Ученики на Учителя.com


Школьная олимпиада по математике 11 класс

Школьная олимпиада по математике
2017-18 учебный год,
11 класс
1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
f(x) = x
3
- x
2
- x - 2 на отрезке [-2;2]
2. Постройте график функции у =
32cos2cos432cos2sin4
44
++++− xxxx
3. На координатной плоскости задан четырехугольник с вершинами в точках
(0;6), (8;12), (11;8) и (3;2). Вычислите площади фигур, на которые
разбивает его прямая, заданная уравнением х + 7у – 67 = 0.
4. Определите а так, чтобы сумма квадратов корней уравнения
x
2
+ 2(2-а)x - а -3 =0 была наименьшей?
5. Четыре одинаковые банки с четырьмя разными красками наполнены на три
четверти. Имеется возможность переливать любую жидкость из одной
банки в другую. Можно ли во всех банках сделать одинаковую смесь?
(Другой посуды нет и выливать краску нельзя.)
Ответы и решения.
1. Наибольшее значение равно
27
5
2
, наименьшее равно 1.
2. у =
32cos2cos432cos2sin4
44
++++− xxxx
,
у =
1cos4cos43sin42sin4
2424
+++++− xxxx
,
у =
1cos4cos41sin4sin4
2424
+++++ xxxx
,
у = 2sin
2
x + 1 +2cos
2
x +1 , y = 4.
Поэтому графиком функции будет прямая , заданная уравнением у = 4.
3. Используя условия равенства и перпендикулярности векторов,
доказываем, что ABCD – прямоугольник. Искомая прямая проходит через точку
С и середину АВ – точку К. (Координаты этих точек подставим в уравнение
прямой.) Далее находим площадь треугольника и трапеции. Они равны
соответственно 12,5 и 37,5.
4. Найдем сумму квадратов корней уравнения.
х
1
2
+ х
2
2
= (х
1
+х
2
)
2
-2х
1
х
2
= (2-а)
2
+2(а+3) = а
2
-4а+4+2а+6 = а
2
-2а+10 = (а-1)
2
+9.
Значение данного выражения будет наименьшим при а=1. При этом значении а
дискриминант левой части уравнения положителен, поэтому корни существуют.
Ответ: а = 1
5. Перельем всю краску из первой банки в остальные. Затем перельем в первую
банку по одной трети из остальных банок, тогда в первой банке красок будет
поровну. Перельем из второй банки в все содержимое в третью и четвертую
банки, а затем из них по половине банки обратно, тогда во второй банке красок
будет поровну. Из третьей банки перельем все в четвертую, и там красок станет
поровну.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: