных ответов у Васи равно 13 больше, чем у любого
другого. Сколько всего вопросов было в конкурсе?
Всероссийская олимпиада школьников по математике
Муниципальный этап
8 класс
Задача1.
Найдите наибольшее натуральное число n, при котором дробь является
натуральным числом.
Задача 2.
В квадрате со стороной 3 см произвольным образом расположены 10 точек. Возможно ли
найти квадратик со стороной 1 см , которым можно накрыть хотя бы 2 точки ?
Задача 3.
Лабиринт представляет собой квадрат 8 × 8, в каждой клетке 1 × 1 которого нарисована
одна из четырёх стрелок (вверх, вниз, вправо, влево).Верхняя сторона правой верхней
клетки - выход из лабиринта. В левой нижней клетке находится фишка, которая каждым
своим ходом перемещается на одну клетку в направлении, указанном стрелкой. После
каждого хода стрелка в клетке, в которой только что была фишка, поворачивается на 90 по
часовой стрелке. Если фишка должна сделать ход сквозь стенку квадрата, она остаётся на
месте, но стрелка по-прежнему поворачивается на 90 по часовой стрелке. Докажите, что
рано или поздно фишка выйдет из лабиринта.
Задача 4.
На острове Буяне живут племена рыцарей, лжецов и реалистов. Рыцари всегда говорят
правду, лжецы всегда лгут, а реалисты лгут и говорят правду через раз, причем
неизвестно, с правдивого или ложного ответа начинают реалисты. Однажды репортер
спросил у двух жителей А и Б этого острова, из каких они племен. Они ответили
следующее:
А: «Б – рыцарь. Извините, Б - реалист».
Б: «А – лжец. Извините, А - …».
К сожалению, последнее слово, сказанное Б, репортер не расслышал. Что это было за
слово?
Задача 5.
Существует ли треугольник, который можно разделить на три равных треугольника?
1
152
2
+
++
n
nn
Всероссийская олимпиада школьников по математике
Муниципальный этап
9 класс
Каждая задача оценивается в 7 баллов в соответствии с критериями и
методикой оценки:
Баллы
Правильность (ошибочность) решения.
7
Полное верное решение.
6-7
Верное решение, но имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение.
5-6
Решение в целом верное. Однако решение содержит ошибки, либо пропущены случаи,
не влияющие на логику рассуждений.
3-4
Верно рассмотрен один из существенных случаев.
2
Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
0-1
Рассмотрены отдельные случаи при отсутствии правильного решения.
0
Решение неверное, продвижения отсутствуют.
0
Решение отсутствует.
Задача 1.
Три рыбака решили сварить на обед уху. Первый рыбак положил три рыбы, а
второй пять таких же рыб, а третий, за неимением рыб, заплатил за участие в обеде 16
рублей. Как должны распределить по справедливости между собой первый и второй
рыбаки, если за обедом все съели поровну.
Задача 2.
Про число k известно, что:


, А


Выясните, можно ли однозначно определить по этим данным знак числа k, и если
это возможно, то найдите этот знак.
Задача 3.
От пристани одновременно отправились два катера, у которых одинаковая скорость
в стоячей воде. Один катер направился по течению, а другой – против течения.
В то же время отчалил от пристани плот. Спустя 90 минут с плота поступил сигнал «sos».
Оба катера сразу же направились к плоту. Какой катер прибудет на помощь быстрее?
Задача 4.
В треугольниках АВС и А
1
В
1
С
1
отрезки CD и C
1
D
1
биссектрисы углов С и С
1
.
Известно, что АВ = А
1
В
1
, CD = C
1
D
1
, ADC= A
1
D
1
C
1
.Доказать, что треугольники АВС и
А
1
В
1
С
1
равны.
Задача 5.
Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 104 и записывается
при помощи повторения одной и той же цифры.