Разработка занятия "Решение «банковских» задач из структуры ЕГЭ" 11 класс
Разработка занятия по математике в 11 классе.
Тема: «Решение «банковских» задач из структуры ЕГЭ»
Тип урока: урок применения знаний на практике.
Форма урока: урок-практикум.
Цели: повторение теоретического материала – составление математической модели
практических задач, формирование практических навыков решения задач №17 единого
государственного экзамена.
Задачи:
- способствовать запоминанию основной терминологии, умению построить математическую
модель задачи;
- формировать умение упорядочить полученные знания для рационального применения;
- развитие вычислительных навыков учащихся;
-формирование логического мышления;
- способствовать развитию интереса к математике; умений применять новый материал на
практике и в жизни.
Оборудование к уроку: доска, компьютер с проектором.
Ход урока:
I. Организационный момент
Урок сопровождается компьютерной презентацией. (Сообщить тему и цели урока.)
Сегодня мы немного отвлечемся от стандартных логарифмов, интегралов, тригонометрии и
т.д., а вместе этого рассмотрим более жизненную задачу из ЕГЭ по математике, которая имеет
прямое отношение к нашей отсталой российской сырьевой экономике. А если быть точным,
мы рассмотрим задачу про вклады, проценты и кредиты. Потому что именно задачи с
процентами с недавних пор добавлены во вторую часть единого государственного экзамена
по математике. Сразу оговорюсь, что за решение этой задачи согласно спецификациям ЕГЭ
предлагается сразу три первичных балла, т. е. экзаменаторы считают эту задачу одной из
самых сложных.
II. Актуализация знаний учащихся
Фронтальная работа с классом –повторение теоретического материала:
1. Какую основную терминологию мы знаем при решении содержательных задач из
различных областей, в частности экономических?
S - сумма кредита (руб.)
k - процентная ставка (%)
Х- ежегодная выплата-- платеж (руб.)
п – срок кредита ( месяц, год)
m= 1+ 0,01k.
2. Что необходимо знать и понимать при решении задач на проценты:
1% - это одна сотая часть чего-либо;
За 100% принимаем ту величину, с которой сравниваем;
Формулы для подсчета процентов:
если величину S увеличить на k %, то получим S(1+0,01k)
если величину S уменьшить на k %, то получим S(1- 0,01k)
если величину S дважды увеличить на k %, то получим S(1+0,01k)
2
если величину S дважды уменьшить на k %, то получим S(1- 0,01k)
2
.
Примеры развития вычислительных навыков ( использовать рациональный метод
вычисления)
1,01*2975=
1,1*2618=
1,1*5945000=
3. Что необходимо знать и понимать при решении задач на погашение кредита
равными долями
Пусть размер кредита S.
Процент банка равен к%, а ежегодная выплата по кредиту равна Х.
Тогда через год после начисления процентов и выплаты суммы X размер долга равен: S(
1+0,01к ) - X.
Обозначим m= 1+ 0,01к.
• Тогда через два года размер долга составит: S
2
=(Sm – X)m-X
• Через три года: ((Sm – X)m-X)m – X.
• Через четыре года (((Sm – X)m-X))m – X)m – X.
• ...через п лет Sm
п
- X(m
п-1
+….m
3
+m
2
+m+1).
Для подсчета величины в скобках иногда применяется формула суммы n членов
геометрической прогрессии.
21
1
21
2
21
3
.....
21
17
21
18
21
19
21
20
1
40
1
40
2
40
3
.....
40
36
40
37
40
38
40
39
1
XSmS
1
)1(
234
4
mmmXSmS
)1(
23
3
mmXSmS
)1....(
231
mmmmXSmS
nn
n
Примеры для вычисления
k=5%, n=2 m=? Ответы m=1,05 m²=1,05²=1,1025
k=15%, n=2 m=? m²=1,15²=1,3225
k=14,5%, n=2 m=? m²=1,145²=1,311025
k=14,5%, n=2 m=? m³=1,2³=1,728
k=10%, n=3 m=? m³=1,1³=1,331
4. Вопросы на рассуждение
1) Общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в
кредит.
2) Чем больше годовой платеж, тем….. срок кредита.
3) Сумма кредита после полного погашения кредита стала 127 %.
4) 4.Может ли кредит в сумме 1 млн. рублей с 1% ставкой погашен за 9 месяцев с
ежемесячными платежами не более 125 тысяч рублей ?
III. Разбор задач на использование практических умений
На простейших «банковских» задачах с равными платежами построить математическую
модель.
Задача №1.
31 декабря Алексей планирует взять кредит на сумму 9282000 рублей.
Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга
Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя
равными платежами (то есть за 4 года)?
ответ:
Задача №2
В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей.
Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя
равными платежами (то есть за 3 года)?
Ответ:
Задача №3.
)1(
23
3
mmXSmS
1
23
4
mmm
Sm
X
Антон взял кредит в банке на срок 12 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма
оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную
ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце
каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась
равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита
на 13%. Найдите месячную процентную ставку. Ответ :
IV. Решение задач из открытого банка задач
Задача № 4.
15 января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график
его погашения.
Дата
15.01
15.02.
15.03
15.04
15.05
15.06
15.07
Долг (% от кредита)
100%
90 %
80 %
70 %
60%
50%
0%
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по
погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На
сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
Ответ: 22,5
Составление математической модели
Введем обозначения:
S сумма кредита, k – процентная ставка, m= 1+0,01k
Долг уменьшается до 0 значит последовательность долга по месяцам:
S, 0,9S, 0,8S, 0,7S, 0,6S, 0,5S , 0S
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на k%, это означает ,
что последовательность сумм долга с % такова:
mS, 0,9mS, 0,8mS, 0,7mS, 0,6mS, 0,5mS , 0mS
Следовательно, выплаты должны быть следующими:
mS- 0,9S, 0,9mS-0,8S, 0,8mS -0,7S, 0,7mS- 0,6S, 0,6mS- 0,5S , 0,5mS- 0S
Общая сумма выплат:
mS- 0,9S+ 0,9mS-0,8S+ 0,8mS -0,7S+0,7mS- 0,6S+0,6mS- 0,5S+0,5mS- 0S=
mS(1+0,9+0,8+0,7+0,6+0,5+0)- S(0,9+0,8+0,7+0,6+0,5+0)= 4,5mS- 3,5S
4,5*1,05S- 3,5S=1,225S
1,225S/S*100%= 122,5% k=22,5 %
)
200
13
1(
12
k
SS
Ответ 22,5
Задача №6
В январе был выдан кредит на сумму 15млн.рублей на развитие бизнеса. В таблице
представлен график его погашения
Дата
февраль
март
апрель
май
июнь
июль
Долг (% от кредита)
100%
75 %
65 %
50 %
25%
0%
В конце каждого месяца, начиная с марта, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по
погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля.
Сколько рублей было переплатил бизнесмен при таких условиях кредита?
Ответ: 23625000
Задание№7. Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен
вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга
добавляется к % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавлен-
ные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг
уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схе-
мой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем
банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит.
Найдите к.
Решение.
Пусть сумма кредита равна S .
По условию долг Алексея должен уменьшаться до нуля равномерно:
К концу каждого месяца к сумме долга добавляется m % . Пусть m=1+0.01k Тогда последо-
вательность сумм долга вместе с процентами такова:
Следовательно, выплаты должны быть следующими:
Всего следует выплатить:
Общая сумма выплат оказалась на 13% больше суммы, взятой в кредит, поэтому:
Откуда получаем, что k=2 %
От в е т: 2.
V. Самостоятельная работа
1 вариант
12
,
12
2
,
12
3
....,
12
10
,
12
11
,
mSmSmSmSmS
mS
12
)1(
,
12
)1(2
...,
12
)1(10
,
12
)1(11
,
12
)1(
SSmSSmSSmSSmS
Sm
)5,55,6()
12
1
12
2
...
12
9
12
10
12
11
1()1( mSSmS
SmS 13,1)5,55,6(
13,15,55,6 m
02,1m
0,
12
,
12
2
,
12
3
....,
12
10
,
12
11
,
SSSSS
S
1. Построить математическую модель
В июле планируется взять кредит на сумму 4026000 рублей. Условия его возврата
таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом прошлого года.
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью
погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года) по сравнению со случаем, если
кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?
2. Решить задачу
Задание 17 № 506957. Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого
месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на
сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбира-
ются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то
есть на одну и ту же величину.
Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем
банку (сверх кредита)?
2 вариант
1. Построить математическую модель
В июле планируется взять кредит на сумму 8052000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга
Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя
равными платежами (то есть за 4 года)?
2. Решить задачу
Задание 17 № 509004. Алексей взял кредит в банке на срок 17 месяцев. По договору Алек-
сей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшей-
ся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей пога-
шает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбира-
ются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике
такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что
общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 27 %
больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.
Собрать работы учащихся для проверки.
VI. Подведение итогов
«Банковские» задачи на ЕГЭ — это достаточно сложные задачи под номером 17. С ними
справится каждый. Для решения задачи 17 в варианте ЕГЭ понадобятся самые основные
формулы вычисления выплат, сумм, процентной ставки, вычислительные навыки, умения
детализировать и привести к простейшему виду громоздкое выражение.
Основная формула всего одна — это вычисление размера долга в зависимости от срока кредита.
В общем, учитесь решать задачи на вклады и кредиты, готовьтесь к экзаменам и сдавайте их
«отлично».
Домашнее задание
( из Решу ЕГЭ)
Задание 17 . 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его воз-
врата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего ме-
сяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-
е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кре-
дита 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Задание 17 . 15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его воз-
врата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего ме-
сяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-
е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кре-
дита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Задание 17 . Алексей взял кредит в банке на срок 17 месяцев. По договору Алексей должен
вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга
добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавлен-
ные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг
уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схе-
мой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем
банку за весь срок кредитования, оказалась на 27 % больше, чем сумма, взятая им в кредит.
Найдите r.
Задание 17 . Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая
сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную
Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате
сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.
Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем банку
(сверх кредита)?
Литература.
1. Интернет ресурсы: сайт Решу ЕГЭ
2. Методические рекомендации по оцениванию выполнения заданий ЕГЭ с развернутым
ответом. М: 2015 г.
