Презентация "Метод мажорант" 11 класс
Подписи к слайдам:
Метод мажорант.
- Школьникам
- Учителям
- Землянова Н.В.,
- учитель математики
- МБОУ «Гимназия №131»
- г.Барнаул 2012
- В материалах, предлагаемых выпускникам для решения на едином государственном экзамене, есть задачи, требующие специальных методов решения, которые, к сожалению, не изучаются в школе. Один из таких методов-метод мажорант. Красивейший способ решения сложных задач.
- Определение мажоранты функции
- Примеры функций, имеющих мажоранту
- Метод мажорант
- Примеры решения задач методом мажорант
- Мажорантой функции f(x) на множестве P называется такое число M, что либо f(x) ≤M для всех x є P, либо f(x) ≥ M для всех x є P.
- 1.Тригонометрические функции .
- f(x)=sin x
- -1≤ sin x ≤ -1
- M=1, M=-1
- f(x)=cos x
- -1≤ cos x ≤ -1
- M=1, M=-1
- f(x)=sin x
- f(x)=cos x
- M
- M
- M
- M
- 2.Квадратичная функция.
- f(x)= ax²+bx+c,
- (p ; n) -
- вершина параболы
- M=n=(4ac-b²)/4a
- f(x)=-x²-2x
- M
- M
- f(x)=x²- 4x+1
- f(x)=|g(x)|
- 0 ≤|g(x)|<+∞
- M=0
- f(x)=|3-2x|
- f(x)=|-3ctg(x-2)|
- M
- M
- f(x)= √g(x)
- 0 ≤ √g(x) <+∞
- M=0
- M
- M
- f(x)= x
- f(x)= -2ln(3x-4)+3
- В более сложных случаях для того, чтобы определить мажоранту, нужно провести исследование функции, применяя различные методы . При этом можно использовать свойства неравенств, некоторые известные равенства и неравенства, определение возрастающей и убывающей
- функций и т. д.
- Теорема1. Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена на этом множестве числом А сверху, а g(x) ограничена на этом множестве тем же числом А, но снизу. Тогда уравнение f(x) = g(x) равносильно системе уравнений
- Теорема 2. Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) и g(x) ограничены на этом множестве снизу (сверху) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x) + g(x) = A+B равносильно системе уравнений
- Теорема 3. Пусть f(x) и g(x) – некоторые неотрицательные функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена сверху ( или снизу) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x)·g(x)= А·B равносильно системе уравнений (при условии, что A>0 и B>0)
- 1. Графический.
- Очевидно, что E (f) =[3;+∞].
- M
- 2. Аналитический.
- Оценим выражение
- 0 ≤ x² <+∞
- 1≤ x²+1<+∞
- 3≤ <+∞
- E (f) =[3;+∞].
- Очевидно, что графический
- способ не всегда удобен, так
- как может потребоваться
- строить графики очень
- сложных функций! Поэтому
- мы будем учиться решать
- такие задания аналитически!
- f(x)=
- 2
- 1
- 3
- x
- +
- 2
- 1
- 3
- x
- +
- 2
- 1
- 3
- x
- +
- Пример.
- Решение.
- 0 ≤ 3sin²x ≤ 3
- 1 ≤ 1 + 3sin ² x ≤ 4
- 0 ≤ log (1+3sin x) ≤ 2
- 0,25 ≤ 0,5 ≤ 1
- E(f) = [ 0,25; 1]
- Задания для самостоятельной работы.
- f(x)=
- 2
- 2
- log (1+3sin x)
- 0,5
- log (1+3sin x)
- 2
- 2
- 2
- 2
- 1) f(x) =
- 1
- 1-2
- 4
- x
- 2) f(x) =
- 3
- 7
- log
- 17+ 16+ lg x
- 3) f(x) =
- 8
- π
- ( (3sinx-cosx+2))
- arctg
- 1
- 4
- Задания для самостоятельной работы.
- Пример.
- Решение.
- 3 + 3 = log (4 -|x|)
- x
- -x
- 2
- 2
- 1
- 1
- 3
- 3
- 2
- log (4-|x|) ≤ 2.
- 3 + 3 = 2
- log (4-|x|) = 2
- ≥ 2 , то
- x
- а) Так как
- б) 4-|x|≤ 4
- a +
- x
- Из а), б) получим
- a
- +
- x
- ≥ 2.
- Ю
- м
- п
- п
- н
- п
- п
- о
- -x
-
- x = 0
- 1) 2 sinxcosx = sin46º
- 2) сos²(sinx)=1+ log (x²-6x+10)
- 3) 2 + 2 = -4x² - x²
- 1
- 4)
- x+1
- x²- 4x +5
- 1-x
- 1
- 10
- 1
- +
- x²- 4x +29
- 1,4
- =
- Пример.
- Решение.
- Правая часть неравенства
- не больше 1, левая –
- больше 1, значит, корней
- нет.
- Задания для самостоятельной работы.
- cosx - z³ ≥ y² +
- 3
- π
- а) 1≤ cosx ≤ 1
- - ∞< cosx - z ³ ≤ 1
- +
- - ∞< - z ³ ≤ 0
- б) y² + ≥ >1
- 3
- π
- π
- 3
- 1) 2 - 2cosx + y - x²-1 ≤0
- y
- 2) 2x + 2- x ² ≥ 3
- x ² -2x+2
- 2
- 3) x² + 4x + 6≤
- y ² - 6y +10
- 6
- 4) cos3x ≤ x +1
- Пример.
- Найти наибольшее целое
- значение c, при котором
- решение неравенства
- ||2x+4|-7|-13 ≤ 2c ²
- удовлетворяет условию
- x є [-37;35].
- Решение.
- -37 ≤ x ≤ 35
- -70 ≤ 2x+4 ≤ 74
- 0 ≤│2x+4│≤ 74
- 0 ≤ ││2x+4│-7│≤ 67
- -13 ≤ ││2x+4│-7│-13 ≤ 54
- Для выполнения неравенства,
- надо, чтобы -13≤2с²≤54.
- То есть наибольшее целое
- с=5.
- Задания для самостоятельной работы.
- 1) Найти сумму целых значений
- функции
- 2) Из множества значений функции
- удалили целые числа. Сколько
- получилось числовых
- промежутков?
- 2
- f(x)=3 36cos x -12sinx + 27
- 2
- sin2x + cos2x
- f(x)= 3+ 4arcsin
- Решите неравенство
- Решение.
- Так как, левая часть неравенства не больше1, а правая -
- равна 1, то
- 7 · log (6x-x ² -7) ≥ 1
- 2
- -|x- 3|
- a) 0 < 7 ≤ 1
- -|x-3|
- б) log (6x-x ²-7)=log (2-(x-3) ²) ≤ log 2 =1
- 2
- 2
- 2
- м
- п
- п
- н
- п
- п
- о
- log (6x-x ² -7) =1
- 2
- 7 = 1
- -|x- 3|
-
- x = 3
- 1. (2011 г.) cos ²(x+1) · lg(9-2x-x ²) ≥1.
- 2. ( ЕГЭ 2012. Типовые тестовые задания.
- Под редакцией А. Л. Семенова, И. В. Ященко)
- м
- п
- п
- н
- п
- п
- о
- 25 + 3 ·10 -4 · 4 > 0
- x
- x
- x
- log (x ² -12|x|+37) - log (x ² -12|x|+37 )≥ 0
- 1-
- 37
- 1+
- 37
- x²
- x²
- Удачи в изучении математики!
Математика - еще материалы к урокам:
- Презентация "Прототип В14. Исследование сложной функции, содержащей показательную, логарифмическую функции и функцию квадратный корень" 11 класс
- Самостоятельная работа "Задание В1 ЕГЭ. Простейшие текстовые задачи" 11 класс
- Презентация "Задание В1 ЕГЭ. Простейшие текстовые задачи" 11 класс
- Презентация "Теория вероятностей в заданиях ЕГЭ" 11 класс
- Презентация "Решение задач по теории вероятностей" 11 класс
- Проектно-исследовательская работа "Сколько весит портфель 5-классника?"