Ученики на Учителя.com


Методическая разработка "Квадратные уравнения" 8 класс

1
2
3
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
ТЕМЫ: «КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»
Тема «Квадратные уравнения» изучается в 8 классе в
объеме 20 часов по учебнику Математика под редакцией
Г.В.Дорофеева. Дрофа. Москва. 2013г.
№
Тема урока
Количество
часов
1
Основные понятия.
Неполные квадратные
уравнения.
2
2
Формула корней
квадратного
уравнения
2
3
Решение ключевых
задач первого уровня
2
4
Решение ключевых
задач первого уровня
2
5
Ключевые
задачи второго
уровня
2
6
Ключевые
задачи
второго
уровня
2
7
Ключевые задачи
третьего уровня
4
8
Решение квадратных
уравнений
1
9
Заключительный
контроль.
2
10
Заключительный
контроль.
1
4
Цели:
• Обучение решению квадратных уравнений
• Обучение составлению уравнений
• Обучение решению квадратных уравнений с параметром
• Обучение самоанализу и самоконтролю результатов
деятельности.
Необходимые умения:
1. Уметь решать квадратные уравнения всех видов.
2. Уметь решать уравнения, сводящиеся к квадратному
уравнению методом замены переменной.
3. Уметь решать уравнения вида f(x)∙(ax
2
+вx+c)=0.
4. Уметь решать квадратные уравнения с параметром.
Урок-лекция 1.
Цель урока-лекции. Ввести определение квадратного
уравнения. Рассмотреть неполные квадратные уравнения и
вспомнить способы их решения. Решить квадратное
уравнение различными способами.
Содержание лекции.
Определение 1. Квадратным уравнением называется
уравнение вида
ах
2
+ вх + с = 0,
где коэффициент а, в, с – любые действительные числа,
причем а≠0.
Коэффициенты а, в, с различают по названиям: а –
первый коэффициент, в – второй коэффициент, с –
свободный член.
Определение 2. Если первый коэффициент равен 1, то
квадратное уравнение называют приведенным. Квадратное
5
уравнение называют не приведенным, если первый
коэффициент отличен от 1.
Например: 3х
2
– 5х + 7 = 0 – неприведенное
квадратное уравнение,
х
2
– 5х + 6 = 0 – приведенное квадратное уравнение.
Кроме неприведенных и приведенных квадратных
уравнений различают полные и неполные уравнения.
Определение 3. Полное квадратное уравнение – это
уравнение, в котором в ≠ 0 и с ≠ 0, т.е. присутствуют
все три слагаемые.
Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в
котором либо в=0, либо с=0. Таким образом, все
сказанное можно представить схематично:
Устная работа на закрепление материала:
1. Является ли квадратным уравнение:
1) х
2
+2х+4=0;
2) х
3
+х
2
-2=0;
3) 5х
2
-4х-8=0;
4) 2х
3
-х+6=0.
6
2. Назовите коэффициенты квадратного уравнения:
1) 9х
2
+ 2х + 3 = 0;
2) х
2
+ 0,5х – 1 = 0;
3) 5х
2
– 2х + 4 = 0;
4) 3х
2
– 9 = 0;
5) –2х
2
+ х = 0.
3. Какие из следующих уравнений являются приведенными?
Если уравнение неприведенное, то выполните
преобразования, чтобы оно стало приведенным.
1) х
2
-4х+35=0;
2) 3-х
2
+6х=0;
3) –х
2
+2х+7=0;
4) 3х
2
+6х-27=0.
Определение 4. Корнем квадратного уравнения
ах
2
+вх+с=0 называют такое значение х, при подстановке
которого в уравнение, уравнение обращается в верное
числовое равенство 0=0.
Решить квадратное уравнение – значит найти все его
корни или доказать, что корней нет.
Вспомним способы решения неполных квадратных
уравнений.
1) 2х
2
-5х=0; х∙(2х-5)=0, значит либо х=0, либо 2х-
5=0, откуда х = -2,5. Итак, х
1
=0, х
2
=-2,5.
2) х
2
-16=0, х
2
=16. Значит х
1,2
=4, х
2
=-4, или х
1,2
=±4.
3) 2х
2
+4=0, 2х
2
=-4, х
2
=-2, так как выражение х
2
≥0,
т.е. неотрицательно, то уравнение 2х
2
+4=0 не имеет
корней.
7
4) 3х
2
=0, то х
2
=0, х=0 – единственный корень
уравнения. Представим решение схематично:
Неполное квадратное уравнение может иметь один
корень, два корня, ни одного корня.
То же самое можно сказать и о полном квадратном
уравнении. Почему?
Графиком функции у = ах
2
+ вх + с служит парабола.
Корнями квадратного уравнения
ах
2
+ вх + с = 0 являются абсциссы точек пересечения
параболы с осью абсцисс. Парабола по отношению к оси
абсцисс может располагаться только одним из следующих
способов.
8
Т.е. парабола может пересекать ось ОХ в двух точках
(два корня), может касаться оси ОХ, т.е. иметь одну
общую точку (один корень), может вообще не пересекаться
с осью Х (в этом случае уравнение не имеет корней).
Итак, перед нами стоит проблема: как же научиться
находить корни полного квадратного уравнения?
Рассмотрим примеры. Решить квадратное уравнение:
1) х
2
– 4х + 3 = 0.
1. Корни уравнения можно угадать: х
1
= 1, х
2
= 3.
2. Левую часть уравнения можно разложить на множители:
х
2
-4х+3=х
2
-х-3х+3=(х
2
-х)-(3х - 3) = = х∙(х-1)-3∙(х-1)
= (х-1)∙(х-3), тогда
(х-1)∙(х-3)=0, значит либо х-1=0, либо х-3=0. Откуда
х
1
=1, х
2
= 3.
3. В левой части уравнения можно выделить полный
квадрат двучлена: х
2
-4х+3=(х
2
-2∙х∙2+2
2
) – 2
2
+3= (х-
2)
2
-1. Итак, (х-2)
2
-1=0; воспользуемся формулой
разности квадратов двух чисел:
(х-2-1)∙(х-2+1)=0, или (х-3)∙(х-1)=0, откуда х
1
=3; х
2
=1. Ответ: 1; 3.
2) Решите уравнение 6х
2
-13х-5=0. Самостоятельно. Кто
быстрее сделает это? (Быстро решит уравнение учитель).
Итак, корни уравнения: х
1
= ,х
2
= .
2
1
2
3
1
−
9
Проверим:
Методы, позволившие легко решить уравнение х
2
-
4х+3=0, не оказались удобными при решении уравнения 6х
2
– 13х–5 = 0. Однако ответ найден быстро. Что же такое
я знаю?
Итак, цель нашего следующего занятия найти
универсальный способ решения квадратного уравнения.
Домашнее задание: Учить схемы по тетради. Выполнить
решение №402, 405(а-в), 471, 473.
Урок-лекция 2.
Цель урока-лекции. Вывести формулу корней полного
квадратного уравнения.
Содержание лекции.
1. Устная работа с классом:
1) Назовите коэффициенты квадратного уравнения. Укажите
приведенные и неприведенные уравнения; укажите
полные и неполные уравнения.
1) 8х
2
– 3х + 4 = 0;
2) х
2
+ 2х – 9 = 0;
3) х
2
– х + 4 = 0;
4) 2х
2
– 10 = 0;
5) х – 4х
2
= 0.
0
9
45396
5
3
13
9
6
5
3
1
13
9
1
6
.0
4
20130150
5
2
65
4
150
5
2
5
13
4
25
6
=
−+
=−+=−
−−
=
−−
=−−=−−
3
10
2. В тетрадях для письменного опроса восстановите схему
неполных квадратных уравнений. Решите неполные
квадратные уравнения:
В-1
В-II
1) х
2
– 3х = 0;
2) –х – 2х
2
= 0;
3) х
2
– 81 = 0;
4) 2х
2
+ 8 = 0.
1) х
2
– 5х = 0;
2) –х – 3х
2
= 0;
3) х
2
– 64 = 0;
4) 3х
2
+ 27 = 0
Итог работы каждый учащийся подводит
самостоятельно, сверяя решение с решением, которое
появляется на классной доске.
С этого момента учащиеся начинают строить график
собственного продвижения по данной теме.
3. Продолжение лекции.
Пусть дано квадратное уравнение ах
2
+ вх + с = 0.
Воспользуемся методом выделения полного квадрата
двучлена. ах
2
+вх+с=а
Выражение в
2
-4ас называют дискриминантом
квадратного уравнения: Д = в
2
- 4ас, тогда
ах
2
+ вх + с = и уравнение можно записать так:
Из последнего уравнения видно: если Д‹0, то
квадратное уравнение им имеет корней. Если Д=0, то х =-
) )
−
−+=
−
−
+=
=
+
−
++=
++
а
асв
а
в
ха
а
асв
а
в
ха
а
с
а
в
а
в
а
в
ха
а
с
х
а
в
х
4
4
24
4
2
442
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
−+
а
Д
а
в
ха
42
2
)
=
+=−+ .
42
.0
42
2
2
2
а
Д
а
в
х
а
Д
а
в
ха
11
- единственный корень уравнения. Если Д›0, то
квадратное уравнение имеет два корня:
; , откуда
или , х
1
= .
Итак корни квадратного уравнения
.
Схема решения квадратного уравнения:
ах
2
+ вх + с = 0
1. Вычислить дискриминант:
Д = в
2
– 4 ас
2. Если Д‹0, корней нет.
3. Если Д = 0, то корень один
4. Если Д›0, то корней два:
Эту схему можно применить и к решению неполных
уравнений, но обычно это не делают, так как предыдущие
способы практичнее.
4. Решение ключевых задач первого уровня.
Итак, ключевыми задачами первого уровня будут
стандартные задачи по отысканию корней квадратного
уравнения.
Задача 1. ах
2
+ с = 0, х
2
= - , - корней
нет, n>0, х = ± .
Задача 2. ах
2
+ вх = 0, х∙(ах+в)=0, х
1
= 0,
а
в
2
( )
0
42
2
2
2
=−
+
а
Д
а
в
х
0
2222
=
++
−+
а
Д
а
в
х
а
Д
а
в
х
0
2
=
−
+
а
Дв
х
0
2
=
+
+
а
Дв
х
а
Дв
хили
а
Дв
22
2
−−
=
+−
а
Дв
х
2
2,1
−
=
а
в
х
2
−=
а
Дв
хи
а
Дв
х
22
21
−−
=
+−
=
а
с
0, nn
а
с
=
n
12
х
2
=- .
Задача 3. ах
2
+ вх + с = 0. Д = в
2
– 4ас, Д‹0, корней
нет. Д = 0, х
1
= - , Д›0, х
1,2
= .
Система упражнения для работы в классе:
№412(II),413(II),414(II),416(II),417(II),423(в.г)
429(II), 430(II).
Система упражнений для работы дома: №412 (I),
413(I), 414(I), 416(I), 417(I), 423(а,б), 429(I),
430(I).
Система упражнений для работы на факультативе:
1) Вывести вторую формулу корней квадратного уравнения
при четном значении в.
2) № 426; 427.
Система упражнений для устного счета
Методика устного счета: в начале урока учащиеся 5-7
минут решают по таблице, на одной стороне которой
задания, а на другой стороне ответы.
После окончания решения учащиеся выполняют работу
по самооценке умения решать квадратные уравнения,
фиксируют свой результат на графике самооценки.
а
в
а
в
2
а
Дв
2
−
13
Решите уравнения:
№
I
II
III
1
х
2
= 25
х
2
-82=0
Х
2
-4х+4=0
2
Х
2
- 2х +1 = 0
Х
2
+81=0
Х-х
2
=0
3
4
5х
2
=0
Х
2
+5=0
Х
2
-7х+6=0
5
Х
2
-4х+3=0
Х
2
-5х=0
Х
2
+7х+6=0
6
Х
2
+9х=0
2-х
2
=0
-х
2
+4х=0
7
Х
2
-10х+25=0
Х
2
-5х+6=0
-2х
2
=0
8
Х
2
-12=0
Х
2
-3х+2=0
5х=х
2
9
Х
2
+6=0
64-х
2
=0
10
Х
2
+6х=0
10х
2
=0
Х
2
=11
Обратная сторона (ответы)
№
I
II
III
1
±5
9
2
2
1
Решений нет 0
0; 1
3
Решений нет
±2
-5
4
0
Решений нет
1; 6
5
1; 3
Решений нет
-1; -6
6
0; -9
0;5
0; 4
7
5
±√2
0
8
±2√3
2; 3
0; 5
9
Решений нет
Решений нет
±8
10
-6; 0
0
±√11
( )
0
16
4
2
2
=
−
−
х
х
0
4
2
=
−
х
х
0
5
25
2
=
−
−
х
х
0
4
4
2
=
−х
14
УРОК РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ
Цель урока: Рассмотреть ключевые задачи второго
уровня.
Содержание урока
Рассмотрим решение уравнений вида ах
2n
+ вх
n
+ с =
0, где n =1, 2, 3, 4...
Уравнение такого вида легко решить методом введения
новой переменной. Пусть х
n
=t, тогда уравнение примет вид
at
2
+вc+c=0 – это квадратное уравнение и решить его не
представляет труда.
Примеры:
1) Решить уравнение: х
4
– 13х
2
+ 36 = 0.
Решение: (х
2
)
2
– 13х
2
+36=0. Пусть х
2
=t, где t≥0.
Тогда уравнение примет вид: t
2
-13t+36=0. Д = 169-
144=25. t
1.2
= , t
1
=9, t
2
=4.
Вернемся к переменной х:
Х
2
=9, откуда х =±3
Х
2
=4, откуда х = ±2. Ответ: -3; -2; 2; 3.
2) Х
4
+5х
2
+4=0.
Решение. Пусть х
2
=t, t≥0.
t
2
+ 5t + 4 = 0
t
1,2
=
t
1
=-1, не удовлетворяет условию t≥0,
t
2
= - 4, не удовлетворяет условию t≥0.
Следовательно, уравнение х
4
+5х
2
+4=0 не имеет
решений. Ответ: решений нет.
2
513
2
35
2
16255 −
=
−−
15
3) х + – 6 = 0.
Решение. Пусть = t, t≥0, тогда t
2
+t-6=0, t
1
=-3 (не
удовлетворяет условию), t
2
= 2,
значит =2, откуда следует, что х = 4.
Ответ: 4.
4) х
6
-7х
3
-8=0.
Решение. Пусть х
3
= t, t - любое число, тогда t
2
-7t-
8=0, t
1
=-8, t
2
=1, откуда х
3
=-8, х=-2,
х
3
=1, х =1. Ответ: -2; 1.
5)
Решение. Произведение двух множителей равно 0 тогда
и только тогда, когда один из множителей равен 0, а
другой при этом не теряет смысл.
Тогда,
а) х
2
-5х+6=0, х
1
=2, х
2
=3.
Проверим не теряет ли смысл первый множитель:
Х =2, .
Х=3, , выражения смысла не теряют.
б) , значит 16-х
2
= 0, х
2
=16, х=±4.
Итак, уравнение имеет четыре решения:
х
1
=-4, х
2
=2, х
3
=3, х
4
=4. Ответ: -4; 2; 3; 4.
6)
Решение. Аналогично предыдущему уравнению
х
2
-5х+6=0; х
1
=2,
х
2
=3,
но при данных значениях х
множитель не имеет смысла, следовательно
уравнение не имеет решения.
Ответ: решений нет.
х
х
х
( )
06516
22
=+−− ххх
1241616
2
=−=− х
791616
2
=−=− х
016
2
=− х
( )
0651
22
=+−− ххх
2
1 х−
16
7) (х
2
+4х)
2
-4(х
2
+4х)-5=0.
Решение. Введением новой переменной уравнение
сводится к квадратному уравнению: х
2
+4х=t,
t – любое число, тогда t
2
-4t-5=0; t
1
=5, t
2
=-1,
значит а) х
2
+4х=5, х
2
+4х-5=0, откуда
х
1
=-5,х
2
=1. ответ: -5; 1.
б) х
2
+4х=-1, х
2
+4х+1=0, х
1,2
=-2± . Итак, уравнение
имеет четыре корня: -5; 1; -2- ; -2+ .
Система упражнений для самостоятельной работы:
№435, 437, 438, 439.
Урок решения ключевых задач
Цель урока: Рассмотреть ключевые задачи третьего
уровня.
Содержание урока
К ключевым задачам третьего уровня отнесем
квадратные уравнения с параметром и уравнения решаемые
как квадратные относительно параметра.
1. При каких значениях параметра а уравнение является
неполным квадратным уравнением? Решить уравнение при
найденных значениях параметра. 6х
2
+(а-1)х+2-4а=0.
Решение. Уравнение является неполным квадратным при
а-1 =0 или 2-4а=0. Откуда а=1 или а= . Если а=1, то
уравнение имеет вид 6х
2
-2=0, значит х
2
= , х= . Если
3
3
3
2
1
3
1
3
1
17
а= , то уравнение имеет вид 6х
2
- х=0, 12х
2
-х=0, х(12х-
1)=0, х
1
=0, х
2
= .
Ответ: а=1; а= .
2. При каких значениях параметра а уравнение х
2
+ах+24=0
имеет корень 6?
Решение. Если х=6 – корень уравнения, то при
подстановке уравнение обращается в верное равенство:
36+6а+24=0, откуда 6а=-60, а=-10.
Ответ: а=-10.
3. При каком значении параметра а уравнение ах
2
+х+1=0
имеет единственный корень?
Решение.
Если а=0, то уравнение примет вид: х+1=0. Это
линейное уравнение имеет единственный корень, поэтому
а=0, удовлетворяет требованию задачи.
Если а≠0, то уравнение является квадратным.
Квадратное уравнение имеет единственное решение в том
случае, когда его дискриминант равен 0. Д=0, значит 1-
4а=0, откуда а= . Ответ: а=0, а= .
Ответ: а=0; а= .
Решение следующего уравнения лучше рассмотреть на
факультативе.
4. Решить уравнение: х
3
-
Решение. Введем параметр сами. Пусть , тогда
уравнение примет вид:
Х
3
-(а+1)х
2
+а
2
=0
2
1
2
1
12
1
2
1
4
1
4
1
4
1
( )
.0313
2
=++ х
а=3
18
Рассмотрим уравнение как квадратное относительно
параметра а. а
2
-х
2
∙а+х
3
-х
2
=0, где первый коэффициент
равен 1, второй коэффициент равен х
2
. Свободный член
равен х
3
-х
2
. Найдем дискриминант квадратного уравнения:
Д=(х
2
)
2
-4∙(х
3
-х
2
)=х
4
-4х
3
+4х
2
=(х
2
-2х)
2
,
а
1,2
= ; так как а= , получим
уравнения: а) х
2
-х= , х
2
-х- =0, откуда
х
1,2
= ,
б) , откуда х= .
Ответ: х
1
= , х
2,3
= .
Система упражнений для самостоятельной работы
1. При каких значениях параметра а уравнение является
неполным квадратным уравнением? Решить уравнение при
найденных значениях параметра.
А) (а-2)х
2
+3х+а=0
Б) 3х
2
-(2р+3)х+2+а=0
В) (6-а)х
2
+(2а+6)(х+12)=0.
2. При каких значениях параметра а уравнение:
А) 2х
2
+ах+68=0 имеет корень, равный 17?
Б) 3х
2
+ах-54=0 имеет корень, равный 9?
В) х
2
+ах-35=0 имеет корень, равный 7?
( )
( )
2
2
2
2
22
2
22
ххх
ххх
−
=
−
3
3
2
2
22
=
−+ ххх
3
3
2
3411 +
3
2
2
22
=
+− ххх
3
3
2
3411 +
19
3. Решите уравнение с параметром:
А) х
2
- 4mx+4m
2
-1=0
Б) рх
2
-12х+4=0
В) (n-4)x
2
+(2n-4)x+n=0
Урок-консультация
На данном уроке ответить на вопросы учащихся.
Разобрать решение уравнения с параметром р:
рх
2
+2(р+1)х+р+3=0.
Решение. Если р=0, уравнение примет вид 2р+3=0, р=-
. Если р≠0, найдем дискриминант квадратного уравнения:
Д=(р+1)
2
-р(р+3)=р
2
+2р+1-р
2
-3р=1-р.
Если 1-р>0, р<1, то х
1,2
= .
Если р=1, то х=-2.
Если 1-р<0, р>1, то корней нет.
Творческие задания
1. Подготовить сообщения:
1) История квадратных уравнений
2) Целые корни уравнения с целыми коэффициентами
3) Параметр в квадратном уравнении.
4) Провести самоанализ личной подготовки по теме
«Квадратные уравнения».
Заключительный контроль.
Зачет и рейтинговая контрольная работа.
2
3
( )
р
рр −+− 11
20
Цель зачета: проверить алгоритмический и
преобразующий уровень учащихся. Оказать необходимую
помощь.
Содержание зачета
I. Проверка усвоения теоретического материала.
1. Какое уравнение называется квадратным? Приведите
примеры. Назовите коэффициенты а,в,с этого уравнения.
2. Запишите формулу корней квадратного уравнения
ах
2
+вх+с=0.
3. Сколько корней может иметь квадратное уравнение? Как
это зависит от дискриминанта? Определите, сколько
корней имеет уравнение:
3х
2
-7х-4=0
2х
2
+х+2=0
4х
2
-4х+1=0.
4. Запишите формулу корней квадратного уравнения с
четным коэффициентом.
5. Приведите пример неполного квадратного уравнения
вида ах
2
+вх=0. Покажите, как решаются уравнения
такого вида. Сколько корней имеет уравнение вида
ах
2
+вх=0?
6. Приведите пример неполного квадратного уравнения
вида ах
2
+с=0. Покажите, как решаются уравнения такого
вида. Сколько корней имеет уравнение вида ах
2
+с=0.
7. Приведите пример ключевого квадратного уравнения
второго уровня. Каким методом решаются такие
уравнения?
8. Решите уравнения:
В-I
B-II
1) 3х
2
+5х-2=0
1)4х
2
-12х+9=0
21
2) 3х
2
=2х+4
3) (х-1)(2х+3)=-2
4) 3х
2
-2х=0
5) 2х
2
-18=0
6) 5х
2
+1=0
7) Х
4
+15х
2
-16=0
8) Х-4
9) (х
2
-х-1)
2
-10(х
2
-х-1)+9=0
10) (х
2
-3х+2)
2)х
2
=2х+1
3)
4)2х
2
+3х=0
5)3х
2
-9=0
6)4+х
2
=0
7)х
4
-5х
2
+4=0
8)х-9 +20=0
9)(х
2
-4х+3)
2
+6(х
2
-4х+6)-34=0
10)
Контрольная работа
Решите уравнение
В-1
В-2
1) 6х(2х+1)=5х+1
2)
1) 8х(1+2х)=-1
2)
3) Решить уравнения с параметром р:
х
2
-2рх+р
2
-1=0
х
2
-4рх+4р
2
-1=0
4) При каких значениях параметра а уравнение
имеет единственное решение:
х
2
+2х-а=0
ах
2
+2х-4=0
03 =+х
01 =− х
х
х
4
2
7
2
=
+
х
( )
0453
2
=+−− ххх
3
1
3
2
2
2
2
=
−
+
+
+
−
х
х
х
х
0
3
3
3
3
=
−
+
−
+
−
х
х
х
х
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: