Презентация "Поверхности второго порядка"

• Поверхности второго порядка

• <number>

• Определение Уравнение поверхности - уравнение вида

• Замечание Поверхности второго порядка,
• за исключением случаев сильного вырождения,
• можно разделить на пять классов:
• эллипсоиды,

• гиперболоиды,
• параболоиды,
• конусы
• цилиндры.

в общем случае уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид

• в общем случае уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид

• a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+
• +2a23yz+2a10x+2a20y+2a30z+a00=0 .

• Поверхности второго порядка делятся на
• 1) вырожденные
• 2) невырожденные

• Вырожденные поверхности второго порядка это плоскости и точки, которые задаются уравнением второй степени.
• Невырожденными поверхности второго порядка подразделяются на пять типов.

• Эллипсоиды
• гиперболоиды,
• параболоиды,
• конусы
• цилиндры.

Определение Эллипсоид – поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяемая уравнением

• Определение Эллипсоид – поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяемая уравнением

• <number>

• Эллипсоид может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей. Такой эллипсоид называют эллипсоидом вращения или сфероидом

• эллипсоид есть сфера

• полуоси эллипсоида,
• если они различны,
• то эллипсоид
• трехосный

Система координат, в которой эллипсоид имеет уравнение (1) называется его канонической системой координат, а уравнение (1) – каноническим уравнением эллипсоида

• Система координат, в которой эллипсоид имеет уравнение (1) называется его канонической системой координат, а уравнение (1) – каноническим уравнением эллипсоида

• где a, b, c – положительные константы.

• Эллипсоид имеет центр симметрии O(0; 0; 0) и три плоскости симметрии xOy, xOz, yOz.

Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида.

• Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида.
• Если все они различны, то эллипсоид называется трехостным.
• Если две из трех полуосей равны, эллипсоид является поверхностью вращения.
• Он получается в результате вращения эллипса вокруг одной из своих осей.

ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПСОИДА

• 1) Сечения плоскостями x = h:
• Это уравнение определяет
• а) при | h | < a – эллипс (причем, чем больше | h |,
• тем меньше полуоси эллипса);
• б) при | h | = a – точку A2,1(a; 0; 0);
• в) при | h | > a – мнимую кривую.

3) Сечения плоскостями y = h:

• 3) Сечения плоскостями y = h:
• Это уравнение определяет
• а) при | h | < b – эллипс (причем, чем больше | h |,
• тем меньше полуоси эллипса);
• б) при | h | = b – точку B2,1(0; b; 0);
• в) при | h | > b – мнимую кривую.

3) Сечения плоскостями z = h:

• 3) Сечения плоскостями z = h:
• Это уравнение определяет
• а) при | h | < c – эллипс (причем, чем больше | h |,
• тем меньше полуоси эллипса);
• б) при | h | = c – точку C2,1(0; 0; c);
• в) при | h | > c – мнимую кривую.

Определение Сфера в пространстве - геометрическое место точек, одинаково удаленных от некоторой точки, называемой центром сферы.

• Определение Сфера в пространстве - геометрическое место точек, одинаково удаленных от некоторой точки, называемой центром сферы.

• <number>

• уравнение сферы радиуса

• Сфера с центром в начале координат есть уравнение

• Замечание Эллипсоид, у которого все три полуоси равны, называют сферой

Определение Двухполостный гиперболоид – поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением

• Определение Двухполостный гиперболоид – поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением

• <number>

• Определение Однополосный гиперболоид –
• поверхность, которая в некоторой системе
• декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением

• Замечание Шуховская башня расположена в Москве на улице Шаболовка. Построена в 1919—1922г. русским архитектором Владимиром Григорьевичем Шуховым (1853—1939).
• Шуховская башня имеет конструкцию, благодаря чему достигается минимальная ветровая нагрузка.
• По форме секции башни — это однополостные гиперболоиды вращения, сделанные из прямых балок, упирающихся концами в кольцевые основания.
• Такие конструкции часто употребляются для устройства высоких радиомачт, водонапорных башен

• <number>

Гиперболоиды

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Однополостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

• где a, b, c – положительные константы.

• Система координат, в которой однополостный гиперболоид имеет уравнение (2) называется его канонической системой координат, а уравнение (2) – каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

• Замечание Однополостный гиперболоид имеет центр симметрии O(0; 0; 0) и три плоскости симметрии xOy, xOz, yOz.

Величины a, b и c называются полуосями однополостного гипер- болоида.

• Величины a, b и c называются полуосями однополостного гипер- болоида.
• Если a = b, то однополостный гиперболоид является поверхностью вращения. Он получается в резуль- тате вращения вокруг своей мнимой оси гиперболы

ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ОДНОПОЛОСТНОГО ГИПЕРБОЛОИДА

• 1) Сечения плоскостями x = h:
• Это уравнение определяет
• а) при | h | < a – гиперболу, с действительной осью || Oy;
• б) при | h | > a – гиперболу, с действительной осью || Oz;
• в) при | h | = a – пару прямых.

3) Сечения плоскостями y = h:

• 3) Сечения плоскостями y = h:
• Это уравнение определяет
• а) при | h | < b – гиперболу, с действительной осью || Ox;
• б) при | h | > b – гиперболу, с действительной осью || Oz;
• в) при | h | = b – пару прямых.

3) Сечения плоскостями z = h:

• 3) Сечения плоскостями z = h:
• Это уравнение определяет эллипс при любом h.
• При h = 0 полуоси эллипса будут наименьшими.
• Этот эллипс называют горловым эллипсом
• однополостного гиперболоида.

Замечание.

• Замечание.
• Уравнения
• определяют однополостные гиперболоиды,
• но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Двуполостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Двуполостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
• где a, b, c – положительные константы.

• Система координат, в которой двуполостный гиперболоид имеет уравнение (3) называется его канонической системой координат,
• а уравнение (3) – каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Величины a, b и c называются полуосями двуполостного гипербо- лоида.

• Величины a, b и c называются полуосями двуполостного гипербо- лоида.
• Если a = b, то двуполостный ги- перболоид является поверхностью вращения. Он получается в резуль- тате вращения вокруг своей действительной оси гиперболы

• Двуполостный гиперболоид имеет центр симметрии
• O(0; 0; 0)
• и три плоскости симметрии xOy, xOz, yOz.

ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ДВУПОЛОСТНОГО ГИПЕРБОЛОИДА

• 1) Сечения плоскостями x = h:
• При любом h это уравнение определяет гиперболу, с действительной осью || Oz.

2) Сечения плоскостями y = h:

• 2) Сечения плоскостями y = h:
• При любом h это уравнение определяет гиперболу, с действительной осью || Oz.

3) Сечения плоскостями z = h:

• 3) Сечения плоскостями z = h:
• Это уравнение определяет
• а) при | h | > c – эллипс (причем, чем больше | h |,
• тем больше полуоси эллипса);
• б) при | h | = c – точку C2,1(0; 0; c);
• в) при | h | < c – мнимую кривую.

Замечание.

• Замечание.
• Уравнения
• тоже определяют двуполостные гиперболоиды, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.

• <number>

Определение Эллиптический параболоид – поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением

• Определение Эллиптический параболоид – поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением

• <number>

Параболоиды

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллиптическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

• где a, b – положительные константы.

• Система координат, в которой эллиптический параболоид имеет уравнение (5) называется его канонической системой координат, а уравнение (5) – каноническим уравнением эллиптического параболоида.

• Эллиптический параболоид имеет две плоскости симметрии xOz, yOz.

Величины a и b называются параметрами параболоида. Точка O называется вершиной параболоида.

• Величины a и b называются параметрами параболоида. Точка O называется вершиной параболоида.
• Если a = b, то параболоид является поверхностью вращения. Он получа- ется в результате вращения вокруг оси Oz параболы

• Эллиптический параболоид это поверхность, которая получается при движении одной параболы вдоль другой (вершина параболы скользит по параболе, оси подвижной и неподвижной параболы параллельны, ветви направлены в одну сторону).

ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПАРАБОЛОИДА

• 1) Сечения плоскостями x = h:
• При любом h это уравнение определяет параболу. Ее ось || Oz, ветви направлены вверх, параметр p = b2. При h  0 вершина параболы смещена вверх.

2) Сечения плоскостями y = h:

• 2) Сечения плоскостями y = h:
• При любом h это уравнение определяет параболу. Ее ось || Oz, ветви направлены вверх, параметр p = a2. При h  0 вершина параболы смещена вверх.

3) Сечения плоскостями z = h:

• 3) Сечения плоскостями z = h:
• Это уравнение определяет
• а) при h > 0 – эллипс (причем, чем больше h,
• тем больше полуоси эллипса);
• б) при h = 0 – точку O (0; 0; 0);
• в) при h < 0 – мнимую кривую.

Замечания:

• Замечания:
• 1) Уравнение
• тоже определяет эллиптический параболоид, но «развер- нутый» вниз.
• 2) Уравнения
• определяют эллиптические параболоиды, с осями симметрии Oy и Ox соответственно.

• Определение Гиперболический параболоид – поверхность определяемая уравнением

• <number>

• Ввиду схожести гиперболический
• параболоид
• называют «седлом».

• Гиперболический параболоид имеет две плоскости симметрии xOz, yOz.

• Величины a и b называются параметрами параболоида.
• Гиперболический параболоид это поверхность, которая получается при движении одной параболы вдоль другой (вершина параболы скользит по параболе, оси подвижной и неподвижной параболы параллельны, ветви направлены в разные стороны).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

• где a, b – положительные константы.

• Система координат, в которой гиперболический параболоид имеет уравнение (6) называется его канонической системой координат, а уравнение (6) – каноническим уравнением гиперболического параболоида.

ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ПАРАБОЛОИДА

• 1) Сечения плоскостями x = h:
• При любом h это уравнение определяет параболу. Ее ось || Oz, ветви направлены вниз, параметр p = b2. При h  0 вершина параболы смещена вверх.

2) Сечения плоскостями y = h:

• 2) Сечения плоскостями y = h:
• При любом h это уравнение определяет параболу. Ее ось || Oz, ветви направлены вверх, параметр p = a2. При h  0 вершина параболы смещена вниз.

3) Сечения плоскостями z = h:

• 3) Сечения плоскостями z = h:
• Это уравнение определяет
• а) при h  0 – гиперболу
• при h > 0 – действительная ось гиперболы || Ox,
• при h < 0 – действительная ось гиперболы || Oy;
• б) при h = 0 – пару прямых .

Замечания:

• Замечания:
• 1) Уравнение
• тоже определяет гиперболический параболоид, но «развер- нутый» вниз.
• 2) Уравнения
• определяют гиперболические параболоиды, у которых «неподвижные параболы» лежат в плоскости xOy и имеют оси Oy и Ox соответственно.

Определение Цилиндрическая поверхность - поверхность, образованная прямыми (образующими), параллельными некоторой данной прямой и пересекающими данную линию (направляющую).

• Определение Цилиндрическая поверхность - поверхность, образованная прямыми (образующими), параллельными некоторой данной прямой и пересекающими данную линию (направляющую).

• <number>

• Определение Тело, ограниченное замкнутой конечной цилиндрической поверхностью
• и двумя сечениями, благодаря которым она была получена, называется цилиндром.

Эллиптический цилиндр

• Эллиптический цилиндр

• <number>

• Параболический цилиндр

• Гиперболический цилиндр

• <number>

Цилиндры

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Цилиндрической поверхностью (цилиндром) называется поверхность, которую описывает прямая (называемая образующей), перемещающаяся параллельно самой себе вдоль некоторой кривой (называемой направляющей) .
• Цилиндры называют по виду направляющей: круговые, эллиптические, параболические, гиперболические.

Замечание Цилиндр в некоторой декартовой системе координат задается уравнением, в которое не входит одна из координат.

• Замечание Цилиндр в некоторой декартовой системе координат задается уравнением, в которое не входит одна из координат.
• Кривая, которую определяет это уравнение в соответствующей координатной плоскости, является направляющей цилиндра; а образующая – параллельна оси отсутствующей координаты.

Цилиндры Определение Коническая поверхность- поверхность, образованная прямыми (образующими конуса), проходящими через данную точку (вершину конуса) и пересекающими данную линию (направляющую конуса).

• Определение Коническая поверхность- поверхность, образованная прямыми (образующими конуса), проходящими через данную точку (вершину конуса) и пересекающими данную линию (направляющую конуса).

• <number>

• Конус

Конус

• ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конусом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

• где a, b, c – положительные константы.

• Система координат, в которой конус имеет уравнение (4) называется его канонической системой координат, а уравнение (4) – каноническим уравнением конуса.

• Конус имеет центр симметрии O(0; 0; 0) и три плоскости симметрии xOy, xOz, yOz

Величины a, b и c называются полуосями конуса.

• Величины a, b и c называются полуосями конуса.
• Центр симметрии O называется вершиной конуса.
• Если a = b, то конус является по- верхностью вращения. Он получа- ется в результате вращения вокруг оси Oz прямой

ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ КОНУСА

• 1) Сечения плоскостями x = h:
• Это уравнение определяет
• а) при h  0 – гиперболу, с действительной осью || Oz;
• б) при h = 0 – пару прямых.

2) Сечения плоскостями y = h:

• 2) Сечения плоскостями y = h:
• Это уравнение определяет
• а) при h  0 – гиперболу, с действительной осью || Oz;
• б) при h = 0 – пару прямых.

3). Сечения плоскостями z = h:

• 3). Сечения плоскостями z = h:
• Это уравнение определяет
• а) при h  0 – эллипс (причем, чем больше | h |,
• тем больше полуоси эллипса);
• б) при h = 0 – точку O (0; 0; 0).

Замечание.

• Замечание.
• Уравнения
• тоже определяют конусы, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.