Подготовка к ОГЭ "Дробные рациональные уравнения"

Дробные рациональные уравнения для подготовки к ОГЭ Выполнила: Авдеева Л.Н. Защита по теме: Что такое дробно-рациональные уравнения 

• Дробно-рациональными уравнениями называют такие выражения, которые представляется возможным записать, как:
• При    и   в виде выражений, содержащих переменную.
• Таким образом, дробно-рациональные уравнения обязательно содержат как минимум одну дробь с переменной в знаменателе с любым модулем.
• Пример : Дробно-рациональные уравнения

Способы решения дробно-рациональных уравнений.

• Приведение дробей к общему знаменателю.
• Умножение дробей на общий знаменатель всех дробей.
• Введение новой переменной.
• Выделение из дробей целой части
• Метод группировки
• Графический.

Как решаются дробно-рациональные уравнения

• В процессе решения дробно-рациональных уравнений обязательным действием является определение области допустимых значений. Найденные корни следует проверить на допустимость, чтобы исключить посторонние решения.
Алгоритм действий при стандартном способе решения:
• Выписать и определить область допустимых значений.
• Найти общий знаменатель для дробей.
• Умножить каждый из членов выражения на полученный общий параметр (знаменатель), сократить дроби, которые получились в результате, чтобы исключить знаменатели.
• Записать уравнение со скобками.
• Раскрыть скобки для приведения подобных слагаемых.
• Найти корни полученного уравнения.
• Выполнить проверку корней в соответствии с областью допустимых значений.
• Записать ответ.

Пример   Разберем предложенный алгоритм на практическом примере. Предположим, что имеется дробно-рациональное уравнение, которое требуется решить:

•  

Выполним умножение каждого из членов выражения на общий знаменатель: После сокращения избавимся от скобок и приведем подобные слагаемые: Осталось решить квадратное уравнение: Согласно области допустимых значений, первый корень является лишним, так как не удовлетворяет условию, по которому корень не равен 2. Тогда в ответе можно записать: 3

Примеры задач с ответами для 9 класса

Задача 1

Требуется решить дробно-рациональное уравнение:

Решение

Проанализируем выражение

Определим область допустимых значений:

Квадратный трехчлен  следует разложить на множители, руководствуясь формулой:

Заметим, что общим знаменателем для дробей является:

 Умножим на этот знаменатель уравнение:

Сократим дроби, избавимся от скобок, приведем подобные слагаемые:

Потребуется решить квадратное уравнение:

Первый корень не удовлетворяет условиям ОДЗ, поэтому в ответ нужно записать только второй корень.

Ответ: 

=

5

=

Первый корень не удовлетворяет условиям ОДЗ, поэтому в ответ нужно записать только второй корень.

Ответ: 

=

Задача 2

Дано дробно-рациональное уравнение, корни которого требуется найти:

Решение

В первую очередь следует переместить все слагаемые влево и привести дроби к минимальному единому знаменателю.

множим на знаменатель.

Следует определить такие значения для переменной, при которых в дроби знаменатель будет обращаться в нуль.

Такие значения необходимо удалить из области допустимых значений переменной

Далее можно определить значения для переменных, которые при подстановке в уравнение обращают числитель в нуль:

Получилось квадратное уравнение, которое можно решить:

Сравнив корни с условиями области допустимых значений, можно сделать вывод, что оба корня

являются решениями данного уравнения.

Ответ: 5; -6

Задача 3

Нужно решить дробно-рациональное уравнение:

Решение:

На первом шаге следует перенести все слагаемые в одну сторону и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

Перечисленные значения переменной обращают знаменатель в нуль. По этой причине их необходимо удалить из области допустимых значений.

Корни квадратного уравнения:

Заметим, что второй корень не соответствует ОДЗ. Таким образом, в ответе остается только первый корень.

Ответ: -4

Задача 4

Найти корни уравнения:

Решение

Согласно стандартному алгоритму решения дробно-рациональных уравнений, выполним перенос всех слагаемых в одну сторону. Далее необходимо привести к дроби к наименьшему общему знаменателю:

Такое значение переменной, при котором знаменатель становится равным нулю, нужно исключить из области допустимых значений:

Получим уравнение:

Заметим, что это частный случай линейного уравнения, которое обладает бесконечным множеством корней. При подстановке какого-либо числа на место переменной  в любом случае числовое равенство будет справедливым. Единственным недопустимым значением  в данном задании является число 3, которое не входит в ОДЗ

Ответ : - любое число, за исключением 3.

Задача 5

Требуется вычислить корни дробно-рационального уравнения:

Решение

На первом этапе необходимо выполнить перенос всех слагаемых влево, привести дроби к минимальному единому знаменателю:

Данные значения переменной

являются недопустимыми, так как в этом случае теряется смысл дроби в связи с тем, что знаменатель принимает нулевое значение.

Числитель равен нулю:

Заметим, что 2 не входит в область допустимых значений. В связи с этим, можно заключить, что у уравнения отсутствуют корни.

Ответ: корни отсутствуют

Задача 6

Нужно найти корни уравнения:

Решение

Начнем с определения ОДЗ:

При умножении обеих частей уравнения на единый знаменатель всех дробей и сокращении аналогичных выражений, которые записаны в числителе и знаменателе, получим:

Прибегая к арифметическим преобразованиям, можно записать уравнение в упрощенной форме:

Для дальнейших действий следует определить, к какому виду относится полученное уравнение. В нашем случае уравнение является квадратным с коэффициентом при х , который равен 1. Таким образом, целесообразно воспользоваться теоремой Виета:

=

В этом случае подходящими являются числа: -2 и 5.

Второе значение не соответствует области допустимых значений.

Ответ: -2.

Более сложные уравнения:

7. Решить уравнение:

Решение.

Выпишем ОДЗ:

Решим каждое из этих неравенств:

Можем объединить эти неравенства в одно:

Перенесем все слагаемые в одну сторону :

Выполним сложение дробей - для этого разложим знаменатели на множители:

Приведем все дроби к общему знаменателю

Тогда:

Дробь равна 0, если числитель равен 0:

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получаем квадратное уравнение:

Найдем корни квадратного уравнения:

Корень не входит в ОДЗ.

Ответ: 3

Отметим, что для решения дробно- рациональных уравнений можно использовать разные способы.

Первый – это умножить обе части уравнения на некоторые выражения так, чтобы избавиться от дробей. Таким способом мы решили первые два примера с дробно - рациональными выражениями.

Второй способ – перенести все слагаемые в одну сторону, преобразовать выражение и приравнять числитель полученной дроби к нулю. Так мы решили последний пример. Вы можете выбрать тот способ, который Вам удобнее и понятнее. Главное в каждом из них – не забывать про область допустимых значений переменной .

:

Задание 8. Решить уравнение:

Решение:

Выпишем ОДЗ:

Решим эти неравенства:

Обратим внимание, что неизвестная 

присутствует в уравнении в похожих конструкциях,

которые являются взаимообратными выражениями. В таком случае можно применить метод замены переменной:

Тогда:

Исходное уравнение будет иметь вид:

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на  t, при этом  t , поскольку :

Получили квадратное уравнение, решениями которого являются:

Вернемся к замене:

Решаем первое уравнение:

Решаем второе уравнение:

Полученные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 1;

9. Решить уравнение:

Решение:

Выпишем ОДЗ:

В подобных уравнениях стандартной является замена:

Чтобы выразить 

 через  t , произведем следующие действия:

После замены исходное уравнение будет иметь вид:

Преобразуя это выражение, получаем квадратное уравнение:

Найдем корни уравнения:

Вернемся к замене:

Поскольку , можем умножить обе части каждого из уравнений на и получить квадратные уравнения:  

Первое уравнение имеет решения:

Оба решения удовлетворяют ОДЗ. Второе уравнение не имеет действительных корней.

Ответ:  0,5 ; 2

10. Решить уравнение 

Сначала в обеих частях уравнения выделим целую часть. Для этого в числителе каждой дроби выделим квадрат знаменателя и выполним почленное деление.

 

 

Дальнейшие преобразования состоят в получении в каждой части дроби с одинаковыми числителями. Для этого запишем уравнение в виде 

 или 

 Используем свойство пропорции и получим:

х(х2 + 3х + 2) = х(х2 + 7х + 12) или 0 = х(4х + 10).

Корни этого неполного квадратного уравнения x1 = 0 и х2 = -2,5 являются также решениями и данного уравнения.

Ответ: -2,5 ; 0

Достаточно часто встречаются рациональные уравнения, содержащие модули.

11. Решить уравнение 

Раскроем знаки модулей, рассмотрев три случая.

а) Если х ≤ 0, получаем уравнение 

 или -х - 3 = -х + 1. Это уравнение корней не имеет.

 

 или 

 (при этом х ≠ 1), или х - 3 = 1 - х. Корень этого уравнения х = 2 не входит в рассматриваемый промежуток и не является решением данного уравнения.

в) Если х ≥ 2, получаем уравнение 

 или 

 (при этом х ≠ 3). Имеем тождество. Поэтому решением этого уравнения являются промежутки

х ∈ [2; 3)U(3; +∞).

б) Если 0 < х < 2, получаем уравнение

Метод группировки

ОДЗ:

Сгруппируем первое выражение с последним, второе с третьим.

Ответ: 0;

Графический способ

Строим отдельно график и

у = 3х

0

х

у

1

1