Презентация "Элементы теории множеств"


Подписи к слайдам:
Множество

  • Элементы
  • теории множеств

1. Понятия множества.

  • 1. Понятия множества.
  • Что такое множество;
  • Виды множеств;
  • Способы задания множества.
  • 2. Подмножество
  • Понятие подмножества;
  • Число подмножеств данного множества;
  • Понятие универсального множества;
  • Равные множества.
  • 3. Действия над множествами.
  • Пересечение;
  • Объединение;
  • Разность;
  • Дополнение.
  • 4. Решение задач с использованием кругов Эйлера.
  • План

Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Наука о множестве возникла с давних времен. В IXX веке Георг Кантор ( немецкий математик ) обосновал множество, как «совокупность», «собрание», «набор», «ансамбль» и так далее. Многие математики выдвигали понятие и определения. Один французский математик дал дословное определение множеству: «Множество – невообразимое больше чем ничего, но меньше этого большего на множество». В наши времена множества используют как понятие единого целого, составленного из мелких частей – элементов.

  • Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Наука о множестве возникла с давних времен. В IXX веке Георг Кантор ( немецкий математик ) обосновал множество, как «совокупность», «собрание», «набор», «ансамбль» и так далее. Многие математики выдвигали понятие и определения. Один французский математик дал дословное определение множеству: «Множество – невообразимое больше чем ничего, но меньше этого большего на множество». В наши времена множества используют как понятие единого целого, составленного из мелких частей – элементов.
  • Понятие множества и его элементов

ОПР. 1: Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами.

  • ОПР. 1: Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами.
  • Обозначение: a, b, c,…, z. Множества обозначают буквами латинского алфавита: А, В, С,…, Z.
  • Запись: а  А означает, что а – элемент множества А.
  • ОПР. 2 : Множество, не содержащее ни одного объекта, называют пустым.
  • Обозначение:
  • ОПР. 3: Множество, которое состоит из одного элемента – называется единичным. Множества бывают конечные и бесконечные.
  • ОПР. 4: Множество, которое имеет определенное количество элементов, называется конечным.
  • ОПР. 5: Множество, которое имеет бесконечно много элементов, называется бесконечным.
  • Виды множеств

Предложение вида «Объект а принадлежит множеству А» можно записать, используя символы: а  А.

  • Предложение вида «Объект а принадлежит множеству А» можно записать, используя символы: а  А.
  • Например,
  • Окружность М
  • В  М,
  • О  М,
  • А  М,
  • С  М.
  • Способ задания

1) Бесконечные непериодические дроби:

  • 1) Бесконечные непериодические дроби:
  • А = {5,325728…; 6,2853257…;π}
  • 2) Числа, дающие при делении на 6 остаток 5:
  • В = { 17, 23, 29…} В = { 6к + 5, к  Z }
  • Так, множество дней недели конечно, а множество точек на прямой бесконечно. Бесконечными являются и такие множества, как множество натуральных чисел – N, множество целых чисел – Z, множество рациональных чисел – Q, множество действительных чисел – R.
  • Примеры

Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

  • Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.
  • Характеристическое
  • свойство

перечислить все его элементы,

  • перечислить все его элементы,
  • или
  • указать характеристическое свойство его элементов.
  • Чтобы задать некоторое множество,
  • достаточно:

  • Примеры задания множеств
  • 1 способ
  • (перечисление элементов множества)
  • 2 способ
  • (указание характеристического свойства)
  • 1. Множество квадратов натуральных чисел.
  • А = {1, 4, 9, 16 …}
  • А = {n2 / n  }
  • 2. Множество четных натуральных чисел.
  • А = {2, 4, 6, 8 …}
  • A = {2n / n  }
  • 3. Множество решений уравнения
  • х2 – 5|х|+6 = 0
  • А = {-3; -2; 2; 3}
  • А = {х / х2 – 5|х|+6 = 0}

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является так же элементом множества А

  • Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является так же элементом множества А
  • Обозначение: В  А
  • А = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }.
  • В = { 1, 3, 5, 7, 9 }.
  • Множество В является подмножеством множества А.
  • Понятие подмножества

  • Примеры
  • Множество
  • Подмножества данного множества
  • Всего подмножеств
  • С = {а}
  •   С, {а}  С
  • 2
  • K = {а, b}
  •   K, {а}  K,
  • {b}  K, {а, b}  K
  • 4
  • P = {1; 3; 5}
  •   P, {1}  P,
  • {3}  P, {5}  P,
  • {1; 3}  P, {3; 5}  P, {1; 5}  P, {1; 3; 5}  P
  • 8

  • Зависимость
  • между числом элементов конечного множества и числом его подмножеств
  • Число элементов множества
  • Число подмножеств
  • 1
  • 2
  • 2
  • 4
  • 3
  • 8
  • n
  • 2n

Оказывается, что число подмножеств множества, состоящего из n элементов, составляет 2n.

  • Оказывается, что число подмножеств множества, состоящего из n элементов, составляет 2n.
  • Число подмножеств
  • данного множества

Каждое множество является подмножеством некоторого множества, которое называют универсальным. Его обозначают буквой I. Например, множество натуральных чисел является подмножеством множества всех чисел; множество жителей г. Тамбова является подмножеством множества жителей России.

  • Каждое множество является подмножеством некоторого множества, которое называют универсальным. Его обозначают буквой I. Например, множество натуральных чисел является подмножеством множества всех чисел; множество жителей г. Тамбова является подмножеством множества жителей России.
  • Понятие
  • универсального множества

Множества А и В, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.

  • Равные множества
  • Множества А и В, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.
  • Обозначение: А = В
  • Если относительно двух множеств А и В установлено, что А  В и А  В, то это и означает, что А = В.
  • Пример:
  • С – множество чисел, кратных 3 и 5 одновременно
  • D – множество чисел, кратных 15
  • С = D

Пересечением (произведением) двух множеств А и В называется множество, состоящие из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В.

  • Пересечением (произведением) двух множеств А и В называется множество, состоящие из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В.
  • Обозначение: А  В
  • Пересечение
  • Пример:
  • A = {2n}; B = {3n + 1}
  • A  B = {6n + 2}

Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств А или В.

  • Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств А или В.
  • Обозначение: А  В
  • Объединение
  • Примеры:
  • 1) A = {3k +1}; B = {3k}; C = {3k + 2}, где k  
  • A  B  C = {3k}
  • 2) A = {ромбы}; B = {параллелограммы}
  • A  B = {ромбы; параллелограммы} = {параллелограммы}

Разностью множеств А и В называется множество, из всех тех элементов множества А, которые не являются элементами множества В.

  • Разностью множеств А и В называется множество, из всех тех элементов множества А, которые не являются элементами множества В.
  • Обозначение: В’а
  • Разность

Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

  • Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.
  • Обозначение: А\В
  • Дополнение

А   = 

  • А   = 
  • А  I = А
  • А  А = А
  • если В  А, то А  В = В
  • А  В = В  А
  • А  (В  С) = (А  В)  С = С  А  В
  • (А  В)  А
  •  ’ = I
  • I’ = 
  • A   = A
  • Свойства
  • действий над множествами

A  A = A

  • A  A = A
  • A  B = B  A
  • A  (B C) = (A  B)  C = A  B  C
  • A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
  • (A  B)  C = (A  C)  (B  C)
  • A  (A  B)
  • если В  А, то A  B = А
  • если В  А, то A  B = В
  • (A  B)’ = А’  B’
  • (A  B)’ = А’  B’
  • Свойства
  • действий над множествами

  • Круги Эйлера
  • а) пересечение множеств
  • А  В
  • А
  • В
  • А
  • В
  • б) объединение множеств
  • A  B
  • А
  • В
  • В  А

Всего 27 чел.

  • Всего 27 чел.
  • Не выполнили 3  27 – 3 = 24 чел. написали правильно
  • 17 – 3 = 14 чел. написали только примеры;
  • 24 – 17 = 7 чел. сделали задачу;
  • 13 – 7 = 6 чел. выполнили оба задания.
  • Решение задач
  • с использованием кругов Эйлера
  • Дано: Контрольную по математике писали 27 человек. В контрольную входили задачи и примеры. 3 человека не сделали ни одного задания. Примеры сделали 17 человек. Задачи сделали 13 человек. Найдите число учеников которые сделали оба задания.
  • Задача
  • 13
  • Пример
  • 17
  • ?

Английский язык = 61

  • Английский язык = 61
  • Немецкий язык = 49
  • Французский язык = 1
  • Англ. яз. + Нем. яз. = 90
  • Англ. яз. + Франц. яз. = 112
  • Франц. яз. + Нем. яз. = 75
  • Франц. яз. + Нем. яз. + Англ. яз. = 28
  • Решение задач
  • с использованием кругов Эйлера
  • Дано: В школе изучают английский, французский и немецкий языки. Английский изучают 235 человек, французский изучают 160 человек, немецкий изучают 186 человек. Английский и немецкий изучают 90 человек. Немецкий и французский изучают 75 человек. Английский и французский изучают 112 человек. Все три языка изучают 28 человек. Всего - ?
  • Англ. яз.
  • 235
  • Нем. яз.
  • 186
  • Франц. яз.
  • 160
  • 90
  • 112
  • 75
  • 28
  • Всего: 332 человека.