Ученики на Учителя.com


Школьная олимпиада по математике 10 класс

Школьная олимпиада по математике
2017-18 учебный год,
10 класс
1. Заполните пустые клетки таблицы так, чтобы числа в каждой строке
и каждом столбце составляли геометрическую прогрессию.
27
36
6
8
2. Двое рабочих могут выполнить некоторую работу за 7 дней при
условии, что второй приступит к ней на 2 дня позже первого. Если бы ту
же работу каждый выполнял в одиночку, то первому потребовалось бы на
4 дня больше, чем второму. За сколько дней каждый рабочий мог бы
выполнить эту работу?
3. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой диагональ равна
8см, а угол между диагоналями равен 45º.
4. При каком целом k неравенство
x
2
+ 2(4k - 1)x + 15k
2
– 2k -7>0
верно при любом действительном х?
5. Четыре одинаковые банки с четырьмя разными красками наполнены на
три четверти. Имеется возможность переливать любую жидкость из
одной банки в другую. Можно ли во всех банках сделать одинаковую
смесь? (Другой посуды нет и выливать краску нельзя.)
Ответы и решения.
1.
27
54
108
216
9
18
36
72
3
6
12
24
1
2
4
8
2. Обозначив за х дней время, за которое второй рабочий смог бы
выполнить всю работу один, получим уравнение:
1
5
4
7
=+
+ хх
. Решая его,
найдем время работы второго рабочего: 10 дней. Тогда время работы
первого рабочего будет 14 дней.
Ответ: 14 и 10 дней.
3. Площадь трапеции ABCD как сумму площадей 4 треугольников.
Площадь каждого из треугольников можно найти по формуле S=
1/2absinα. Обозначив ВО = х, получим:
216
4
2)8(2
4
2)8(
4
2х
22
=
−
+
−
+
хх
(см
2
).
А В
x x
O
8-x 8-x
C D
4. Неравенство будет верно, если D < 0. Найдя дискриминант и
учитывая, что он должен быть отрицательным, получим неравенство k
2
–
6k +8 <0, которое будет иметь решения при 2<k<4, т.е. при k=3
Ответ: k=3
5. Перельем всю краску из первой банки в остальные. Затем перельем в
первую банку по одной трети из остальных банок, тогда в первой банке
красок будет поровну. Перельем из второй банки в все содержимое в
третью и четвертую банки, а затем из них по половине банки обратно,
тогда во второй банке красок будет поровну. Из третьей банки перельем
все в четвертую, и там красок станет поровну.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: