Презентация "Фрактальная графика"

• ГРАФИКА

• ФРАКТАЛЬНАЯ

"Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, а потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий» Козьма Прутков

• Фракталы - самые красивые, очаровательные и странные порождения геометрии XX века. Это детища сухой математики, но они настолько эстетичны, что выставка фракталов, построенных с помощью компьютера потрясла мир, а книга организаторов выставки Хайнца-Отто Пайтгена и Петера Рихтера, "Красота фракталов" раскупалась как художественный альбом.
• Они упорядочены, но это не упорядоченность монотонного орнамента, повторяющего без изменений один и тот же мотив.
• Они геометричны, но это геометрия не идеалиста Платона, искавшего везде отполированные формы правильных многогранников, а геометрия реального мира - ветвистого, пористого, шершавого, зазубренного, изъеденного. Не зря человек, давший фракталам имя, - польский математик Мандельброт с французским именем Бенуа, проработавший большую часть жизни на американскую корпорацию IBM, - назвал свой главный труд "Фрактальная геометрия природы".

" Облака не сферы, горы - не конусы, линии берегов - не окружности, и не гладка древесная кора и не прям путь молнии» Бенуа Мандельброт, Фрактальная геометрия природы, 1982

• Основное свойство фракталов - самоподобие. Любой микроскопический фрагмент фрактала в том или ином отношении воспроизводит его глобальную структуру. В простейшем случае часть фрактала представляет собой просто уменьшенный целый фрактал.
• Отсюда основной рецепт построения фракталов: возьми простой мотив и повторяй его, постоянно уменьшая размеры. В конце концов выйдет структура, воспроизводящая этот мотив во всех масштабах, - бесконечная лестница вглубь.
• Как форма и размер отдельных элементов, так и их взаимное расположение может быть описано математической формулой.

Фрактальная графика может применяться во многих областях естественных наук. Фракталы помогают геофизикам определять и предсказывать форму и характер растрескиваний земной коры и особенности распределения в ее слоях различных химических элементов, а астрономам – моделировать формирование планетных систем и галактик, характер рассеивания лучей и космической пыли.

• Фрактальная графика может применяться во многих областях естественных наук. Фракталы помогают геофизикам определять и предсказывать форму и характер растрескиваний земной коры и особенности распределения в ее слоях различных химических элементов, а астрономам – моделировать формирование планетных систем и галактик, характер рассеивания лучей и космической пыли.
• Многие природные объекты также самоподобны и состоят из повторяющихся элементов разных размеров. Очевидные примеры – дерево, куст, колония кораллов.

• Еще более наглядным примером может служить соцветие «сложный зонтик» – «зонтик», состоящий, в свою очередь, из маленьких зонтиков. На рисунке слева показано соцветие растения из семейства зонтичных, а справа - его схема, построенная с использованием фрактальной графики.

Фрактальная графика

• Фрактальная графика, как и векторная — вычисляемая, но отличается от нее тем, что никакие объекты в памяти компьютера не хранятся. Фрактальное изображение строится по уравнению (или по системе уравнений), поэтому ничего, кроме формулы, хранить не надо. Изменив коэффициенты в уравнении, можно получить совершенно другую фрактальную картину.
• Для выполнения расчетов, связанных с фрактальной геометрией, и графического представления получающихся результатов существует множество различных компьютерных программ. В их основе лежит возможность ввода базовой формулы, отражающей предполагаемый тип элемента фрактала и ее последующих изменений, позволяющих трансформировать фигуры – элементы фрактала: увеличивать их или уменьшать, поворачивать относительно центра рисунка или начальной точки и, главное, задавать количество вложений, т.е. число шагов программы.

Построение фракталов

• Простейшим фрактальным объектом является фрактальный треугольник.
• 1. Постройте обычный равносторонний треугольник.
• 2. Разделите каждую из его сторон на три отрезка.

• 3. На среднем отрезке стороны постройте равносторонний треугольник со стороной, равной 1/3 стороны исходного треугольника, а на других отрезках постройте равносторонние треугольники со стороной, равной 1/9.
• 4. С полученными треугольниками повторите те же операции. Вскоре вы увидите, что треугольники последующих поколений наследуют свойства своих родительских фрактальных структур.
• 5. Так рождается фрактальная фигура.

• Процесс фрактального наследования можно продолжать до бесконечности.
• Взяв такой бесконечный фрактальный объект и рассмотрев его в лупу или микроскоп, можно найти в нем все новые и новые детали, повторяющие свойства исходной фрактальной структуры.

Построение фракталов

• Еще один известный фрактал – кривая Коха.
• Берем отрезок и среднюю его треть переламываем под углом 60 градусов. Затем повторяем эту операцию с каждой из частей получившейся ломаной - и так до бесконечности. В результате мы получим простейший фрактал - триадную кривую, которую в 1904 году открыла математик Хельга фон Кох.
• Если на каждом шаге не только уменьшать основной мотив, но также смещать и поворачивать его, можно получить более интересные и реалистически выглядящие образования, например, лист папоротника или даже целые их заросли.

Построение фракталов

• Фрактальными свойствами обладают многие объекты живой и неживой природы. Обычная снежинка, многократно увеличенная, оказывается фрактальным объектом. Фрактальные алгоритмы лежат в основе роста кристаллов и растений. Взгляните на ветку папоротникового растения, и вы увидите, что каждая дочерняя ветка во многом повторяет свойства ветки более высокого фрактального уровня.
• В отдельных ветках деревьев чисто математическими методами можно проследить фрактальные свойства всего дерева. А если ветку поставить в воду, то вскоре можно получить саженец, который со временем разовьется в полноценное дерево (это легко удается сделать с веткой тополя).

Известные фракталы

• Фрактал Серпинского
• (на плоскости)

• Решетка
• Серпинского 
• и
• Губка
• Серпинского 
• (объемные
• фракталы)

Известные фракталы

Кривая Гильберта:	Фрактал Снежинка:
Фрактал Звезда:	Пятиугольник Дарера:

Известные фракталы

Последовательность Морса:	Множество Мандельброта:

Известные фракталы

Множество Жюлиа:

Фрактальная графика

• Можно построить весьма правдоподобный фрактальный рельеф местности и покрыть её очень симпатичным лесом.

• Большинство текстур местности в современных компьютерных играх представляют фракталы.

Как только Мандельброт открыл понятие фрактала, оказалось, что мы буквально окружены ими. Фрактальны слитки металла и горные породы, фрактальны расположение ветвей, узоры листьев, капиллярная система растений; кровеносная, нервная, лимфатическая системы в организмах животных, фрактальны речные бассейны, поверхность облаков, линии морских побережий, горный рельеф...

• Как только Мандельброт открыл понятие фрактала, оказалось, что мы буквально окружены ими. Фрактальны слитки металла и горные породы, фрактальны расположение ветвей, узоры листьев, капиллярная система растений; кровеносная, нервная, лимфатическая системы в организмах животных, фрактальны речные бассейны, поверхность облаков, линии морских побережий, горный рельеф...

• В 3D Studio Max, например, для генерации деревьев используется фрактальный алгоритм.

• ЗАДАНИЕ:
• Постройте в тетради свой фрактал