Презентация "Математическая основа покадровой анимации"

С помощью компьютера в настоящее время решаются многие задачи геометрического характера, к таким задачам можно отнести основы покадровой анимации.

Задачи исследования:

• Доказать, что математика является основой покадровой анимации.
• Изучить элементы векторной алгебры и аналитической геометрии, применить на практике числовые методы решения математических задач
• Выполнить расчеты для покадрового изменения простейших геометрических фигур.

История развития компьютерной графики началась уже в 20 веке и продолжается сегодня. Не секрет то, что именно графика способствовала быстрому росту быстродействию компьютеров. В 1940-1970гг (эра до персональных компьютеров) были заложены математические основы.

Процесс воспроизведения и обработки изображения

представление геометрических изображений

подготовка изображений к воспроизведению

взаимодействие конструктора с изображением

На плоскости точку представляют с помощью дву ее координат.

Последовательность точек геометрического объекта, каждая из которых характеризуется значением координат вектора относительно выбранной системы координат, может быть представлена как матрица чисел. Положением этих точек управляют путем преобразования матрицы.

Предположим, что b = c = 0

В результате получаем изменение масштабов в направлениях х и у.

Предположим, что b = c = 0, d = 1 и а = –1

происходит отображение точки относительно оси у.

Если b = c = 0, а = d < 0,то отображение будет происходить относительно начала координат.

Нам необходимо создать движущуюся анимированную фигуру, которая будет уменьшаться в точку H(-3;-2). Обозначим каждую фигуру цифрой.

Исследование

1

3

2

4

6

5

Выполним пять кадров движения. В каждом кадре происходят следующие операции:

• Найти G – центр фигуры. Тогда в каждом кадре сначала происходит смещение Tb плоскости на вектор.
• b=GO(О- начало координат). При этом центр квадрата совмещается с началом координат.
• Затем происходит равномерное масштабирование плоскости с коэффициентом, зависящим от номера кадра: в первом кадре это 0.8, во втором 0.6 и т.д.
• Масштабированный квадрат возвращается в точку, промежуточную между G и H.
• Вектор bk соответствующей трансляции так же зависит от номера кадра (k):

bk=-b+(k/10)a;

где а – это вектор, соединяющий центр фигуры с точкой H.

Алгоритм действий

Перемещение 1 квадрата – «Тело»

G(6;5)

H(-3;-2)

a=GH=(-9;-7)

b=GO=(-6;-8)

При перемещение сложной фигуры я предположила, что при вычислениях у всех квадратов отрезок а=GH должен быть одинаковым.

Вычисления

Кадр 1

b1=(6;8)+1/5(-9;-7)=(4,2;3,6)

Точка А(1.2; 3; 1)

Точка В (3.6; 3.4; 1)

Точка С(1.2; 1; 1)

Точка D(3.6; 1; 1)

Кадр 2

b2=(6;8)+2/5(-9;-7)=(2,4;2,2)

Кадр 3

b3=(6;8)+3/5(-9;-7)=(0,6;0,8)

Точка А(-0.2; 1.6; 1)

Точка В (1.4; 1.6; 1)

Точка С(1.4; 0; 1)

Точка D(-0.2; 0; 1)

Кадр 4

b4=(6;8)+4/5(-9;-7)=(-1,2;-0,6)

Точка А(-1.6; -0.2; 1)

Точка В (-0.8; -0.2; 1)

Точка С(-0.8; -1; 1)

Точка D(-1.6; -1; 1)

По аналогии с квадратом 1 производится расчет перемещения 2 квадрата – «Голова». Выполнив данные расчеты я увидела, что моя гипотеза оказалась не верна

Кадр 5

b5=(6;8)+5/5(-9;-7)=(-3;-2)

Точка А(-3;-2; 1)

Точка В (-3;-2; 1)

Точка С(-3;-2; 1)

Точка D(-3;-2; 1)

После я предположила, что все квадраты должны перемещаться в одну точку H(-3;-2), т.е. для них не существует универсального показателя a=GH. Следовательно, при расчете каждого квадрата значение отрезка a=GH будет различным.

Перемещение 1 квадрата мы оставляем таким же, а вот 2 изменяем.

H(-3;-2)

Вычисления

Кадр 1

1=

Точка А(3.4; 6.8; 1)

Точка В (5; 6.8; 1)

Точка С(5; 5.2; 1)

Точка D(3.4; 5.2; 1)

Кадр 2

Точка А(1.8; 4.6; 1)

Точка В (3; 4.6; 1)

Точка С(3; 3.4; 1)

Точка D(1.8; 3.4; 1)

Кадр 3

Точка А(0.2; 2.4; 1)

Точка В (1; 2.4; 1)

Точка С(1; 1.6; 1)

Точка D(0.2; 1.6; 1)

Кадр 4

Точка А(-1.4; 0.2; 1)

Точка В (-1; 0.2; 1)

Точка С(-1; -0.2; 1)

Точка D(-1.4; -0.2; 1)

Аналогично рассчитывается перемещение остальных квадратов.

При перемещении изображения, состоящего из двух и более геометрических фигур,в каждом соответствующем кадре будет равным.

.

Кадр 5

Точка А(-3;-2; 1)

Точка В (-3;-2; 1)

Точка С(-3;-2; 1)

Точка D(-3;-2; 1)

Перемещение круга рассчитывается так же, как и квадрат, только вместо нахождения координат точек, которые являются вершинами квадрата, изменяется длина радиуса окружности.

G(6;8)– координаты центра исходной окружности

H(-3;-2)

a=GH=(-9;-10)

b=GO=(-6;-8)

Кадр 1

b1=(6;8)+1/5(-9;-10)=(4,2;6) – координаты центра окружности

r=0.8

Кадр 2

b2=(6;8)+2/5(-9;-10)=(2,4;4)

r=0.6

Кадр 3

b3=(6;8)+3/5(-9;-10)=(0,6;2)

r=0.4

Кадр 4

b4=(6;8)+4/5(-9;-10)=(-1,2;0)

r=0.2

Кадр 5

b5=(6;8)+5/5(-9;-10)=(-3;-2)

r=0

Вычисления

В ходе проведённого информатико-математического исследования на примере создания покадровой анимации мы ещё раз убедились, что математика является основой компьютерной графики и требует серьезного изучения.

Спасибо за внимание!