Ученики на Учителя.com


Решение логарифмических неравенств методом рационализации

Решение логарифмических неравенств
методом рационализации
1. Введение
Часто, при решении заданий ЕГЭ из части «С», а в особенности в заданиях С3,
встречаются неравенства, содержащие логарифмические выражения с
неизвестным в основании логарифма. Вот, например, стандартное
неравенство:
Как правило, для решения подобных заданий используют классический
метод, то есть применяется переход к равносильной совокупности
систем
При стандартном подходе пример решается по схеме: произведение меньше
нуля, когда сомножители разных знаков. Т. е. рассматривается совокупность
двух систем неравенств, в которых каждое неравенство распадается еще на
семь. Поэтому, можно предложить менее трудоемкий метод решения этого
стандартного неравенства. Это метод рационализации, известный в
математической литературе под названием декомпозиции.
При выполнении проекта мной поставлены следующие цели :
1) Овладеть данным приемом решения
2) Отработать навыки решения на заданиях С3 из тренировочных и
диагностических работ 2013 г.
Задачей проекта является изучение теоретического обоснования
метода рационализации.
Актуальность работы заключается в том, что данный метод
позволяет успешно решать логарифмические неравенства части С3
ЕГЭ по математике.
2. Основная часть
Рассмотрим логарифмическое неравенство вида
, (1)
где - некоторые функции (об их природе будем говорить
ниже).
Стандартный метод решения такого неравенства предполагает разбор
двух случаев на области допустимых значений неравенства.
В первом случае, когда основания логарифмов удовлетворяют
условию
, знак неравенства обращается: .
Во втором случае, когда основание удовлетворяет условию ,
знак неравенства сохраняется: .
На первый взгляд – все логично, рассмотрим два случая и потом
объединим ответы. Правда, при рассмотрении второго случая
возникает определенный дискомфорт – приходится на 90 процентов
повторять выкладки из первого случая (преобразовывать, находить
корни вспомогательных уравнений, определять промежутки
монотонности знака). Возникает естественный вопрос – можно ли все
это как-нибудь объединить?
Ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме.
Теорема 1.
Логарифмическое неравенство
равносильно следующей системе неравенств
:
(2)
Доказательство.
1. Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают
множество допустимых значений исходного логарифмического
неравенства. Обратим теперь внимание на пятое
неравенство.
Если , то первый множитель этого неравенства
будет отрицателен.
При сокращении на него придется изменить знак
неравенства на противоположный, тогда получится
неравенство
.
Если же , то
первый множитель пятого неравенства
положителен, сокращаем его без изменения знака
неравенства,
получаем неравенство . Таким образом, пятое
неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего
метода.
Терема доказана.
Основные положения теории метода рационализации.
Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на
более простое выражение G(x), при котором неравенство G(x) 0
равносильно неравенству F(x) 0 в области определения выражения F(x).
Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализующие
выражения G, где u, v, , p, q - выражения с двумя переменными (u > 0; u ≠
1; v > 0, > 0), a - фиксированное число (a > 0, a
≠ 1).
№
Выражение F
Выражение G
1
-
(а –1)(v – φ)
1a
1б
2
-
2a
)
2б
3
4
(
4a
5
6
Доказательство
1. Пусть
logav - logaφ > 0
, то есть
logav > logaφ,
причём
a > 0, a ≠ 1, v > 0,
φ > 0.
Если 0 <
a
< 1, то по свойству убывающей логарифмической функции
имеем
v < φ.
Значит, выполняется система неравенств
a -1<0
v – φ < 0
Откуда следует неравенство (
a – 1)(v –φ) > 0
верное на области
определения выражения
F = logav - logaφ.
Если
a > 1,
то
v > φ.
Следовательно, имеет место неравенство
(a –
1)(v –φ)> 0.
Обратно, если выполняется неравенство
(a – 1)(v – φ)>
0
на области допустимых значений
(a > 0, a≠ 1, v > 0, φ > 0),
то оно
на этой области равносильно совокупности двух систем.
a – 1<0 a – 1 > 0
v – φ < 0 v – φ > 0
Из каждой системы следует неравенство
logav > logaφ,
то
есть
logav - logaφ > 0.
Аналогично, рассматриваются неравенства F < 0, F ≤ 0, F ≥ 0.
2. Пусть некоторое число
а
> 0 и
а
≠ 1, тогда имеем
logu v- loguφ =
Знак последнего выражения совпадает со знаком
выражения
или
(u-1)(v-φ) .
3.Так как
loguv –logφv = ,
то, используя замены 2а и 2б, получаем, что знак последнего
выражения совпадает со знаком выражения
(φ - 1)(v - 1)(u - 1)(φ – u).
4.Из неравенства
uv-uφ > 0
следует
uv > uφ.
Пусть число а > 1,
тогда
loga uv > logauφ
или
(u – φ)loga u > 0.
Отсюда с учётом замены 1б и условия
a > 1
получаем
(v – φ)(a – 1)(u – 1) > 0, (v – φ)(u – 1) > 0.
Аналогично, доказываются
неравенства F < 0,
F ≤ 0, F ≥ 0.
5. Доказательство проводится аналогично доказательству 4.
6. Доказательство замены 6 следует из равносильности неравенств
| p | > | q | и p2 > q2
( | p | < | q | и p2 < q2).
Сравним объем решения неравенства, содержащих переменную в
основании логарифма классическим методом и методом рационализации
3. Заключение
Считаю, что задачи, которые поставила перед собой при выполнении
работы, достигнуты. Проект имеет практическое значение, так как
предложенный в работе метод позволяет значительно упростить
решение логарифмических неравенств. В результате количество
вычислений, приводящих к ответу, уменьшается примерно в два раза,
что экономит не только время, но и позволяет потенциально сделать
меньше арифметических ошибок и ошибок «по невнимательности».
Теперь при решении задач С3 я использую данный метод.
4. Список использованной литературы
1. , – Методы решения неравенств с одной переменной. – 2011.
2. – Пособие по математике. – 1972.
3. - Математика абитуриенту. Москва: МЦНМО, 2008.
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: