Ученики на Учителя.com


Вариант ОГЭ по математике от 5 июня 2018

Часть 1
Модуль «Алгебра»
1. Найдите значение выражения
12
:
15
5 2
.
Решение.
12
:
15
=
12
⋅
2
4 2 8
=
32
= 0,32.
Ответ: 0,32.
5 2 5 15
=
5
⋅
5
=
25
100
2. Куриные яйца в зависимости от их массы подразделяют на пять категорий:
высшую, отборную, первую, вторую, третью. Используя данные, представленные в
таблице, определите, к какой категории относится яйцо массой 59,2 г.
Категория
Масса одного яйца (в г)
Высшая
75,0 и более
Отборная
65,0–74,9
Первая
55,0–64,9
Вторая
45,0–54,9
Третья
менее 45
1) высшая
2) отборная
3) первая
4) вторая
Решение.
Анализируя информацию во втором столбце таблицы видим, что для числа 59,2
выполняется только одно неравенство: 55,0 < 59,2 < 64,9. Значит яйцо данной массы
относится к первой категории.
Ответ: 3.
3. На координатной прямой точки A, B, C и D соответствуют числам –0,39; –0,09;
–0,93; –0,03.
Какой точке соответствует число –0,09?
1) A
3) C
4) D
Решение.
Поскольку все участвующие числа отрицательны, а отрицательное число тем
меньше, чем больше его абсолютное значение, то наши числа располагаются в
следующем порядке:
−0,93 < −0,39 < −0,09 < −0,03.
Значит число –0,09 соответствует точке C.
Ответ: 3.
4.
Найдите значение выражения
√
42 ⋅ 75 ⋅ 14.
Решение.
√42 ⋅ 75 ⋅ 14 = √6 ⋅ 7 ⋅ 3 ⋅ 25 ⋅ 2 ⋅ 7 = 6 ⋅ 5 ⋅ 7 = 210.
Ответ: 210.
5. На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трех
суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали – значение
температуры в градусах Цельсия. Определите по графику наименьшую температуру
воздуха 20 февраля. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Решение.
Заметим, что температура 20 февраля показана на крайней правой части графика.
Прикладывая линейку горизонтально к нижней точке этой части графика заметим, что
искомая температура равна –7 градусов Цельсия.
Ответ: –7.
6. Решите уравнение
𝑥𝑥
2
+ 4
𝑥𝑥
= 21. Если уравнение имеет более одного корня, в
ответ укажите меньший из корней.
Решение.
𝑥𝑥
2
+ 4
𝑥𝑥
− 21 = 0,
𝐷𝐷
= 2
2
+ 21 = 25,
𝑥𝑥
= −2 − 5 = −7,
𝑥��
= −2 + 5 = 3,
4
1 2
𝑥𝑥
1
= −7 <
𝑥𝑥
2
= 3,
поэтому в ответ указываем число –7.
Ответ: –7.
7. Средний вес мальчиков того же возраста, что и Гоша, равен 57 кг. Вес Гоши
составляет 150% среднего веса. Сколько килограммов весит Гоша?
Решение.
Если 57 кг – это 100% среднего веса, то 150% среднего веса – в 1,5 раза больше,
чем 57 кг: 57 ⋅ 1,5 = 85,5.
Ответ: 85,5.
8. На диаграммах показано содержание питательных веществ в сухарях, твороге,
сливочном мороженом и сгущенном молоке. Определите по диаграммам, в каком
продукте содержание жиров превышает 15%.
*к прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества.
1) сухари
3) мороженое
2) творог
4) сгущённое молоко
В ответе запишите номер выбранного варианта ответа.
Решение.
Круговой сектор можно задать с помощью центрального угла. Если вся
окружность – 360°, что соответствует 100% площади круга, то 15% – это 54°
соответственно. Итак, нам нужно найти круг, в котором центральный угол сектора,
соответствующего жирам, больше или равен 54 градусам. Видно, что искомый
продукт – творог.
Ответ: 2.
9. На экзамене 50 билетов, Сеня не выучил 5 из них. Найдите вероятность того,
что ему попадется выученный билет.
Решение.
50 − 5
=
45
=
9
= 0,9.
50 50 10
Ответ: 0,9.
10. На рисунках изображены графики функций вида
𝑦𝑦
=
𝑘𝑘𝑥𝑥
+
𝑏𝑏
.
Установите
соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
ГРАФИКИ
КОЭФФИЦИЕНТЫ
1)
𝑘𝑘
< 0,
𝑏𝑏
< 0
2)
𝑘𝑘
< 0,
𝑏𝑏
> 0
3)
𝑘𝑘
> 0,
𝑏𝑏
> 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение.
Знак коэффициента k отвечает за направленность прямой: если
𝑘𝑘
< 0, то прямая
убывает (с увеличением x значения y уменьшаются), если
𝑘𝑘
> 0, то прямая возрастает
(с увеличением x значения y также увеличиваются). Среди представленных графиков
только на "Б" прямая возрастает, поэтому Б – 3.
Из уравнения прямой
𝑦𝑦
=
𝑘𝑘𝑥𝑥
+
𝑏𝑏
нетрудно понять, что коэффициент b – это
значение y, соответствующее значению
𝑥𝑥
= 0 или это значение ординаты точки
пересечения прямой с осью Oy. Хорошо видно, что прямая на рисунке "В" пересекает
ось ординат в точке выше оси абсцисс, то есть
𝑏𝑏
> 0, значит В – 2. Остается А – 1.
Ответ:
11. Последовательность
(
𝑐𝑐
𝑛𝑛
)
задана условиями:
𝑐𝑐
1
= −4,
𝑐𝑐
𝑛𝑛+1
=
𝑐𝑐
𝑛𝑛
− 2.
Найдите
𝑐𝑐
8
.
Решение.
А
Б
В
1
3
2
Очевидно, что последовательность
(
𝑐𝑐
𝑛𝑛
)
является арифметической прогрессией с
разностью
𝑑𝑑
= −2. Тогда
𝑐𝑐
8
=
𝑐𝑐
1
+
(
7 − 1
)
𝑑𝑑
= −4 + 6 ⋅
(
−2
)
= −16.
Ответ: –16.
12. Найдите значение выражения
(
𝑥𝑥
− 6
)
:
𝑥𝑥
2
− 12
𝑥𝑥
+ 36
𝑥𝑥
+ 6
при
𝑥𝑥
= −10.
Решение.
Преобразуем для начала:
( )
𝑥𝑥
2
− 12
𝑥𝑥
+ 36
( )
𝑥𝑥
+ 6
(
𝑥𝑥
− 6
)(
𝑥𝑥
+ 6
)
𝑥𝑥
+ 6
𝑥𝑥
− 6 :
𝑥𝑥
+ 6
=
𝑥𝑥
− 6
⋅
𝑥𝑥
2
− 12
𝑥𝑥
+ 36
=
(
𝑥𝑥
− 6
)
2
=
𝑥𝑥
− 6
=
=
−10 + 6
=
−4 1
Ответ: 0,25.
−10 − 6
−16
=
4
= 0,25.
13. Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу
Фаренгейта, пользуются формулой
𝑡𝑡
𝐹𝐹
= 1,8
𝑡𝑡
𝐶𝐶
+ 32, где
𝑡𝑡
𝐶𝐶
– температура в градусах
Цельсия,
𝑡𝑡
𝐹𝐹
– температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале
Фаренгейта соответствует 55 градусов по шкале Цельсия?
Решение.
Подставляем:
Ответ: 131.
𝑡𝑡
𝐹𝐹
= 1,8 ⋅ 55 + 32 = 99 + 32 = 131.
14. Укажите решение системы неравенств
�
−27 + 3𝑥𝑥 > 0,
6 − 3𝑥𝑥 < −6.
1)
(
4; +∞
)
3)
(
9; +∞
)
2)
(
4; 9
)
4)
(
−∞; 9
)
Решение.
�
−27 +
3𝑥𝑥
> 0,
⟺
�
3𝑥𝑥
> 27,
⟺
�
𝑥𝑥
> 9,
⟺
𝑥𝑥
> 9 ⟺
𝑥𝑥
∈
(
9; +∞
)
,
6 −
3𝑥𝑥
< −6
3𝑥𝑥 > 12
𝑥𝑥
> 4
то есть в ответ записываем число 3.
Ответ: 3.
Модуль «Геометрия»
15. Найдите угол, который минутная стрелка описывает за 12 минут. Ответ дайте
в градусах.
Решение.
Известно, что минутная стрелка проходит весь циферблат (совершает один
полный оборот) за 60 минут. Поэтому за одну минуту стрелка опишет ровно
𝑣𝑣
мин
=
360°
60 мин
= 6°мин
−1
.
Тогда за 12 минут стрелка опишет угол, равный: 6 ⋅ 12 = 72.
Ответ: 72.
16. В треугольнике ABC угол C равен 177°. Найдите внешний угол при вершине
C. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Внешним углом треугольника является смежный с ним, а сумма смежных углов
равна 180°, поэтому искомый угол равен: 180 − 177 = 3 градуса.
Ответ: 3.
17. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен
10
√
3. Найдите длину стороны этого треугольника.
Решение.
Из теоремы синусов:
𝑎𝑎
sin 𝛼𝛼
= 2𝑅𝑅,
𝑎𝑎
=
2𝑅𝑅
sin
𝛼𝛼
= 2 ⋅ 10√3 ⋅ sin 60° = 2 ⋅ 10√3 ⋅
√
3
= 30.
2
Ответ: 30.
18. Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в
точке O,
𝐵𝐵𝐵𝐵
= 6,
𝐴𝐴𝐷𝐷
= 13,
𝐴𝐴𝐵𝐵
= 38. Найдите AO.
Решение.
Треугольники BOC и DOA подобны,
откуда
𝑂𝑂𝐵𝐵
=
𝐵𝐵𝐵𝐵
,
38 −
𝑥𝑥
=
6
,
𝐴𝐴𝑂𝑂
𝐴𝐴𝐷𝐷
𝑥𝑥
13
6
𝑥𝑥
= 494 − 13
𝑥𝑥
, 19
𝑥𝑥
= 494,
𝑥𝑥
= 26.
Ответ: 26.
19. На клетчатой бумаге с размером
клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь
этого ромба.
Решение.
Удобнее всего будет искать площадь
ромба как половину произведения его перпендикулярных диагоналей. Считая по
клеточкам находим, что меньшая диагональ ромба (вертикальная) равна 4, большая
диагональ (горизонтальная) равна 12. Тогда
𝑆𝑆
=
𝑑𝑑
1
𝑑𝑑
2
=
4 ⋅ 12
= 24.
2 2
Ответ: 24.
20. Какое из следующих утверждений верно?
1) Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусам.
2) Средняя линия трапеции равна сумме ее оснований.
3) Любой параллелограмм можно вписать в окружность.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение.
1) По формуле суммы углов выпуклого n-угольника
𝑆𝑆
𝛼𝛼
=
(
𝑛𝑛
− 2
)
⋅ 180°
нетрудно проверить, что первое утверждение верно.
2) Известно, что средняя линия трапеции равна половине суммы её оснований,
второе утверждение неверно.
3) Только в тот параллелограмм, в котором сумма длин противоположных сторон
одинакова, можно вписать окружность (то есть в ромб), не в любой параллелограмм.
Значит третье утверждение неверно.
Ответ: 1.
21. Решите систему уравнений
Часть 2
Модуль «Алгебра»
2
𝑥𝑥
2
−
𝑥𝑥
=
𝑦𝑦
,
�
2
𝑥𝑥
− 1 =
𝑦𝑦
.
Решение.
Вычтем из первого уравнения второе, получим:
2
𝑥𝑥
2
− 3
𝑥𝑥
+ 1 = 0,
𝐷𝐷
= 9 − 8 = 1,
𝑥𝑥
=
3 − 1
= 0,5,
𝑥𝑥
=
3 + 1
= 1.
1
4
2
4
𝑦𝑦
1
= 2𝑥𝑥
1
− 1 = 0, 𝑦𝑦
2
= 2 − 1 = 1.
Ответ:
(
0,5; 0
)
,
(
1; 1
)
.
22. Расстояние между пристанями А и В равно 48 км. Из А в В по течению реки
отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая,
прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени
плот проплыл 25 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость
течения реки равна 5 км/ч.
Решение.
Плот плыл в течение
25
= 5 часов, значит лодка плыла на час меньше, то есть 4
5
часа. Получим уравнение:
48
𝑥𝑥
− 5
+
48
𝑥𝑥
+ 5
= 4,
48
𝑥𝑥
+ 5 ⋅ 48 + 48
𝑥𝑥
− 5 ⋅ 48 = 4
𝑥𝑥
2
− 100,
4
𝑥𝑥
2
− 96
𝑥𝑥
− 100 = 0,
𝑥𝑥
2
− 24
𝑥𝑥
− 25 = 0,
𝐷𝐷
= 144 + 25 = 169 = 13
2
,
4
𝑥𝑥
1
= 12 − 13 = −1,
𝑥𝑥
2
= 12 + 13 = 25.
Ответ: 25.
23. Постройте график функции
𝑦𝑦
=
1
�
�
𝑥𝑥
−
3
�
+
𝑥𝑥
+
3
�
.
2 3
𝑥𝑥
3
𝑥𝑥
Определите, при каких значениях m прямая
𝑦𝑦
=
𝑚𝑚
имеет с графиком ровно одну
общую точку.
Решение.
Для начала узнаем промежутки знакопостоянства модуля:
𝑥𝑥
3
3
−
𝑥𝑥
=
𝑥𝑥
2
− 9
𝑥𝑥
=
(
𝑥𝑥
− 3
)(
𝑥𝑥
+ 3
)
𝑥𝑥
Итак, при
𝑥𝑥
≤ −3, 0 <
𝑥𝑥
≤ 3 имеем:
𝑦𝑦
=
1
𝑥𝑥
3
𝑥𝑥
3
1 6 3
2
�
−
3
+
𝑥𝑥
+
3
+
𝑥𝑥
�
=
При −3 <
𝑥𝑥
< 0,
𝑥𝑥
> 3 имеем
2
⋅
𝑥𝑥
=
𝑥𝑥
.
𝑦𝑦
=
1
𝑥𝑥
3
𝑥𝑥
3
𝑥𝑥
� − + + � = .
2 3
𝑥𝑥
3
𝑥𝑥
3
По построенному графику
нетрудно ответить на вопрос задачи.
Важно помнить о том, что линия
𝑦𝑦
=
0 не имеет общих точек с графиком.
Ответ: –1, 1.
Модуль «Геометрия»
24. Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны
соответственно 45° и 150°, а
𝐵𝐵𝐷𝐷
= 32.
Решение.
Проведем перпендикуляры AF и
CE, как показано на рисунке. Тогда
треугольник BAF – равнобедренный,
𝐴𝐴𝐵𝐵
=
𝐴𝐴𝐴𝐴
√
2, а угол D равен 30°, откуда
𝐵𝐵𝐶𝐶
=
𝐵𝐵𝐷𝐷
⋅ sin 30° = 16
. Поскольку
𝐴𝐴𝐴𝐴
=
𝐵𝐵𝐶𝐶
как расстояние между параллельными
прямыми, то
𝐴𝐴𝐵𝐵
=
𝐵𝐵
𝐶𝐶
√
2 = 16
√
2.
Ответ: 16
√
2.
25. В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты
𝐵𝐵𝐵𝐵
1
и
𝐵𝐵𝐵𝐵
1
.
Докажите, что треугольники
𝐴𝐴𝐵𝐵
1
𝐵𝐵
1
и ABC подобны.
Решение.
Поскольку ∠
𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵
1
= ∠
𝐵𝐵
𝐴𝐴
𝐵𝐵
1
как
вертикальные, то прямоугольные
треугольники
𝐵𝐵𝐴𝐴𝐵𝐵
1
и
𝐵𝐵
𝐴𝐴
𝐵𝐵
1
подобны по
двум углам. Значит
𝐵𝐵𝐴𝐴
𝐴𝐴𝐵𝐵
1
=
𝐵𝐵𝐴𝐴
,
𝐴𝐴
𝐵𝐵
1
откуда следует, что треугольники
𝐴𝐴𝐵𝐵
1
𝐵𝐵
1
и
ABC подобны по углу и двум сторонам.
Ответ: что и требовалось доказать.
26. В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром
окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и
прямых AD и AC соответственно равны 25, 13 и 7. Найдите площадь параллелограмма
ABCD.
Решение.
Отметим точки касания
окружности со сторонами
треугольника – точки E, F, G.
Понятно, что точки E, O, H лежат на
одной прямой и
𝐴𝐴𝑂𝑂
=
𝐶𝐶𝑂𝑂
=
𝐺𝐺𝑂𝑂
= 7,
𝐴𝐴𝑂𝑂
= 25,
𝑂𝑂𝑂𝑂
= 13.
Тогда высота параллелограмма
ABCD равна
𝐶𝐶𝑂𝑂
=
𝐶𝐶𝑂𝑂
+
𝑂𝑂𝑂𝑂
= 20
. Из прямоугольного треугольника AOG:
𝐴𝐴𝐺𝐺
=
�
𝐴𝐴𝑂𝑂
2
−
𝑂𝑂𝐺𝐺
2
= √625 − 49 = √576 = 24.
По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности:
𝐴𝐴𝐴𝐴
=
𝐴𝐴𝐺𝐺
,
𝐵𝐵
𝐺𝐺
=
𝐵𝐵
𝐶𝐶
=
𝑦𝑦
,
𝐵𝐵
𝐴𝐴
=
𝐵𝐵
𝐶𝐶
=
𝑥𝑥
.
Применяя две формулы для площади треугольника ABC, получим:
1
𝑎𝑎ℎ
2
𝑎𝑎
=
1
𝑟𝑟𝑟𝑟
,
𝐵𝐵𝐵𝐵
⋅
𝐶𝐶𝑂𝑂
=
𝑟𝑟
⋅
(
𝐴𝐴
𝐵𝐵
+
𝐵𝐵𝐵𝐵
+
𝐴𝐴𝐵𝐵
)
,
2
(
𝑥𝑥
+
𝑦𝑦
)
⋅ 20 = 7 ⋅
�
2
𝐴𝐴𝐺𝐺
+ 2
(
𝑥𝑥
+
𝑦𝑦
)
�
,
𝑥𝑥
+
𝑦𝑦
=
𝐵𝐵𝐵𝐵
=
7
𝐴𝐴𝐺𝐺
= 56.
3
𝑆𝑆
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶𝐴𝐴
=
𝐵𝐵𝐵𝐵
⋅
𝐶𝐶𝑂𝑂
= 56 ⋅ 20 = 1120.
Ответ: 1120.
Решения 4ege.ru
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: