Ученики на Учителя.com


Проект "Математические чудеса и тайны" 9 класс

1
Тема:
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЧУДЕСА И ТАЙНЫ
Выполнила: Моисеева Кристина Владимировна
ученица 9 класса
ГБОУ СОШ пос.Сокский
Исаклинского района
Научный руководитель: Крутько Светлана Николаевна
учитель математики
2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение..............................................................................................................3
Теоретическая часть
Биография Гарднера Мартина …………….......................................................5
Быстрое извлечение кубического корня…………………………................7
Практическая часть
Извлечение арифметического корня нечетной степени……………………..8
Извлечение арифметического корня четной степени ……………………….9
Таблица для вычисления арифметических корней 3-9 степени двузначных
чисел………………………………………………………………………….....10
Методика составления таблицы……………………………………………….11
Заключение........................................................................................................12
Библиография…………………………………………………………………13
3
Введение
Каждый из нас, несомненно, встречался с «фокусами» по отгадыванию
чисел. Фокусник обычно предлагает выполнить действия следующего
характера: задумай число, прибавь …, умножь на…, отними…, отними
задуманное число и т.д..Затем фокусник спрашивает, что у вас получилось в
результате, и, получив ответ, мгновенно сообщает задуманное вами число
Математический интерес каждого фокуса и заключается в
разоблачении его теоретических основ, которые в большинстве случаев
довольно просты, но иногда бывают хитро замаскированы.
Проверить выполнимость каждого фокуса можно на любом примере,
но для обоснования большинства фокусов удобнее всего прибегнуть к
математическим преобразованиям.
Гарднер Мартин в своей книге « Математические чудеса и
тайны »довольно понятно описывает самые магические, как казалось на
первый взгляд, фокусы. Но более всего, нас заинтересовал фокус по
быстрому извлечению кубического корня.
Актуальность данной темы обусловлена, прежде всего, тем, что
извлечение арифметических корней часто встречается в заданиях по
математике. И не всегда под рукой может оказаться вычислительная машина.
Цель исследования: извлечение арифметических корней без помощи
калькулятора
Задачи:
Проанализировать математическую литературу по данной теме.
Провести практическую работу с использованием математического
фокуса по быстрому извлечению арифметического корня
Пользуясь освоенными «секретами» фокуса, создать таблицу по
извлечению арифметических корней от 3 до 9 степени.
Объектная область: математика
4
Объект: математический фокус по быстрому извлечению
арифметического корня
Предмет исследования: извлечение арифметических корней 3-9
степени
Методы исследования:
1)Анализ литературы;
2)Моделирование.
Гипотеза
Можно предположить, что если привлечь внимание обучающихся к
математическим фокусам, то тем самым получится заинтересовать их в
изучении предмета математики, способствовать развитию навыков устного
счета для демонстрации и выполнения математических фокусов.
Новизна проекта
Новизна данной работы заключается в следующем: математические
фокусы редко рассматриваются и применяются в обучении математике.
Практическая значимость
Практическая значимость этого исследования заключается в
следующем: в результате привлечения внимания обучающих к математике
должна повысится их заинтересованность в данном предмете, что,
несомненно, должно повысить успеваемость учащихся.
5
Биография Гарднера Мартина
Американский математик и научный писатель, который
специализировался в области занимательной математики. Однако его
интересы были значительно шире – они охватывали искусство микромагии
(фокусы и трюки с малыми предметами для небольшой аудитории),
иллюзионизм, литературу, в которой Гарднер особое предпочтение отдавал
творчеству Льюиса Кэрролла (Lewis Carroll), философию, научный
скептицизм и религию. С 1956 по 1981 года Мартин Гарднер вел колонку
'Математические игры' (Mathematical Games) в старейшем американском
научно-популярном журнале 'Scientific American'; с 1983 по 2002 год, уже
будучи в весьма преклонном возрасте, вел колонку 'Заметки наблюдателя со
стороны' (Notes of a Fringe-Watcher) в журнале 'Skeptical Inquirer'; и
опубликовал более 70 книг, первая из которых вышла в 1952 году, а
последняя – в 2009-м.
Мартин Гарднер, сын геолога-нефтяника, родился 21 октября 1914 года
в Талсе, втором крупнейшем городе штата Оклахома (Tulsa, Oklahoma), и
вырос в ее окрестностях. Он учился в Чикагском Университете (University of
Chicago) и в 1936 году получил диплом бакалавра в области философии.
После Гарднер работал репортером в 'Tulsa Tribune', автором в отделе по
связям с прессой Чикагского Университета и сотрудником администрации в
черных районах Чикаго (Chicago). Во время Второй мировой войны Гарднер,
старшина на эскортном миноносце, несколько лет прослужил на флоте в
Атлантическом океане. Его корабль все еще был в Атлантике, когда после
капитуляции Японии (Japan) окончилась война.
После войны Гарднер вернулся в Чикагский Университет. Около года
он учился в аспирантуре, но не получил степень магистра. В 1950 году он
опубликовал статью в литературном журнале 'Antioch Review' под названием
'Ученый-отшельник' (The Hermit Scientist), новаторскую работу о том, что
позже стали называть лжеучением. Это была первая скептическая
публикация Гарднера, и через два года он доработал и расширил ее,
6
опубликовав в виде своей первой книги 'Во имя науки' (In the Name of
Science).
В начале 50-х Гарднер перебрался в Нью-Йорк (New York City) и стал
автором и дизайнером журнала 'Humpty Dumpty', предназначенного для
детей от 5 до 7 лет, и в течение восьми лет он писал истории и рисовал
иллюстрации для него и нескольких других детских журналов. Его
головоломки в 'Humpty Dumpty' повлекли за собой более серьезную работу и
позволили Гарднеру попасть качестве автора в 'Scientific American'.
Несколько десятилетий Гарднер, его жена Шарлотта (Charlotte Gardner)
и двое их сыновей жили в городке Гастингс-он-Хадсон, штат Нью-Йорк
(Hastings-on-Hudson, New York), где Мартин сделал карьеру независимого
писателя, публиковавшего книги сразу в нескольких издательствах, а также
писавшего сотни статей для журналов и газет для самых разных изданий. То
ли по ироническому совпадению, то ли по собственному выбору Гарднера – а
это возможно, учитывая его интерес к логике и математике и незаурядное
чувство юмора, - но только дом их находился на авеню Эвклида (Euclid
Avenue).
В 1979 году Мартин и его жена частично отошли от дел и переехали в
Хендерсонвилль, такой же небольшой городок, только в штате Северная
Каролина (Hendersonville, North Carolina). Шарлотта скончалась в 2000 году.
А 2002-м Гарднер вернулся в родную Оклахому и поселился в Нормане
(Norman, Oklahoma), где его сын Джеймс Гарднер (James Gardner)
преподавал и до сих пор преподает в Университете Оклахомы (University of
Oklahoma).
Мартин Гарднер умер 22 мая 2010 года, в возрасте 95 лет. На
протяжении долгих лет он практически в одиночку привил Соединенным
Штатам (United States) интерес к занимательной математике. Интересно, что
у него были трудности с изучением математического анализа, и после
средней школы Гарднер больше никогда и нигде математику не изучал.
7
Быстрое извлечение кубического корня
В книге Мартина Гарднера «Математические чудеса и тайны» (1970 г.)
описан фокус по быстрому извлечению кубического корня. Демонстрация
фокуса начинается с того, что кого-нибудь из присутствующих просят взять
любое число от 1 до 100, возвести его в куб и сообщить вслух результат.
После этого показывающий мгновенно называет кубический корень из
названного числа.
Для того чтобы показывать этот фокус, нужно сначала выучить кубы
чисел от 1 до 10:
1
2
3
—
3
3
—
4
3
—
5
3
—
6
3
—
7
3
—
8
3
—
9
3
—
10
3
—
1
8
27
64
125
216
348
512
729
1000
При изучении этой таблицы обнаруживается, что все цифры, на
которые оканчиваются кубы, различны, причем во всех случаях, за
исключением 2 и 3, а также 7 и 8, последняя цифра куба совпадает с числом,
возводимым в куб. В исключительных же случаях последняя цифра куба
равна разности между 10 и числом, возводимым в куб.
Покажем, как это обстоятельство используется для быстрого
извлечения кубического корня.
8
Извлечение арифметического корня нечетной степени
Пусть, при возведении некоторого числа в куб, получили, например,
74088.
Пример: найдем 74088 (ху)
3
= 74088
Может показаться странным, но для извлечения целочисленных корней
из степеней более высоких, чем третья, существуют более простые правила.
Особенно легко находить корни пятой степени, потому что любое число и
его пятая степень всегда оканчиваются одной и той же цифрой.
Шаги алгоритма
1.В желтом столбце находим
последнюю цифру числа. Цифра из
соответствующей строки белого
столбца и есть последняя цифра
искомого числа ху
2.Разбиваем число на группы по три
цифры справа налево (их количество
мы узнаем по показателю степени)
3.В столбце синего цвета находим
числа между которыми находится
остаток из шага 2
4.Цифра из соответствующей
строки белого столбца и есть первая
цифра искомого числа ху
5.Записываем ответ
По данному алгоритму находим арифметический корень нечетной
степени
9
Извлечение арифметического корня четной степени
Пример: найдем 8503056 (ху)
4
=8503056
Шаги алгоритма
Пример
1.Отбрасываем от числа последние
четыре цифры Разбиваем число на
группы справа на лево
850*3056
2.В столбце синего цвета находим
числа между которыми находится
остаток из шага 1
Выбираем наименьшее из
соответствующей строки белого цвета
это и есть первая цифра искомого
числа ху
850-остаток
850 находится между числами 625 и
1296
625
х=5
3.В желтом столбце находим
последнюю цифру числа они могут
встречаться два раза
(
,
)
6-последняя цифра в числе 8503056
Встречается на последнем месте в
числах 16, 256, 1296, 4096
4.В синем и зеленом столбцах
выбираем числа между которыми
находится остаток согласно рис. 1
В этом случае у не равен 6 и 8
850 ближе к 915, значит у=4 (если
число ближе к 625 то у=2)
5.Записываем ответ
=54
Если в шаге 4 число находилось бы между 915 и 1296, то необходимо было
отбрасывать 2 и 4, в случае когда остаток ближе к 915 необходимо выбирать
у=6, а в случае когда остаток ближе к 1296 необходимо выбрать у=8
По данному алгоритму находим арифметический корень четной степени
10
Таблица для вычисления арифметических корней 3-9 степени двузначных чисел
№
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
11
25
2
8
8
16
6
32
2
64
4
128
8
256
6
512
8
39
244
1525
3
27
7
81
1
243
3
729
9
2187
7
6561
1
19683
3
150
1838
22518
4
64
4
256
6
1024
4
4096
6
16384
4
65536
6
262144
4
410
8303
168150
5
125
5
625
5
3125
5
15625
5
78125
5
390625
5
1953125
5
915
27680
837330
6
216
6
1296
6
7776
6
46656
6
279936
6
1679616
6
10077696
6
1785
75418
3186400
7
343
3
2401
1
16807
7
117649
9
823543
3
5764801
1
40353607
7
3164
177978
10011000
8
512
2
4096
6
32768
8
262144
4
2097125
5
16777216
6
134217728
8
5220
377149
27249000
9
729
9
6561
1
59049
9
531441
1
4782969
9
43046721
1
397420489
9
8145
735091
66342000
10
1000
0
10000
0
100000
0
1000000
0
10000000
0
100000000
0
1000000000
0
11
Методика составления таблицы
№
5
625
50*50*50*50=6250000
вычеркиваем 4 цифры
начиная с конца
( количество вычеркнутых
цифр равно показателю
степени арифметического
корня)
5
последняя цифра из
соответствующей
строки в синем
столбце
915
55*55*55*55=9150625
6
1296
60*60*60*60=12960000
6
12
Заключение
Описанные в работе методы извлечения корней описаны во многих
источниках. Тем не менее, разобраться в них оказалось непростой задачей,
что вызвало немалый интерес. Представленные алгоритмы позволяют быстро
овладеть навыками вычисления арифметических корней 3-9 степени без
помощи калькулятора, что представляется нам актуальным ввиду
невозможности применения калькуляторов на ГИА.
Наша гипотеза подтвердилась, т.к. большую часть учащихся
заинтересовала данная работа, а для демонстрации и выполнения
математических фокусов необходимы навыки устного счета .
13
Библиография
1. Гарднер Мартин « Математические чудеса и тайны »
2. http://elementrick.ru/istoria-fokysov-illyziy/
3. http://article-factory.ru/fokusy/obuchenie-fokusam/745-fokusy.html
4. http://romanbook.ru/book/7154295/
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: