Ученики на Учителя.com


Методическая разработка по теме "Обратная матрица"

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования «Московский государственный
университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)»
УЧЕБНАЯ ДИСЦИПЛИНА
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Методическая разработка по теме
«Обратная матрица»
подготовила
преподаватель
математических дисциплин
Новосёлова Елена Викторовна
2015
2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
3
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
4
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
7
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА
8
ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ МЕТОДИЧЕСКОЙ
РАЗРАБОТКИ
9
3
ВВЕДЕНИЕ
Методическая разработка по теме «Обратная матрица» составлена в
соответствии с требованиями ФГОС СПО третьего поколения.
Предлагаемая методическая разработка включает основной теоретический
материал по теме «Обратная матрица», решение типовых примеров, задания для
самостоятельной работы обучающихся по теме с ответами и варианты
проверочной работы.
Методическую разработку можно использовать как на уроках, так и для
организации индивидуальной и самостоятельной работы обучающихся, на
дополнительных занятиях и консультациях. В качестве дополнительного
материала она может быть использована на факультативных занятиях.
Цель методической разработки – помочь обучающимся в освоении
материала по теме «Обратная матрица» и получить необходимые практические
навыки по применению теоретического материала в условиях конкретного
задания.
4
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
* Матрица А
−1
называется обратной к заданной матрице А, если
А ∙ А
−1
= А
−1
∙ А = Е.
ТЕОРЕМА (о существовании обратной матрицы).
Данная матрица имеет обратную только тогда, когда ее определитель отличен от
нуля.
Если матрица А имеет обратную матрицу А
−1
, то она находится по формуле:
1
А
nn
2n
1n
n3n2n1
322212
312111
А
...
А
А
...ААА
............
...ААА
...ААА
Adet
1
,
где
ij
А
− алгебраические дополнения элементов
ij
а
матрицы А. Причем,
алгебраические дополнения для строк матрицы А записываются в
соответствующие столбцы матрицы А
−1
.
Свойства:
1. ( А
−1
)
−1
= А
2. (А ∙ В)
−1
= В
−1
∙ А
−1
3. ( А
−1
)
Т
= ( А
Т
)
−1
4.
Adet
1
Adet
1
.
Правильность нахождения обратной матрицы можно проверить по
определению: А ∙ А
−1
= А
−1
∙ А = Е.
Пример.
Найти матрицу, обратную данной и сделать проверку:
1) , 1) А =
2)
351
222
110
В
.
Решение.
1) Считаем определитель матрицы А:
10)3(241
42
31
Adet
.
5
Т.к.
0Adet
, то матрица А
−1
существует и находится по формуле:
А
−1
=
2212
2111
AA
AA
Adet
1
.
Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А:
4М)1(А
11
2
11
2М)1(А
12
3
12
3)3(М)1(А
21
3
21
1М)1(А
22
4
22
Тогда, матрица обратная данной А, равна А
−1
=
12
34
10
1
.
Проводим проверку по определению: А ∙ А
−1
= А
−1
∙ А = Е.
А ∙ А
−1
=
1432)2(442
1)3(31)2()3(41
10
1
12
34
42
31
10
1
10
01
.
Проверка показала, что обратная матрица найдена верно.
Ответ: А
−1
=
12
34
10
1
.
2) Считаем определитель матрицы В:
160)2(53)1(21211)2()1(152320
351
222
110
Вdet
Т.к.
0Вdet
, то матрица В
−1
существует и находится по формуле:
В
−1
=
332313
322212
312111
ААА
ААА
ААА
Вdet
1
.
Находим алгебраические дополнения элементов матрицы В:
6
16)2(532
35
22
А
11
1)1(150
51
10
А
23
8)2(132
31
22
А
12
012)2()1(
22
11
А
31
82152
51
22
А
13
212)2(0
22
10
А
32
8153)1(
35
11
А
21
2)1(220
22
10
А
33
11130
31
10
А
22
Тогда, матрица обратная данной В, равна В
−1
=
218
218
0816
16
1
.
Проводим проверку по определению: В ∙ В
−1
= В
−1
∙ В = Е.
В
−1
∙ В =
218
218
0816
16
1
∙
351
222
110
=
=
32)2()1(18522)1()1(8122)1(08
32)2()1(18522)1()1(8122)1(08
30)2(81165028)1(161028016
16
1
=
=
1600
0160
0016
16
1
=
100
010
001
.
Проверка показала, что обратная матрица найдена верно.
Ответ: В
−1
=
218
218
0816
16
1
.
7
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. При каких значениях α матрица А =
1α0
152
14α
не имеет обратной?
Ответ:
1;8
.
2. Найти матрицу, обратную данной и сделать проверку:
1.
43
21
2.
312
302
431
3.
032
231
320
Ответ: 1.
13
24
10
1
; 2.
672
550
9133
5
1
; 3.
243
364
596
.
3. Найти матрицу, обратную матрице, полученной в результате действий
B∙С
Т
− 3A, где
32
01
А
,
0120
0011
В
,
1101
0220
С
.
Ответ:
50
110
50
1
.
4. Вычислить 22 ∙ (А
−1
)
Т
+ А
Т
, если
11
02
А
.
Ответ:
210
1213
.
5. Вычислить (А∙В)
−1
, если
32
01
А
,
31
12
В
.
Ответ:
27
111
15
1
.
6. Вычислить А
−1
∙В
−1
+ 3∙(В∙А)
−1
, если
013
002
111
А
,
051
120
402
В
.
Ответ:
042
14327
241
.
8
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА
ВАРИАНТ 1.
1. Найти А
−1
и сделать проверку.
2. Вычислить 4∙(K∙S)
–1
– F
Т
.
ВАРИАНТ 2.
1. Найти В
−1
и сделать проверку.
2. Вычислить G + 8 ∙ N
–1
∙L
–1
.
ВАРИАНТ 3.
1. Найти С
−1
и сделать проверку.
2. Вычислить G
Т
– 66∙F
–1
∙ G
–1
.
А =
132
213
321
В =
314
522
131
С =
422
633
311
N =
11
01
10
S =
01
10
12
F =
03
21
G =
23
14
K =
110
011
L =
101
014
Ответы.
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
1
517
1157
777
14
1
41310
7714
17811
63
1
6012
320
15224
12
1
2
44
33
25
76
54
510
9
ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
МЕТОДИЧЕСКОЙ РАЗРАБОТКИ
1. Башмаков М.И. Математика. Книга для преподавателя: методическое пособие
для НПО, СПО. – М.: Академия, 2013 – 224с.
2. Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. Пособие для образоват.
Учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Академия, 2013 – 416с.
3. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 – 11 кл. / Под ред. Колмогорова А.Н.
– 11 изд. – М.: Просвещение, 2009 – 384 с.
4. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа./ Под ред. Яковлева Г.Н.
– М.: Наука, 2008 – 294 с.
5. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник для средних специальных учебных
заведений. – М.: Академия, 2006 – 241 с.
6. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учебное пособие, 5–е
издание. – М.: Высшая школа, 2009 – 323 с.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: