Ученики на Учителя.com


Презентация "Многоугольники на решетке. Формула Пика"

Скачать материал
Подписи к слайдам:
  • Многоугольники на решетке. Формула Пика.
  • Выполнила:Гирикова Александра
  • Ученица 9 В класса
  • Учитель: Милашова Надежда Юрьевна
  • верно ли, что площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге можно вычислить по формуле Пика?
  • Гипотеза:
  • Цель работы:
  • научиться вычислять площадь любого многоугольника на квадратной решетке с помощью формулы Пика и показать рациональность ее применения
  • Основные задачи
  • Изучить формулу Пика и биографию ученого;
  • Собрать информацию по теме;
  • Рассмотреть различные способы решения задач на нахождение площади многоугольника, изображенного на квадратной решетке;
  • Подобрать задачи на вычисление площади для подготовки к ОГЭ, которые можно решить по формуле Пика;
  • Приготовить презентацию работы и представить общественности.
В 1899 году австрийский математик Георг Пик обнаружил замечательную формулу для вычисления площади многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги.
  • Георг Алекса́ндр Пик ( 10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик, родился в еврейской семье.
  • Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.
  • Теорема Пика
  • Пусть В − число узлов решетки внутри многоугольника,
  • Г − количество узлов на его границе, S − его площадь.
  • Тогда справедлива формула Пика:
  • S = В + Г/2 – 1
  • Пример.
  • Для многоугольника на рисунке В = 13 (красные точки),
  • Г= 6 (синие точки), поэтому
  • S = 13 + 6/2 – 1 = 15 квадратных единиц.
  • 1см
  • Доказательство теоремы Пика
  • Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата. Действительно, в этом случае мы имеем В=0 и Г=4, то площадь квадрата равна 0+4/2-1=1
  • 1см
  • Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны а и b.
  • B=(a-1)(b-1), Г=2a+2b и, по формуле Пика,
  • S=(a-1)(b-1)+a+b-1=ab .
Задачи на нахождение площади многоугольника формула Пика Примеры заданий
  • Обозначим все внутренние целочисленные точки красными кружками, а те, что на границах – синими. Считаем те и другие: В=12, Г=4. Определим теперь площадь по формуле: S=В+Г/2-1=12+2-1=13.
Вычисление площади при помощи отрезания “лишнего”
  • Тогда площадь квадрата Sкв=36, площадь голубого треугольника 6, площадь зеленого – 2, площадь фиолетового 15.
  • Площадь белого треугольника тогда:
  • S=36-6-15-2=13.
Примеры заданий
  • S=В+Г/2-1=4+4-1=7
  • Расчет площади с
  • помощью разрезания фигуры
  • Проверим: площадь треугольников, составляющих фигуру: голубого – 4, зеленого – 1, оранжевого – 2. Сумма их площадей S=4+1+2=7
  • Задания ОГЭ
Основной вывод
  • Формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге
  • Спасибо за внимание!

Математика - еще материалы к урокам: