Презентация "Координатный метод при решении задач Стереометрии" 11 класс




Подписи к слайдам:
Координатный метод при решении задач стереометрии

Муниципальное автономное образовательное учреждение г. Владимира «Средняя образовательная школа № 14»

  • Координатный метод при решении задач
  • Стереометрии
  • Разработала
  • учитель математики
  • Даровских Ирина Михайловна
  • Г. Владимир 2014 

Типы задач:

  • расстояние от точки до плоскости;
  • расстояние от точки до прямой;
  • угол между прямой и плоскостью;
  • угол между скрещивающимися прямыми;
  • угол между плоскостями;
  • комбинированные задачи, в которых известно данное одного типа, а найти нужно данное другого или других типов.

Суть метода координат:

  • введение ( привязка к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – вычисление длин образующихся векторов или углов между ними.  

Алгоритм применения КВМ

  • Выбрать в пространстве систему координат из соображений удобства выражения координат и наглядности изображения.
  • Найти координаты необходимых точек.
  • Решить задачу, используя основные задачи метода координат.
  • Перейти от аналитических соотношений к геометрическим.

Основные формулы

  • Если М1(х1;у1;z1),М2(х2;у2;z2), то
  • М1М2{х2-х1;у2-у1;z2- z1}; (1)
  • |М1М2|=√ (х2-х1)2+(у2-у1)2+(z2- z1)2 (2)
  • Если М(х;у;z) - середина отрезка М1М2, то
  • Х= (3)

Основные формулы

  • Если а (а1;а2;а3), в (b1; b2; b3), то
  • а ·в =а 1· b 1+а 2· b 2+а 3· b 3; (4)
  • а ·в =|а|·|в|· (5)
  • = = (6)
  • (7)

Основные формулы

  • Условие коллинеарности векторов
  • а (а1;а2;а3) и в (b1; b2; b3): (8)
  • Уравнение сферы с центром в т.С(х0;у0;z0) и радиусом r имеет вид:
  • (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = r2; (9)

Формулы для нахождения площадей

  • Площадь параллелограмма, построенного на векторах
  • равна
  • С
  • В
  • D
  • А
  • φ

Уравнения прямой и плоскости

  • Каноническое уравнение прямой:
  • , где М(х0,у0,z0) , а
  • вектор является направляющим
  • Уравнение прямой, заданной 2-мя точками: М1(х1;у1;z1) и
  • М2(х2;у2;z2) имеет вид:
  • Уравнение плоскости, заданной точкой М(х0,у0,z0) и вектором нормали (любым ненулевым вектором, перпендикулярным плоскости):
  • Ах+Ву+Сz+D=0, где D=-(Ax0+Bу0+Сz0)

Формулы нахождения расстояния от точки до плоскости

  • Если точка М(х0,у0,z0), а плоскость α задана уравнением Ах+Ву+Сz+D=0, то расстояние от точки М до плоскости α вычисляется по формуле:

Задача1. Найти угол между двумя прямыми d1 и d2 (пересекающимися или скрещивающимися), если направляющие векторы этих прямых известны.

  • Пусть а (a1;а2;а3), b (b1; b2; b3) – направляющие векторы этих прямых, а φ – искомый угол. Обозначим через .
  • Тогда φ= , если ≤ 900 ,
  • либо φ= 1800 - , если > 900. Поэтому либо cosφ = cos , либо cosφ =-cos .
  • В любом случае , а т.к. φ ≤ 900, то cos φ ≥0, и, следовательно, cosφ= .
  • Получаем:
  • =
  • cosφ=
  • =

Задача 2. Найти угол между прямой d и плоскостью π, если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости.

  • Пусть - направляющий вектор прямой ,
  • – ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости π
  • Тогда

ЗАДАЧА

  • Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4. Точка K середина ребра DD1. Точки M и H лежат на ребрах A1B1 и AB соответственно, причем A1M:MB1=1:3, AH:HB=3:1.
  • Найти градусную меру угла между прямыми MH и KC1.

Решение:

  • M
  • H
  • K
  • A
  • B
  • C
  • D
  • D1
  • A1
  • B1
  • C1
  • x
  • y
  • z
  • (3;0;4)
  • (1;0;0)
  • (4;4;2)
  • (0;4;4)
  • 1. Пусть α искомый угол.
  • 2. За направляющие прямых возьмем и .
  • 3.
  • 4.
  • 5.
  • 6.

ЗАДАЧА (ЕГЭ 2006)

  • В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S высота равна диагонали основания. Точка F лежит на середине ребра SA.
  • Найдите квадрат тангенса угла между прямыми SD и BF.

Дано: SABСD – правильная пирамида SO=AC; AF=FS Найти:

  • 1. Введем систему координат, взяв за единичный отрезок длину OA.
  • 2. Определим координаты точек S, D, B и F.
  • A
  • В
  • С
  • D
  • S
  • O
  • F
  • x
  • y
  • z
  • K
  • M
  • (0;-1;0)
  • (0;1;0)
  • (0;0;2)
  • (-0,5;0;1)
  • 3. Пусть .
  • Решение:
  • 4. Тогда
  • 5.
  • 6.

ЗАДАЧА

  • Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник с катетами AB=4 и BC=6. Высота призмы равна 10.
  • Найдите объем пирамиды с вершинами в точке C1 и серединах ребер BC, BB1 и A1B1.

Дано: ABCA1B1C1 – прямая призма ∆ABC – прямоугольный, B=900 AB=4, BC=6, BB1=10 Найти: VC1FMN

  • Решение:
  • M
  • B
  • A
  • A1
  • C1
  • B1
  • C
  • F
  • N
  • x
  • y
  • z
  • (0;3;0)
  • (0;0;5)
  • (-2;0;10)
  • 1. Введем прямоугольную систему координат.
  • 2.
  • 3.
  • 4. Подставим в уравнение плоскости FNM mx+ny+cz+d=0 координаты точек M, N и F:
  • 5.
  • 6.

ЗАДАЧА (ЕГЭ 2007)

  • В треугольной пирамиде ABCD все ребра имеют одинаковую длину.
  • Точка M – середина ребра AD, точка O – центр треугольника ABC, точка N - середина ребра AB и точка K – середина ребра CD.
  • Найдите угол между прямыми MO и KN.

Дано: DABC – тетраэдр M – середина AD, O – центр ∆ABC, N – середина AB, K- середина CD Найти: угол между MO и KN.

  • Решение:
  • 1. Примем длину ребра тетраэдра за единицу и выберем в качестве базиса векторы
  • 2. Составим таблицу умножения для этого базиса (Таблица 1).
  • M
  • O
  • K
  • N
  • B
  • A
  • C
  • D
  • a
  • c
  • b
  • 1
  • 1/2
  • 1/2
  • 1/2
  • 1
  • 1/2
  • 1/2
  • 1/2
  • 1
  • a
  • c
  • b
  • a
  • b
  • c
  • 3.
  • 4.
  • 5.
  • Таблица 1
  • 6. Пользуясь таблицей 1, получим:
  • 7.

Достоинства и недостатки метода координат:

  • Этот метод не требуют рассмотрения сложных геометрических конфигураций.
  • Все те соотношения, которые при решении традиционным методом даются с большим трудом (через привлечение большого количества вспомогательных теорем), здесь получаются как бы сами собой, в ходе вычислений.
  • Сводит геометрическую задачу к алгебраической, решить которую обычно легче, чем исходную геометрическую
  • Недостаток – это большой объем вычислений.

Используемая литература.

  • Александро А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Стереометрия. Геометрия в пространстве ALFA,1998
  • Беккер Б.М., Некрасов В.Б. Применение векторов к решению задач. С-П:, 1997
  • Гельфанд И.М. Метод координат.- М.: Наука, 1973
  • Гущин Д.Д. Материалы вступительных экзаменов по математике. Для поступающих в СПбГУ,2003
  • Журналы «Математика в школе», «Квант».
  • Метод координат. Методическая разработка для уч-ся заочного отделения МГУ им. М.В.Ломоносова М.,2008
  • Прасолов В.В.,Шарыгин И.Ф. Задачи по стереометрии Москва, «Наука»,1989г.
  • Севрюков П.Ф.,Смоляков А.Н. Векторы и координаты в решении задач школьного курса стереометрии