Контрольно-измерительные материалы по теме "Первообразная и интеграл"
Контрольно-измерительные материалы по теме
Первообразная и интеграл.
Раздел №2. Первообразная и интеграл (14 часов)
1.
Первообразная и неопределенный интеграл
2.
Первообразная и неопределенный интеграл.
3.
Первообразная и неопределенный интеграл.
4.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
5.
Понятие определенного интеграла.
6.
Определенный интеграл, его вычисление и свойства.
7.
Определенный интеграл, его вычисление и свойства.
8.
Определенный интеграл, его вычисление и свойства.
9.
Определенный интеграл, его вычисление и свойства.
10.
Вычисление площадей плоских фигур.
11.
Вычисление площадей плоских фигур.
12.
Вычисление площадей плоских фигур.
13.
Вычисление площадей плоских фигур.
14.
Контрольная работа
Уметь:
• находить первообразные элементарных функций;
• пользоваться таблицей формул для отыскания первообразных;
пользоваться правилами отыскания первообразных;
• находить первообразную, проходящую через заданную точку;
вычислять неопределенные интегралы с помощью таблицы; вычислять
определенный интеграл;
• пользоваться правилами интегрирования;
• использовать формулу Ньютона-Лейбница;
• использовать формулу для вычисления площадей плоских фигур с
помощью определенного интеграла;
• вычислять площади криволинейных трапеций; вычислять площади
некоторых плоских фигур с использованием определенного интергала.
Знать:
• определение первообразной;
• таблицу формул для отыскания первообразных;
• правила отыскания первообразных;
• определение неопределенного интеграла;
• таблицу основных неопределенных интегралов;
• понятие определенного интеграла; правила интегрирования;
геометрический смысл определенного интеграла;
• формулу Ньютона-Лейбница;
• формулу для вычисления площадей плоских фигур с помощью
определенного интеграла.
Карточки задания текущего контроля знаний и умений освоения
общеобразовательной дисциплины «Математика»
Тема 3 Первообразная и неопределенный интеграл
№
Карточка 1
Ответ
1
Найдите функцию f(x), для которой
первообразной на
.
х
2
Найдите первообразную для функции f(x)=x
4
на
, график которой проходит через точку
М(-1;0,8)
№
Карточка 2
Ответ
1
Найдите общий вид первообразной для
на
2
Найдите функцию f(x), для которой
первообразной на
.
№
Карточка 3
Ответ
1
Найдите первообразную для функции f(x)=x
2
на
, график которой проходит через точку
М(-1;3)
2
Найдите общий вид первообразной для
№
Карточка 4
Ответ
1
Найдите функцию f(x), для которой
первообразной на
.
2
Найдите первообразную для функции f(x)=
на
, график которой проходит через точку
М(
;3).
№
Карточка 5
Ответ
1
Множество первообразных для функции
на
.
2
Найдите функцию f(x), для которой
первообразной на
.
Самостоятельная работа текущего контроля знаний и умений
освоения общеобразовательной дисциплины «Математика»
Тема 2 Первообразная и неопределенный интеграл.
I Вариант
Вычислите первообразные функций:
1) f(x) =
2
x
– cosx; 2) f(x) = -3;
3) f(x) =
4
5x
+
2
x
–
x
1
; 4) f(x) = (3x – 1)
2
;
II Вариант
Вычислите первообразные функций:
1) f(x) = 10 sinx; 2) f(x) = -2sin4x;
3) f(x) =
36
1
−x
. 4) f(x) =
6
7x
+
2
x
-10
3
x
Ответы:
I Вариант
1) F(x) =
3
3
x
– sinx + C; 2) F(x) = -3x + C;
3) F(x) =
x
x
x 2
3
3
5
−+
; 4) F(x) = (3x – 1)3/9 + C;
II Вариант
1) F(x) = -10cosx + C; 2) F(x) = ½ cos4x + C;
3) F(x) =
3
36 −x
+ C.
4) F(x) =
4
10
3
1
33
7
xx
x −+
Самостоятельная работа.
1 вариант
2 вариант
3 вариант
1. (1б)
1. (1б)
1. (1б)
2. (1б)
2. (1б)
2. (1б)
3. (1б)
3. (1б)
3. (1б)
4. (1б)
4. (1б)
4. (1б)
5. (2б)
5. (2б)
5. (2б)
6. (2б)
6. (2б)
6. (2б)
7. (2б)
7. (2б)
7. (2б)
8. (2б)
8. (2б)
8. (2б)
9. (2б)
9. (2б)
9. (2б)
10. (3б)
10. (3б)
10. (3б)
Ответы
1 вариант
2 вариант
3 вариант
1.
1.
1.
2.
2.
2.
3.
3.
3.
4.
4.
4.
5.
5.
5.
6.
6.
6.
7.
7.
7.
8.
8.
8.
9.
9.
9.
10.
10.
10.
xdx
dx
7
1
− dx)6(
dx
x
5
2
xdx
xdx
3
1
dxx
5
dxx
7
dxx
10
dxx
6
7
dx
dxx
5
5
dxx
10
11
+ dxx
3
)17(
− dxx
2
)12(
− dxx
4
)23(
xdx5sin10
xdx3cos3
− )2
3
(sin
4
2
x
dx
+ dxx
2
)15(3
− dxx
3
)65(4
− dxx
2
)92(7
3
x
dx
4
x
dx
−
dxx
7
dxx
4
3
dxx
3
dxx
7
− 75
5
x
dx
−
4
)78(
3
x
dx
dxx
−
3
2
)37(2
c
x
+
2
2
cx +
7
1
cx+− 6
c
x
+
10
2
c
x
+
4
2
c
x
+
6
2
c
x
+
6
6
c
x
+
8
8
c
x
+
11
11
cx +
7
c
x
+
30
6
cx +
11
cxx ++
2
2
7
c
x
+
−
6
)12(
3
c
x
+
−
−
10
)23(
5
cx +− 5cos2
cx +3sin
cxctg +− )2
3
(2
c
x
+
+
5
)15(
3
c
x
+
−
−
6
)65(
4
c
x
+
−
−
27
)92(7
3
c
x
+−
2
2
1
c
x
+−
3
3
1
cx +
−
6
6
1
cxx +
4
3
7
4
cxx +
3
4
3
cxx +
4
9
2
cx +− 752
c
x
+
−
3
)78(7
1
cxx +−−−
3
2
)37()37(
5
2
Тема 7 Определенный интеграл, его вычисление и свойства.
№
Вариант 1
Ответ
1
Найдите
2
Вычислите
3
Вычислите интеграл
4
Вычислите интеграл
1
№
Вариант 2
Ответ
1
Вычислите интеграл
2
Вычислите
3
Вычислите интеграл
4
Вычислите интеграл
Тест рубежного контроля знаний и умений освоения
общеобразовательной дисциплины «Математика»
Тема 10 Вычисление площадей плоских фигур
Вариант 1
А1. Выберите первообразную для функции
( ) 4 1fx х=−
.
1)
2
( ) 16Fx хx=−
2)
2
( ) 2Fx х=
3)
2
( ) 2 1Fx хx= − +
4)
2
( ) 16Fx х=
А2. Какая из данных функций не является первообразной для функции
( ) sin 2f x x=
?
1)
1
( ) cos2
2
F x x=−
2)
1
( ) 2 cos2
2
F x x=−
3)
( ) 2cos2F x x=−
4)
1
( ) 4 cos2
2
F x x=−
А3. Найдите общий вид первообразных для функции
( ) 5fx=−
.
1)
5xC−+
2)
5x−
3)
5 C−+
4)
5xC+
А4. Вычислите интеграл
0
cos xdx
. 1)
2)
0
3)
1
4)
2
А5. Вычислите интеграл
1
6
1
x dx
−
. 1)
2
7
2)
0
3)
1
7
4)
1
А6. Вычислите интеграл
2
2
1
24dx
x
. 1)
9
2)
7−
3)
8
4)
7
А7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
sin , 0, 0,у x y x x
= = = =
.
1)
2)
0
3)
1
4)
2
А8. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 1.
1)
2
3
2)
4
3
3)
1
4)
5
3
Рис. 1
А9. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 2.
1)
7
3
2)
10
3
3)
9
2
4)
7
2
Рис. 2
А10. Найдите площадь фигуры, изображенной на
рисунке 3.
1)
26
3
2)
25
3
3)
8
4)
29
3
Рис. 3
Вариант 2
А1. Выберите первообразную для функции
( ) 2fx х=−
.
1)
2
( ) 2 2Fx хх=−
2)
2
( ) 0,5 2 1Fx хх= − + +
3)
2
( ) 2Fx х=−
4)
2
( ) 0,5Fx х=−
А2. Какая из данных функций не является первообразной для функции
( ) cos3f x x=
?
1)
1
( ) 2 sin3
3
F x x=+
2)
1
( ) sin3
3
F x x=
3)
1
( ) 2 sin3
3
F x x=−
4)
1
( ) 4 sin3
3
F x x=+
А3. Найдите общий вид первообразных для функции
( ) 5fx=−
.
1)
5xC−+
2)
5x−
3)
5 C−+
4)
5xC+
А4. Вычислите интеграл
2
0
sin xdx
. 1)
2
2)
0
3)
1
4)
2
А5. Вычислите интеграл
0
5
1
x dx
−
. 1)
1
6
−
2)
5
6
3)
1
6
4)
1−
А6. Вычислите интеграл
2
3
1
16dx
x
. 1)
11
4
2)
15
4
3)
13
4
4)
17
4
А7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
cos , 0, 0,
2
у x y x x
= = = =
.
1)
2)
0
3)
1
4)
2
А8. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 1.
1)
5
3
2)
3
3)
7
2
4)
7
3
Рис.1
А9. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 2.
1)
7
3
2)
10
3
3)
7
2
4)
9
2
Рис. 2
А10. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 3.
1)
25
3
2)
26
3
3)
29
3
4)
8
Рис. 3
Ответы:
Вариант
А1
А2
А3
А4
А5
А6
А7
А8
А9
А10
1
3
3
1
2
1
4
4
2
3
1
2
2
3
3
4
1
2
3
4
4
2
Контроль по разделу знаний и умений освоения
общеобразовательной дисциплины «Математика» по разделу
Контрольная работа.
Вариант1
1. Для функции f(x) =
2
4
х
+ 3 sin x найдите какую-нибудь первообразную,
значение которой в точке х =
— отрицательное число.
2. Вычислите интегралы: a)
4
1
x
dx
; б)
4
0
2cos
xdx
;
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у=1- х
3
, у = 0 (ось
Ох), х = -1.
4. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой
xy
2
1
=
и линией
xy =
.
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 0,5х
2
+
2, касательной к этому графику в точке с абсциссой х = -2 и прямой х = 0.
6. Дана функция
1
3sin
cos
3
2
++= x
x
y
Известно, что график некоторой ее первообразной проходит через точку (0; -
1). Чему равно значение этой первообразной в точке
6
=x
?
Вариант2
1. Для функции f(x) =
2
1
х
- 2 cos x найдите какую-нибудь первообразную,
значение которой в точке
2
=x
— положительное число.
2. Вычислите интегралы: а)
27
0
3
2
x
dx
б)
2
3
2
2
sin
dx
x
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у=2- х
2
, у = 0 (ось
Ох), х = -1, х = 0.
4. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой
xy −= 2
, линией
xy =
и
осью абсцисс.
5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х
3
+ 2,
касательной к этому графику в точке с абсциссой х = 1 и прямой х = 0;
фигура расположена в правой координатной полуплоскости.
6. Дана функция
2
2cos
sin
3
2
−+= x
x
y
Известно, что график некоторой ее первообразной проходит через точку (
2
;
0). Чему равно значение этой первообразной в точке
4
=x
?
Ответы:
Задание№
Вариант 1
Вариант 2
1
Общая формула
0,3
4
+−= aгдеaC
при a = -1
4
4
−=
С
4
4
cos3
4
)( −+−−=
x
x
xF
Общая формула
0,2
2
++= aгдеaC
при a = 1
3
2
+=
С
3
2
sin2
1
)( ++−−=
x
x
xF
2
2; 0,5
9;
22
3
2
5/3
4
4/3
7/6
5
4/3
3/4
6
6
33−
-2
Контрольная работа по теме: Первообразная и интеграл.
1 Вариант.
1. Определите функцию, для которой F(x) = x
2
– sin2x – 1 является первообразной:
1) f(x) = ; 2) f(x) = 2x – 2cos2x; 3) f(x) = 2x + cos2x; 4) f(x) = cos2x +
x.
2. Найдите первообразную для функции. F (x) = 4х
3
+ cos x
1) F(x) = 12x
2
– sinx + c; 2) F(x) = 4x
3
+ sinx + c; 3) F(x) = x
4
– sinx + c; 4) F(x) = x
4
+ sinx +
c.
3. Для функции f(x) = х
2
найдите первообразную F, принимающую заданное значение в
заданной точке F (- 1) = 2
1) F(x) = ; 2) F(x) = 2x + ; 3) F(x) = – ; 4) F(x) = .
4. Точка движется по прямой так, что её скорость в момент времени t равна V (t) = t + t
2
.
Найдите путь, пройденный точкой за время от 1 до 3 сек, если скорость измеряется в м
/сек. 1) 18 м; 2) 12 м; 3) 17 м; 4) 20 м.
5. Вычислите 1) 6 ; 2) 6; 3) 2 ; 4) 3 .
6. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = – х
2
+ 3 и у = 0
1) 4 ; 2) 6 ; 3) 9 ; 4) 8 .
7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = и у = х
1) 2; 2) 1 ; 3) 2 ; 4) 1 .
8. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 2 – х
2
, касательной к
этому графику в его точке с абсциссой х = - 1 и прямой х = 0
1) 1 ; 2) 2 ; 3) ; 4) 1 .
xx
х
++ 2cos
3
3
2
1
2
1
3
3
+
х
3
1
2
3
3
+
х
3
1
2
3
1
2
3
3
+
х
3
1
2
3
3
−
х
3
1
3
1
6
0
2
cos
6
dx
x
3
3
3
3
3
3
3
х
2
1
3
1
3
2
3
2
3
2
3
1
3
1
3
1
9. Вычислите
10.
Найдите сумму абсцисс точек пересечения графиков функции у = (х – 1)(х + 2) и её
первообразной, если одна из этих точек находится на оси ординат.
2 Вариант.
1. Определите функцию, для которой F(x) = – cos - x
3
+ 4 является первообразной:
1) f(x) = - sin - 3x
2
;2) f(x) = sin - 3x
2
; 3)f(x) = - sin - 3x
2
; 4) f(x) = 2sin -3x
2
.
2. Найдите первообразную для функции f(x) = x
2
– sinx
1) F(x) = - cos x + c; 2) F(x) = 2x – cosx + c;3) F(x) = + cosx + c; 4) F(x) = + sinx +
c.
3. Для функции f(x) = 2x - 2 найдите первообразную F, график которой проходит через
точку А(2;1)
1) F(x) = - х
2
– 2х – 1; 2) F(x) = х
2
+ 2х + 2; 3) F(x) = 2х
2
– 2; 4) F(x) = х
2
– 2х + 1.
4. Точка движется по прямой так, что её скорость в момент времени t равна V (t) =3 + 0,2 t.
Найдите путь, пройденный точкой за время от 1 до 7 сек., если скорость измеряется в
м /сек
1) 22, 8 м; 2) 29 м; 3) 23 м; 4) 13 м.
5. Вычислите 1) ; 2) 3 - 3; 3) 0; 4) 3 - 3 .
6. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 2х
2
, у = 0, х = 2
1) 5 ; 2) 2 ; 3) 5 ; 4) 2 .
7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 5 – х
2
, у = 1
1) 16; 2) 5 ; 3) 11 ; 4) 10 .
8. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = – х
2
+ 3, касательной к
этому графику в его точке с абсциссой х = 1 и прямой х = 0.
1) 2 ; 2) ; 3) 2 ; 4) .
9. Вычислите
10. Найдите сумму абсцисс точек пересечения графиков функции у = (х – 3)(х + 2) и её
первообразной, если одна из этих точек находится на оси ординат.
4
2
4хdx
2
х
2
х
2
1
2
х
2
1
2
х
2
х
3
3
х
3
3
х
3
3
х
2
6
cos dx
x
2
13 −
3
3
3
2
3
1
3
1
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3
2
−
4
1
2
)6( dxхх
Математика - еще материалы к урокам:
- Проверочная работа "Таблица умножения и деления" 3 класс
- Математическая игра "Решай, смекай, играй"
- Математический диктант "Перпендикулярность прямых и плоскостей" 10 класс
- Контрольная работа № 4 "Площадь. Нахождение площадей треугольников и многоугольных фигур. Площади подобных фигур"
- Итоговая контрольная работа по математике 3 класс за первое полугодие
- Презентация "Связь между суммой и слагаемыми" 1 класс УМК «Школа России»
