Решение логарифмических неравенств методом рационализации

Решение логарифмических неравенств
методом рационализации
1. Введение
Часто, при решении заданий ЕГЭ из части «С», а в особенности в заданиях С3,
встречаются неравенства, содержащие логарифмические выражения с
неизвестным в основании логарифма. Вот, например, стандартное
неравенство:
Как правило, для решения подобных заданий используют классический
метод, то есть применяется переход к равносильной совокупности
систем
При стандартном подходе пример решается по схеме: произведение меньше
нуля, когда сомножители разных знаков. Т. е. рассматривается совокупность
двух систем неравенств, в которых каждое неравенство распадается еще на
семь. Поэтому, можно предложить менее трудоемкий метод решения этого
стандартного неравенства. Это метод рационализации, известный в
математической литературе под названием декомпозиции.
При выполнении проекта мной поставлены следующие цели :
1) Овладеть данным приемом решения
2) Отработать навыки решения на заданиях С3 из тренировочных и
диагностических работ 2013 г.
Задачей проекта является изучение теоретического обоснования
метода рационализации.
Актуальность работы заключается в том, что данный метод
позволяет успешно решать логарифмические неравенства части С3
ЕГЭ по математике.
2. Основная часть
Рассмотрим логарифмическое неравенство вида
, (1)
где - некоторые функции (об их природе будем говорить
ниже).
Стандартный метод решения такого неравенства предполагает разбор
двух случаев на области допустимых значений неравенства.
В первом случае, когда основания логарифмов удовлетворяют
условию
, знак неравенства обращается: .
Во втором случае, когда основание удовлетворяет условию ,
знак неравенства сохраняется: .
На первый взгляд все логично, рассмотрим два случая и потом
объединим ответы. Правда, при рассмотрении второго случая
возникает определенный дискомфорт приходится на 90 процентов
повторять выкладки из первого случая (преобразовывать, находить
корни вспомогательных уравнений, определять промежутки
монотонности знака). Возникает естественный вопрос можно ли все
это как-нибудь объединить?
Ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме.
Теорема 1.
Логарифмическое неравенство
равносильно следующей системе неравенств
:
(2)
Доказательство.
1. Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают
множество допустимых значений исходного логарифмического
неравенства. Обратим теперь внимание на пятое
неравенство.
Если , то первый множитель этого неравенства
будет отрицателен.
При сокращении на него придется изменить знак
неравенства на противоположный, тогда получится
неравенство
.
Если же , то
первый множитель пятого неравенства
положителен, сокращаем его без изменения знака
неравенства,
получаем неравенство . Таким образом, пятое
неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего
метода.
Терема доказана.
Основные положения теории метода рационализации.
Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на
более простое выражение G(x), при котором неравенство G(x) 0
равносильно неравенству F(x) 0 в области определения выражения F(x).
Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализующие
выражения G, где u, v, , p, q - выражения с двумя переменными (u > 0; u
1; v > 0, > 0), a - фиксированное число (a > 0, a
1).