Презентация "Использование производной для решения прикладных задач"

Использование производной для решения прикладных задач Презентация к уроку Автор: преподаватель математики Каменовская Е.С.

ГОУ НПО ЯО ПУ№1

2012г

Цели

• исследовать свойства показательной функции с помощью производной
• выполнить исследовательскую работу «Храните деньги в банке»

Руководство к исследовательской работе «Храните деньги в банке» Таблица данных о росте вклада гражданина N в банке. Данные с десятого по двадцать первый годы хранения вклада. Величина вклада измеряется в условных единицах. Пусть F(t) – зависимость суммы вклада от срока хранения.

t	F(t)
16	45,950
17	50,545
18	55,599
19	61,159
20	67,275
21	74,002

t	F(t)
10	25,937
11	28,531
12	31,384
13	34,523
14	37,975
15	41,772

Результаты вычислений оформите в виде таблицы

t	F(t)	F´(t)	k(t)	ln F(t)	ln F(0)
10	25,937
…
20	67,275

1) Вычислите приближенно значения производной 1) Вычислите приближенно значения производной F´(t)≈ ∆F/∆t = F(t+1) – F(t-1)/2 при t= 11÷19 и составьте таблицу зависимости F´(t) (скорости изменения вклада от года хранения) Пример: F´(t)≈ (31,384-25,937) /2 F´(t) ≈ 2,724 2) Вычислите при тех же значениях t отношение 2) Вычислите при тех же значениях t отношение k(t) = F´(t)/F(t) Убедитесь, что k(t) ≈ k₀ (не зависит от t), т.е. скорость роста функции пропорциональна значению самой функции: F´(t) = k₀F(t) Пример: k(t) = 2,724/28,531 k(t) ≈ 0,095 3) Четвертый столбец таблицы заполните с помощью калькулятора 4).Постройте, используя таблицу, график функции F(t) Строить график F(t) и последующий график ln(t) следует на миллиметровой бумаге, выбрав для построения графика F(t) масштаб: по оси абсцисс 1см = 1году, по оси ординат 1см= 10 условным единицам

F(t)

t

проверка

5) Постройте график lnF(t) Убедитесь, что он представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом p = k₀ (p = lnF(t+1) – lnF(t), p ≈ 0,095) Для построения графика выберите масштаб: по оси абсцисс 1см = 1 году, по оси ординат 1см = 1 единице измерения

lnF(t)

t

проверка

6) Найдите lnF(0). Определите F(0) – первоначальный вклад Значение lnF(0) можно найти по графику. Это ордината точки при t = 0. Но можно вычислить по формуле lnF(0) = lnF(t) – t·k(t). Результаты занести в столбец 5. Так как t·k(t)=k0 вычислено приближенно, то для lnF(0) получаются различные значения в зависимости от t. Учитывая, что погрешность вычислений растет с ростом t, в окончательных расчетах следует взять tнаим = 10, откуда получим, что lnF(0) = 2,306, следовательно, F(0) ≈ 10. Итак, первоначальный вклад равен 10 условным единицам. 7) Определите начисляемый годовой процент Начисляемый годовой процент можно вычислить по формуле q = (F(t+1)/F(t) – 1)· 100% Но ln(F(t+1)/F(t)) = k₀→F(t+1)/F(t) = Cледовательно, q = q = q ≈ 10% 8).Проверьте экспериментально, что функция F(t) обладает свойством F(t₁) · F(t₂) = F(0) · F(t₁+t₂) Пример: F(10) · F(11) и сравните с F (21) 8).Отметим основные свойства функции F(t)

• F´(t) = k₀F(t)
• F(t₁)· F(t₂) = F(0)· F(t₁ + t₂)
• график функции lnF(t) – прямая линия

9). Напишите выражения для функции F(t) и для ее производной Итак, F(0)≈ 10,

lnF(t) = lnF(0) + k₀t

Откуда F(t) = F(0)·

Подставим значения F(0) и

Получим F(t) = 10·

Мы знаем, что F´(t) = k₀· F(t).

Так как k₀ = 0,095, то F´(t) = 0,095·

Вывод

• Основные свойства функции F(t) – характерны только для показательной функции. Значит F(t) = C ·
• F(t) = F(0)·
• F´(t) = 0,095·

, где С = F(0).

Информационные ресурсы

• Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл.сред.шк. – 4-е изд. Испр. И доп. – СПб.: Свет, 1998.
• Показательная и логарифмическая функции: Дидакт. Материалы по курсу алгебры и начал анализа для 10-11 кл. ср. шк./Под ред. М.И.Башмакова. – СПб., СВЕТ, 1996