Задание 16 ЕГЭ по математике базовый уровень

Задание 16 ЕГЭ по математике базовый уровень Составила: Бушкова М. Г. учитель математики МОУ Школа с. Белоярск Содержание:

• Куб (слайды 3-6)
• Прямоугольный параллелепипед (слайды 7-28)
• Призма (слайды 29-45)
• Пирамида (слайды 46-62)
• Цилиндр (слайды 63- 74)
• Конус (слайды 75-91)
• Шар (слайды 92 – 99)

Диагональ куба равна . Найдите его объем.

Решение.

Диагональ куба в  раз больше его ребра. Получим, что ребро равно

a = 2.

Тогда объем куба V = = .

Ответ: 8.

 

Справка:

Объем куба V =

Диагональ куба d = a

 

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем куба, если все его рёбра уве­ли­чить в 5 раз? Решение. = 5. Тогда = = = = 125. Ответ: 125

•  

Справка:

На вопрос «Во сколько раз…»

отвечают делением

большей величины на меньшую

Ящик, име­ю­щий форму куба с реб­ром 30 см без одной грани, нужно по­кра­сить со всех сто­рон снаружи. Най­ди­те пло­щадь поверхности, ко­то­рую не­об­хо­ди­мо покрасить. Ответ дайте в квад­рат­ных сантиметрах.

• Решение.
Поверхность, которую необходимо покрасить, состоит из пяти одинаковых граней. Площадь одной грани . Следовательно, площадь, которую необходимо покрасить S = 5 = 5 = 54500().
• Ответ: 4500

•  

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Решение.

Площадь поверхности параллелепипеда

S = 2ab + 2ac + 2bc = 2(ab + ac + bc)

Выразим с:

ab + ac + bc =

ac + bc = - ab

c(a + b) =

c = = = = = 5.

Ответ: 5

 

Два ребра пря­мо­уголь­но­го параллелепипеда, вы­хо­дя­щие из одной вершины, равны 1, 2. Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 16. Най­ди­те его диагональ.

• Пусть длина тре­тье­го ребра, ис­хо­дя­ще­го из той же вершины, равна х, тогда пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да даётся фор­му­лой
S = 2(12 + 1x + 2x) = 6x + 4.
• По усло­вию площадь по­верх­но­сти равна 16, тогда  6x + 4 = 16, от­ку­да x = 2.
• Длина диа­го­на­ли прямоугольного па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна квад­рат­но­му корню из суммы квад­ра­тов его измерений, по­это­му d =
• Ответ: 3

•  

Справка:

длина диагонали прямоугольного параллелепипеда

d =

 

Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности. Решение. Ребра этого параллелепипеда равны диагонали сферы, то есть данный параллелепипед является кубом с ребром 2. Площадь поверхности куба S = 6 = 6 = 24. Ответ: 24.

•  

Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда. Решение. Объем прямоугольного параллелепипеда равен V = Sh, где S – площадь грани, а h — высота перпендикулярного к ней ребра. Имеем V = 12 Ответ: 48.

•  

Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру Решение. Объем прямоугольного параллелепипеда равен V = Sh, где S – площадь грани, а h — высота перпендикулярного к ней ребра. Тогда S = = = 8 Ответ: 8.

•  

Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани. Решение. Объем прямоугольного параллелепипеда равен V = Sh, где S – площадь грани, а h — высота перпендикулярного к ней ребра. Тогда h = = = 5 Ответ: 5.

•  

Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба. Решение. Объем куба V = равен объему прямоугольного параллелепипеда V = 469 = 216. = 216, следовательно, a = = 6. Ответ: 6

•  

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда. Решение Длина диагонали параллелепипеда равна d = = = 6. 20 + = 36 с = Объем прямоугольного параллелепипеда V = 244 = 32. Ответ: 32.

•  

Справка:

Объем прямоугольного параллелепипеда V=abc

Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда

d =

 

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ. Решение с = = = 6 d = = = 7. Ответ: 7.

•  

Справка:

Объем прямоугольного параллелепипеда V=abc

Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда

d =

 

Диа­го­наль прямоугольного па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна  и об­ра­зу­ет углы и  с плос­ко­стя­ми граней параллелепипеда. Най­ди­те объем параллелепипеда.

Справка:

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость

Решение:

Ребро a лежит в прямоугольном треугольнике с углом

a=

Аналогично, b = .

Ребро с лежит в прямоугольном равнобедренном треугольнике:

с = =

Объем прямоугольного параллелепипеда V = abc =

Ответ: 4

 

a

b

c

Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите его площадь поверхности. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме попарных произведений его измерений S = 2(ab + ac + bc) S = 2(12 + 13+ 23) = 22 Ответ: 22

•  

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Решение:

Найдем ребро с.

Диагональ параллелепипеда

d = =

По условию задачи d = 6.

Тогда = 36.

Откуда c = 4.

Площадь поверхности параллелепипеда

S = 2(ab + ac + bc) = 2(24 + 24 + 44) = 64.

Ответ: 64

 

Найдите угол AB  пря­мо­уголь­но­го параллелепипеда, для ко­то­ро­го AB =5, AD = 4, A  = 3. Дайте ответ в градусах. В пря­мо­уголь­ни­ке D от­ре­зок  яв­ля­ет­ся диагональю,  = AD. По тео­ре­ме Пифагора = = = 5. В AB = AЗначит, его острые углы равны по . Ответ: 45.

•  

Найдите угол пря­мо­уголь­но­го параллелепипеда, для ко­то­ро­го AB=4, AD=3, =5. Дайте ответ в градусах. Решение. Найдем DB из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: DB = Рассмотрим пря­мо­уголь­ный треугольник  Так как DB== , то тре­уголь­ник  яв­ля­ет­ся равнобедренным, значит, углы при его ос­но­ва­нии равны по . Ответ: 45

•  

В пря­мо­уголь­ном параллелепипеде  ABCD, известно, что , CD = 2, AD = 2. Най­ди­те длину ребра  Решение. Найдем диа­го­наль BD пря­мо­уголь­ни­ка ABCD по тео­ре­ме Пифагора: BD = = Рассмотрим пря­мо­уголь­ный треугольник . По тео­ре­ме Пифагора = 1 Ответ: 1.

•  

В пря­мо­уголь­ном параллелепипеде ABCD  ребро AB = 2, ребро AD = , ребро . Точка  K— се­ре­ди­на ребра  Най­ди­те площадь сечения, про­хо­дя­ще­го через точки  и K. Решение. Сечение пе­ре­се­ка­ет параллельные грани по па­рал­лель­ным отрезкам. По­это­му четырехугольник  — параллелограмм. Кроме того, ребро  пер­пен­ди­ку­ляр­но граням  и , по­это­му углы  и  — прямые. Следовательно, се­че­ние  — прямоугольник. Из пря­мо­уголь­но­го треугольника  по тео­ре­ме Пифагора най­дем  = = Тогда пло­щадь прямоугольника  равна: = 5. Ответ: 5.

•  

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDребро BC = 4, ребро AB = 2 ребро = 4. Точка K — се­ре­ди­на ребра . Най­ди­те пло­щадь сечения, про­хо­дя­ще­го через точки , и K. Решение. Сечение пе­ре­се­ка­ет параллельные грани по па­рал­лель­ным отрезкам. По­это­му — параллелограмм. Кроме того, ребро  пер­пен­ди­ку­ляр­но граням  и , по­это­му углы  и  — прямые. Следовательно, се­че­ние  — прямоугольник. Из пря­мо­уголь­но­го треугольника  по тео­ре­ме Пифагора най­дем  = . Тогда пло­щадь прямоугольника  равна: = 20 Ответ:20.

•  

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­ны длины рёбер: AB = 3, AD = = 5, = 12. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки A, B и Решение. Се­че­ние пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные грани по па­рал­лель­ным отрезкам. По­это­му се­че­ние AB — параллелограмм. Кроме того, ребро AB пер­пен­ди­ку­ляр­но гра­ням  и . По­это­му углы   — прямые. По­это­му се­че­ние — прямоугольник. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  най­дем  = = Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка  равна: AB Ответ:39.

•  

В пря­мо­уголь­ном параллелепипеде ABCD из­вест­ны длины рёбер: AB = 24, AD = 10, . Най­ди­те площадь сечения, про­хо­дя­ще­го через вер­ши­ны A , Решение. Сечение пе­ре­се­ка­ет параллельные грани по па­рал­лель­ным отрезкам. По­это­му сечение  − параллелограмм. Кроме того, ребро  пер­пен­ди­ку­ляр­но граням ABCD и . По­это­му углы  и  − прямые. Поэтому се­че­ние  — прямоугольник. Из пря­мо­уголь­но­го треугольника  ABC най­дем AC: AC = = Тогда пло­щадь прямоугольника  равна: Ответ:572.

•  

Два ребра пря­мо­уголь­но­го параллелепипеда равны 7 и 4, а объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 140. Най­ди­те площадь по­верх­но­сти этого параллелепипеда.

Решение.

V = abc

c = = = 5

Площадь поверхности параллелепипеда

S = 2(ab + ac + bc) = 2(74 + 75 + 45) = 166

Ответ: 166

 

В пря­мо­уголь­ном параллелепипеде ABCD рёбра AB, BC и диа­го­наль боковой сто­ро­ны равны со­от­вет­ствен­но 7, 3 и 3 Най­ди­те объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCD. Решение. C помощью теоремы Пифагора найдём : = = V = 736 = 126 Ответ: 126

•  

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Объем прямой призмы равен V = h

В основании лежит прямоугольный треугольник, следовательно,

=

V = = 120

Ответ: 120

 

Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом . Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в  и равно 2. Найдите объем параллелепипеда. Решение. Объем параллелепипеда V = Sh = SL, где S – площадь одной из граней, а  L– длина ребра, составляющего с этой гранью угол . Площадь ромба с острым углом в  равна двум площадям равностороннего треугольника. Вычислим объем: V = = Ответ: 1,5

•  

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABC сто­ро­ны ос­но­ва­ний равны 2, бо­ко­вые рёбра равны 5. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны рёбер AB, AC, и . Решение. Противоположные сто­ро­ны се­че­ния яв­ля­ют­ся со­от­вет­ствен­но сред­ни­ми линиями треугольников, ле­жа­щих в основании, и прямоугольников, яв­ля­ю­щих­ся бо­ко­вы­ми гра­ня­ми призмы. Тем самым, се­че­ние пред­став­ля­ет собой пря­мо­уголь­ник со сто­ро­на­ми 1 и 5, пло­щадь ко­то­ро­го равна 5. Ответ: 5. В пра­виль­ной четырёхугольной приз­ме ABCD ребро равно 15, а диа­го­наль равна 17. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плоскостью, про­хо­дя­щей через точки A, и C. Решение. Диагональное се­че­ние пря­мой приз­мы — пря­мо­уголь­ник. Диа­го­на­ли пра­виль­ной четырёхугольной приз­мы равны:  По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра получаем: AC = = Тем самым, для ис­ко­мой пло­ща­ди се­че­ния имеем  Ответ: 120.

•  

Найдите объём многогранника, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы  пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 9, а бо­ко­вое ребро равно 8.

Решение.

Требуется найти объём пирамиды, ос­но­ва­ние и вы­со­та ко­то­рой сов­па­да­ют

с ос­но­ва­ни­ем и вы­со­той дан­ной тре­уголь­ной призмы.

Поэтому =



Ответ: 24.

 

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, а гипотенуза равна Найдите объём призмы, если её высота равна 3.

• Решение.
• По теореме Пифагора найдем второй катет:
• b = = 7.
• Площадь основания призмы: .
• Объем призмы: V = 73 = 21.
• Ответ: 21.

•  

Найдите объем пра­виль­ной шестиугольной призмы, сто­ро­ны основания ко­то­рой равны 1, а бо­ко­вые ребра равны . Решение. Объем пря­мой призмы равен V = Sh, где S — пло­щадь основания, а h — бо­ко­вое ребро. Пло­щадь правильного ше­сти­уголь­ни­ка со сто­ро­ной a, ле­жа­ще­го в основании, за­да­ет­ся формулой S = = = Тогда объем приз­мы равен V = Sh = = 4,5 Ответ: 4,5

•  

В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками A и . Решение. Рассмотрим пря­мо­уголь­ный треугольник  По тео­ре­ме Пифагора Угол между сто­ро­на­ми правильного ше­сти­уголь­ни­ка равен  В о тео­ре­ме косинусов = = 2. Ответ: 2.

•  

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме  все ребра равны 1. Най­ди­те тан­генс угла  Решение. Рассмотрим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник  катет ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся боль­шей диа­го­на­лью основания. Длина боль­шей диа­го­на­ли пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равна его удво­ен­ной стороне: AD = 2. По­сколь­ку  имеем: = = 2. Ответ: 2.

•  

В пра­виль­ной шестиугольной приз­ме  все ребра равны 1. Най­ди­те угол . Ответ дайте в градусах. Решение. Рассмотрим пря­мо­уголь­ный треугольник : tg В пра­виль­ном шестиугольнике углы между сто­ро­на­ми равны , тогда по тео­ре­ме косинусов для тре­уголь­ни­ка АВС имеем: AC = = tg = . Так как угол острый, то его величина равна Ответ: 60.

•  

В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 10 и отстоит от других боковых ребер на 6 и 8. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы. Решение. Для вычисления площади боковой поверхности призмы воспользуемся формулой = 𝒍 где  – длина бокового ребра, а  – периметр перпендикулярного сечения призмы. В сечении – прямоугольный треугольник. Гипотенуза равна 10 (находим по теореме Пифагора). Тогда = 6+8 + 10 = 24. . Ответ: 240

•  

Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 24, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

• Площадь боковых граней отсеченной призмы вдвое меньше соответствующих площадей боковых граней исходной призмы. Поэтому площадь боковой поверхности отсеченной призмы вдвое меньше площади боковой поверхности исходной.
• Ответ: 12.

Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны 2 и наклонены к плоскости основания под углом . Решение. Объем призмы V = Sh = SL, где S – площадь основания, а L – длина ребра, составляющего с основанием угол . Площадь правильного шестиугольника со стороной a равна S = Тогда объем призмы V = Ответ: 18.

•  

Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Решение. Высота призмы равна высоте цилиндра, а сторона ее основания равна диаметру цилиндра. Тогда площадь боковой поверхности S = 4(2rH) = 4 Ответ: 8.

•  

 

 

 

Найдите пло­щадь боковой по­верх­но­сти правильной тре­уголь­ной призмы, опи­сан­ной около цилиндра, ра­ди­ус основания ко­то­ро­го равен , а вы­со­та равна 2. Решение. Сторона пра­виль­но­го треугольника a вы­ра­жа­ет­ся через ра­ди­ус r впи­сан­ной в него окруж­но­сти как a = 2r. Тогда пло­щадь боковой по­верх­но­сти призмы вы­ра­жа­ет­ся формулой S = 3Ha=6 = 36 Ответ: 36.

•  

Най­ди­те площадь бо­ко­вой поверхности пра­виль­ной треугольной призмы, впи­сан­ной в цилиндр, ра­ди­ус основания ко­то­ро­го равен 2, а вы­со­та равна 2. Решение. Сторона пра­виль­но­го треугольника вы­ра­жа­ет­ся через ра­ди­ус описанной окруж­но­сти как a = r = 2 = 6. Пло­щадь боковой по­верх­но­сти призмы тогда равна = Ph = 3ah = 362 = 36 Ответ: 36.

•  

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2. Решение. Сторона правильного шестиугольника  выражается через радиус  вписанной в него окружности как a = . Тогда площадь боковой поверхности призмы выражается формулой S = 6Ha = Hr = 12 Ответ: 24.

•  

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Решение.

Площадь пирамиды равна

S = = .

Площадь боковой грани S =

Высоту h найдем по теореме Пифагора:

h= .

S = = 100 + 240 = 340.

Ответ: 340

 

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. Решение. Площадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной пи­ра­ми­ды равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния на апофему. Апофему найдем по теореме Пифагора как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого — боковое ребро, а другой катет — половина стороны основания: h= = 12. Тогда площадь боковой поверхности: S = =10612 = 360. Ответ: 360

•  

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды. Решение. Объем пирамиды равен V = Тогда h = = 12. h = = 4 Ответ: 4

•  

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна . Решение. Объем пирамиды равен V = . Площадь равностороннего треугольника равна = . Тогда 1 = V = = 0,25 Ответ: 0,25

•  

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем. Решение. В ос­но­ва­нии правильной че­ты­рех­уголь­ной пирамиды лежит квадрат. Пусть его центр — точка О, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра находим: ОС = = 8 Тогда длина диа­го­нали ос­но­ва­ния равна 16. Пло­щадь квадрата равна по­ло­ви­не произведения его диагоналей: = 128 Следовательно, для объ­е­ма пи­ра­ми­ды имеем: V = = 256 Ответ: 256.

•  

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды. Решение. Поскольку боковые грани SAB, SBC, SDC  наклонены к основанию под углом , углы A и D в треугольнике ASD  и угол G  в треугольнике SHG равны  Поэтому треугольник  ASD— равносторонний, а его сторона связана с высотой формулой AD = SH = = 4  Из прямоугольного треугольника SHG находим: HG = SHctgG = 6 = 6 = 2 Поскольку основание — прямоугольник, его площадь равна произведения сторон: = 24 Осталось найти объём пирамиды: V = = 48 Ответ: 48

•  

Боковые ребра тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды вза­им­но перпендикулярны, каж­дое из них равно 3. Най­ди­те объем пирамиды. Решение. Удобно счи­тать треугольник ASB ос­но­ва­ни­ем пирамиды, от­ре­зок SC будет яв­лять­ся её высотой. Заметим, что 33 =4,5 По­сколь­ку SC = 3, далее имеем: V = = 4,5 Ответ: 4,5.

•  

Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

• Решение.
• При одинаковой площади основания большим объемом будет обладать та часть, высота которой больше, то есть нижняя. Объем данной пирамиды относится к объему исходной как  и поэтому равен 10.
• Ответ: 10.

•  

Най­ди­те площадь по­верх­но­сти правильной че­ты­рех­уголь­ной пирамиды, сто­ро­ны основания ко­то­рой равны 6 и вы­со­та равна 4. Решение. Площадь по­верх­но­сти складывается из пло­ща­ди основания и пло­ща­ди четырех бо­ко­вых граней: S = . Высоту треугольника найдем по тео­ре­ме Пифагора: = = 5 Тогда пло­щадь поверхности пирамиды: S = + 45 = 36 + 60 = 96. Ответ: 96.

•  

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды. Решение. V = = = 50. Сторона квадрата a = = = 5 Диагональ квадрата d = a = 5 = . SA = = 13. Ответ: 13

•  

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды. Решение. V = = 6 В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности, следовательно треугольники – равносторонние. Высота треугольника: = . Тогда = 6 Высота пирамиды h = = 2. V = 62 = 12 Ответ: 12

•  

Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45. Найдите объем пирамиды. Ответ: 48 Решение. Вершина правильной пирамиды проецируется в центр ее основания. В правильном шестиугольнике со стороной a расстояние от его центра до стороны равно радиусу вписанной окружности, который равен . Так как угол между боковой гранью и основанием равен 45°, высота пирамиды также равна h = 2 Тогда имеем: V = 6 = 48. Ответ: 48.

•  

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точка O — центр основания,  S - вершина, SO = 4, AC = 6. Най­ди­те бо­ко­вое ребро SC. Решение. Рассмотрим тре­уголь­ник SOC. Он прямоугольный, т. к.  SO— высота, она пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию ABCD, а значит, и пря­мой AC. Тогда по тео­ре­ме Пифагора SC = = Ответ: 5.

•  

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точка O — центр основания, S - вершина, SO = 4, SC = 5. Най­ди­те длину от­рез­ка AC. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SA равно 5, сторона основания равна 3. Найдите объём пирамиды. Решение. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, вершина пирамиды проецируется в его центр О. AO = = 3. Из прямоугольного треугольника AOS найдем SO: SO = = = 4 Тогда V = Ответ: 24

•  

O

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де все рёбра равны 1. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны бо­ко­вых рёбер. Каж­дая из сто­рон се­че­ния яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей бо­ко­вой грани. По­это­му сто­ро­ны се­че­ния об­ра­зу­ют квад­рат со сто­ро­ной 0,5, пло­щадь ко­то­ро­го равна 0,25. Ответ: 0,25 В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. Решение. По теореме Пифагора длина гипотенузы треугольника в основании  Поскольку гипотенуза является диаметром основания описанного цилиндра, радиус цилиндра r = 5. Тогда V = = = 125. Ответ: 125

•  

В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. Решение. Диагональ квадрата в основании призмы является диаметром описанного вокруг призмы цилиндра. d= a = 2, следовательно, r = . Тогда его объем: V = h = = 4. Ответ: 4

•  

Площадь осевого сечения цилиндра равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на . Решение. Площадь осевого сечения цилиндра равна = 4 Площадь боковой поверхности = 2 = = = 4. Ответ: 4

•  

Най­ди­те объем V части цилиндра, изоб­ра­жен­ной на рисунке. В от­ве­те укажите  Решение. Объем дан­ной части ци­лин­дра равен = = h = = 45. Ответ: 45

•  

Най­ди­те объем V части цилиндра, изоб­ра­жен­ной на рисунке. В от­ве­те укажите  Решение. Объем дан­ной части ци­лин­дра равен = = h = = 3,75. Ответ: 3,75

•  

Най­ди­те объем V части цилиндра, изоб­ра­жен­ной на рисунке. В от­ве­те укажите  Решение. Най­ди­те объем V части цилиндра, изоб­ра­жен­ной на рисунке. В от­ве­те укажите  Решение.

Объем данной фигуры равен

сумме объемов цилиндра с радиусом основания 2 и высотой 3

и половины цилиндра с тем же радиусом основания и высотой 1:

V =() = ) = 14

= 14

Ответ: 14

 

Най­ди­те объем V части цилиндра, изоб­ра­жен­ной на рисунке. В от­ве­те укажите  Решение. Объем дан­ной фигуры равен раз­но­сти объемов ци­лин­дра с ра­ди­у­сом основания 5 и вы­со­той 5 и ци­лин­дра с той же вы­со­той и ра­ди­у­сом основани 2: V = = = 105 Ответ: 105

•  

Даны два цилиндра. Ра­ди­ус основания и вы­со­та первого равны со­от­вет­ствен­но 2 и 6, а вто­ро­го — 6 и 7. Во сколь­ко раз объём вто­ро­го цилиндра боль­ше объёма первого? Решение. = = = 10,5 Ответ: 10,5

•  

Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 19. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояния, равное 9. Найдите площадь этого сечения. Решение. = 19 AB = 2AK AK найдем из AK = = 12 AB = 22 = 24 Тогда = 19 Ответ: 456

•  

 

Радиус ос­но­ва­ния цилиндра равен 26, а его об­ра­зу­ю­щая равна 9. Сечение, па­рал­лель­ное оси цилиндра, уда­ле­но от неё на расстояние, рав­ное 24. Най­ди­те площадь этого сечения. Ответ: 180 Вода в со­су­де ци­лин­дри­че­ской формы на­хо­дит­ся на уров­не h = 80 см. На каком уров­не ока­жет­ся вода, если её пе­ре­лить в дру­гой ци­лин­дри­че­ский сосуд, у ко­то­ро­го ра­ди­ус ос­но­ва­ния вдвое больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах.

• Решение.
• Объём воды по усло­вию не из­ме­нен и вы­чис­ля­ет­ся по формуле:
• V = h
• Таким образом, если ра­ди­ус основания уве­ли­чит­ся вдвое, то при не­из­мен­ном объёме вы­со­та уменьшится в 4 раза
• h : 4 = 80 : 4 = 20.
• Ответ: 20

•  

Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом . В ответе укажите . Решение Объем конуса равен V = Sh, где  S– площадь основания, а  h– высота конуса. Высоту конуса найдем по свойству стороны прямоугольного треугольника, находящейся напротив угла в  – она вдвое меньше гипотенузы, которой в данном случае является образующая конуса: h = 2:2 = 1. Радиус основания найдем по теореме Пифагора: r= . Тогда объем V =  = 1 Ответ: 1.

•  

Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на . Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.

• В треугольнике, образованном радиусом основания r, высотой h и образующей конуса l, углы при образующей равны, поэтому высота конуса равна радиусу его основания: h = r.
• Тогда объем конуса, деленный на  вычисляется следующим образом:
• = = = = 9.
Ответ:9.

•  

Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника  вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на . Треугольник АВС – так же равнобедренный, т.к. углы при основании АВ = . Тогда радиус основания равен 6, и объем конуса, деленный на : = = = = 72. Ответ: 72.

•  

Конус опи­сан около пра­виль­ной четырехугольной пи­ра­ми­ды со сто­ро­ной основания 4 и вы­со­той 6. Най­ди­те его объем, де­лен­ный на .

Решение.

Радиус ос­но­ва­ния конуса  r равен по­ло­ви­не диагонали квад­ра­та АВСД:

r = .

Тогда объем конуса, де­лен­ный на :

= = = 16.

Ответ: 16.



 

Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Площадь боковой поверхности конуса равна S = = Cl, где C – длина окружности основания, а  l– образующая. Тогда S = Ответ: 3.

•  

Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на .

• Площадь поверхности складывается из площади основания и площади боковой поверхности:
• Cl =
• Радиус основания найдем по теореме Пифагора для треугольника, образованного высотой, образующей и
радиусом: r = = 8. Тогда площадь поверхности S = + l =
• Ответ: 144.

•  

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах

Площадь основания конуса равна , а площадь боковой поверхности .

Из условия имеем:

= 2

=

= 2r

Значит, в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, образующей и радиусом основания конуса, катет, равный радиусу, вдвое меньше гипотенузы. Тогда он лежит напротив угла 30°. Следовательно, угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°.

Ответ: 60.

 

Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/.

Объем данной части конуса равен

=



Ответ: 87,75.

 

Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/. Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса. Запишем формулу для объёма шара: = 28. Объём конуса в 4 раза меньше: = 7. Ответ: 7.

•  

Площадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 16π, вы­со­та — 6. Най­ди­те пло­щадь осе­во­го се­че­ния конуса. Осевым се­че­ни­ем ко­ну­са яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный треугольник, вы­со­та ко­то­ро­го сов­па­да­ет с вы­со­той конуса, а ос­но­ва­ние яв­ля­ет­ся диа­мет­ром ос­но­ва­ния конуса. По­это­му пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния вы­со­ты ко­ну­са на диа­метр его ос­но­ва­ния или про­из­ве­де­нию вы­со­ты ко­ну­са на ра­ди­ус ос­но­ва­ния R. По­сколь­ку по усло­вию  ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 4, а тогда ис­ко­мая пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна 24.

• Ответ: 24.

•  

Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 18. Плос­кость, па­рал­лель­ная плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, делит его вы­со­ту на от­рез­ки дли­ной 3 и 6, счи­тая от вер­ши­ны. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния ко­ну­са этой плос­ко­стью. Сечение плоскостью, па­рал­лель­ной основанию, пред­став­ля­ет собой круг, ра­ди­ус ко­то­ро­го от­но­сит­ся к ра­ди­у­су ос­но­ва­ния ко­ну­са как 3 : 9. Пло­ща­ди по­доб­ных фигур от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та подобия, по­это­му пло­щадь се­че­ния в 9 раз мень­ше пло­ща­ди основания. Тем самым, она равна 2. Ответ: 2 Цилиндр и конус имеют общие ос­но­ва­ние и высоту. Вы­со­та ци­лин­дра равна ра­ди­у­су основания. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 3. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти конуса. Заметим, что конус и ци­линдр имеют общую вы­со­ту и рав­ные ра­ди­у­сы основания. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна , откуда, учитывая, что h = r  получаем: 2 или Образующая ко­ну­са l, его вы­со­та h и ра­ди­ус ос­но­ва­ния r  свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем = откуда, учитывая, что h = r, получаем: = 2 или l = r Площадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна  следовательно: =  = 3. Ответ: 3.

•  

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны, соответственно, 2 и 4, а второго — 6 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого?

Найдём площадь боковой поверхности первого конуса:

=

Найдём площадь боковой поверхности второго конуса:

Найдём отношение площадей этих конусов:

= 6.

Ответ: 6

 

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём сосуда 1600 мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

• Ответ: 200.

Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов. Объём шара вычисляется по формуле V = . Поэтому cумма объёмов трёх шаров равна Следовательно, искомый радиус равен 12. Ответ: 12.

•  

В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на Радиус вписанного в куб шара равен половине длины ребра: r = = Тогда объем шара V = = Ответ: 4,5.

•  

Около куба с ребром описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на Пусть длина ребра куба равна а, а его диагональ равна d. Радиус описанного шара R равен половине диагонали куба: R = = = . Поэтому объем шара равен V = = = Тогда = Ответ: 4,5.

•  

Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей. Из условия S = найдем: = = . Следовательно, радиус такого шара: R = = 10. Ответ: 10.

•  

Объем шара равен 288 . Найдите площадь его поверхности, деленную на . Объем шара радиуса V вычисляется по формуле V = , откуда R = = = 6. Площадь его поверхности: S = 4 =4𝜋 = 144 . Ответ: 144.

•  

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара. = = 4 = 4 Ответ: 24.

•  

Куб вписан в шар радиуса . Найдите объем куба. Диаметр шара, описанного вокруг куба, совпадает с его диагональю и вдвое больше радиуса. Поэтому диагональ куба равна 2 . Если ребро куба равно a, то диагональ куба дается формулой d = a. Следовательно, ребро куба равно 2, а его объем равен 8. Ответ: 8.

•  

Даны два шара с радиусами 5 и 1. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго? Площади шаров относятся как квадраты их радиусов, следовательно, площадь второго шара в больше площади первого. Ответ: 25.

•  

Использованные Интернет-ресурсы: Сайт: Сдам ГИА: Решу ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам . Математика базового уровня.