Ученики на Учителя.com


Исследовательская работа "Изучение параметров футбольного мяча" 9 класс

1
Автор работы:
Кондрашов Иван, 8 класс, 1 взвод
МБОУ лицея имени генерал-майора
В.И. Хисматулина
Научный руководитель:
Гнусина Марина Николаевна,
учитель математики и информатики
г. Сургут, 2016 г.
2
Содержание
Введение ......................................................................................................................... 3
Основная часть. ............................................................................................................. 4
Историческая справка ...................................................................................................... 4
Мяч ..................................................................................................................................... 6
Платоновы тела ................................................................................................................. 7
Архимедовы тела .............................................................................................................. 7
Футбольный мяч – вовсе не шар ..................................................................................... 8
Практическая часть. ...................................................................................................... 9
Создание информационной модели «Многогранники» ............................................... 9
Построение информационной модели усеченного икосаэдра .................................. 10
Сравнительный анализ объема правильных многогранников с объемом описанной
сферы ............................................................................................................................... 12
Создание материальной модели футбольного мяча из бумаги ................................ 12
Заключение ................................................................................................................... 13
Литература ................................................................................................................... 14
Приложения ................................................................................................................. 15
3
Введение
Правильных многогранников вызывающе мало, но
этот весьма скромный по численности отряд сумел
пробраться в самые глубины различных наук.
Л.Кэрролл
Сегодня, наверно, нет человека в мире, который бы не знал что такое футбол. Одни играют
сами, другие предпочитают смотреть и болеть.
Что может быть проще мяча?! А, между прочим, на создание этой простой и
совершенной конструкции люди потратили не одну сотню лет. Зато сейчас любой человек,
начиная с младенческого возраста, имеет представление о мяче.
Чем же он замечателен?
Наблюдая за игрой любимой команды, большинство из нас даже не задумываются об одном
из самых важных элементов игры – футбольном мяче. Казалось бы, чего о нем думать? Резиновый
шар, накачанный воздухом и обшитый прочной оболочкой – таким он представляется
большинству людей. На самом же деле, технология производства мяча и качество материала
интенсивно преобразуется на протяжении уже более 150 лет.
Какова же технология создания футбольного мяча? Какова его форма и параметры?
Цель: изучить форму и параметры футбольного мяча и построить материальную и
информационную модели футбольного мяча.
Задачи: изучить Платоновы тела и их свойства; рассчитать параметры правильных
многогранников и футбольного мяча заданного размера; создать информационную модель
футбольного мяча (усеченного икосаэдра) в программе Microsoft Excel.; научиться строить
материальную модель футбольного мяча (усеченного икосаэдра) из бумаги, учитывая расчетные
данные информационной модели; провести сравнительный анализ разности объемов правильных
многогранников и описанной около них сферы.
Оборудование: бумага, клей ПВА, циркуль, линейка, ножницы, компьютер.
Объект исследования - параметры футбольного мяча.
Предмет исследования – Платоновы тела.
Гипотеза исследования: объем усеченного икосаэдра максимально приближен к
значению объема сферы описанной около него.
Методы исследования:
анализ литературы;
моделирование объекта;
расчет данных;
анализ полученных результатов;
практическая работа в программе MS Excel
4
Основная часть.
Историческая справка
Ритуальные игры с мячом давно были распространены на всех континентах.
В подобие игры, которую нынче называют футболом, люди играли еще с древних времен.
Пожалуй, самым основным элементов в этих играх был мяч.
Существуют сведения, что первые мячи, которые более-менее походили на современные,
изготавливались из мочевых пузырей животных. Однако подобный материал, как и сами мячи,
быстро приходил в непригодность, если по ним наносили достаточно сильные удары.
Его история начинается еще с Древнего Китая, где мячи шили из кожаных мешков набитых
шерстью или перьями. Древнее римляне мячи наполняли песком, потому они получались намного
тяжелее их китайских братьев. Мексиканские ацтеки использовали вместо мяча камень, который
оборачивали специальным прорезиненным материалом. Древние викинги были завоевателями, а
значит и футбол у них был особый, вместо мяча они использовали головы своих пораженных врагов.
В Средневековье чаще всего в качестве мяча использовали емкости для вина, которые
делались из кожи. Форма и размеры этих мячей были разные, а значит и отскок при ударе был
непредсказуем, что делало игру динамичной и быстрой. Основным правилом тех времен было, как
можно дольше продержать мяч в воздухе. Игра в мяч в это время была жестокой и он, в основном, не
доживал до конца, со временем пузырь начали обшивать кусками кожи животных, это существенно
удлинило ему жизнь.
Самый старый мяч, который сохранился до наших дней, находится в шотландском замке
Стирлинга, ему больше 450 лет. Он сделан из свиного пузыря и обшит кусками кожи.
Древние кожаные мячи были найдены при раскопках в Англии и Греции. Согласно преданиям
античности, первый мяч дала Эросу богиня Афродита, сказав ему такие слова: «Я дам тебе чудесную
игрушку: это шар быстро летучий, иной лучшей забавы ты не добудешь из рук Гефеста». В
зависимости от ритуала мяч мог символизировать и Солнце, и Луну, и Землю, и даже полярное
сияние. У индейцев это игра называлась Тапа Банка Яп, у эскимосов тунгатгак, у китайцев цуцзю, а у
итальянцев кальчо.
Настоящим прорывом в изготовлении мячей стал, запатентованый в 1836 году Чарльзом
Гудиером вулканизированный каучук, на основании которого в 1855 году был спроектирован
совершенно новый футбольный мяч, он сохранился до наших дней и красуется в национальном
Американском футбольном зале славы (Приложение 1).
Удачную альтернативу свиному пузырю в 1862 году изобрел Ричард Линдон, заменив его
резиновой камерой. Эта камера завоевала наивысшую награду на выставке в Лондоне. С этого
момента и началось серийное производство мячей, бизнесом занялись такие компании как «Mitre» и
5
«Thomlinson’s of Glasgow». Они изготовляли мячи для Футбольной лиги Англии. Цена зависела от
качества кожи, которая использовалась для мяча. С 1872 года по 1937 год вес футбольного мяча
составлял 368-425 г, сегодня вес увеличили до 410-450 г.
Внешняя оболочка мяча состояла с 18 кожаных секций, которые сшивались между собой
конопляной веревкой с пяти слоев. Со временем качество камеры улучшилось, и она стала
выдерживать сильные удары, что существенно повысило износостойкость мяча, а значит и качество
футбола.
Такие мячи нам сегодня показались бы жутко неудобными, так как они не были идеально
круглыми, а натуральная кожа впитывала воду и заметно тяжелела.
В послевоенное время мяч модернизировали плотной тканевой прослойкой между камерой и
внешним слоем, что позволило ему лучше держать форму, внешнюю кожу сменили на синтетику и
непористые материалы.
В 1951 году появились мячи белого и оранжевого цвета, которые были лучше заметны при
плохом осветлении и на снегу соответственно.
«Buckyball» — современный футбольный мяч (20 шестиугольников и 12 пятиугольников)
изобрёл архитектор с Америки Ричард Бакминстер, обдумывая как минимизировать количество
материалов для строительства зданий.
В 1970 году компания Adidas выпустила первый официальный мяч футбольного Кубка Мира и
назвала «Telstar», с того времени компания постоянно экспериментирует с формами и материалами,
которые используются для изготовления футбольных мячей.
Последней разработкой Adidas стал мяч «Tango-12», он был официальным мячом Евро 2012,
дизайн которого позаимствован у модели мяча «Tango» 70-х годов.
Первые единые правила и регламент игры в футбол определился в командах частных школ и
университетов Оксфорда и Кембриджа. До того почти каждая школа и каждый футбольный клуб
имели свои собственные своды правил. В 1846 году была предпринята первая серьёзная попытка
унифицировать свод футбольных правил. Уинтон и Джон Чарльз Тринг из Кембриджского
университета на встрече с представителями частных школ с целью сформулировать и принять свод
единых правил, приняли документ, опубликованный под названием «Кембриджские правила». Они
были одобрены большинством школ и клубов, и позднее (с незначительными изменениями) их
приняли за основу правил Футбольной ассоциации Англии. Игры в футбол того времени не
ограничивались стенами частных учебных заведений, а были популярны у гораздо более широких
слоев населения.
В начале 1880-х произошло ещё одно событие, оказавшее значительное влияние на развитие
современного футбола — появление первых профессионалов. В июле 1885 года профессиональный
футбол был легализован.
30 ноября 1872 г. состоялась первая официальная международная встреча сборных Англии и
Шотландии, завершившаяся нулевой ничьей. К 1882 году существовало четыре футбольные
6
ассоциации: Англии, Шотландии, Уэльса и Ирландии. Эти организации в том же году создали
Международный совет футбольных ассоциаций, призванный контролировать изменения правил
игры. Начиная с сезона 1883/1884 гг. частью британского футбольного календаря стал чемпионат
Великобритании, в котором участвовали сборные этих четырёх стран.
21-й Чемпионат мира по футболу 2018, финальная часть которого, должна пройти в
России с 14 июня по 15 июля 2018 года. Россия в первый раз в своей истории станет страной-
хозяйкой мирового чемпионата по футболу, кроме того, он впервые будет проведён в Восточной
Европе. Также в первый раз Мундиаль состоится на территории двух частей света — Европы и Азии
и впервые на территории бывшего Советского Союза.
Проведение чемпионата запланировано на 12 стадионах в 11 городах России:
1) Москва
2) Калининград
3) Санкт- Петербург
4) Волгоград
5) Казань
6) Нижний Новгород
7) Самара
8) Саранск
9) Ростов-на-Дону
10) Сочи
11) Екатеринбург
Мяч
В соответствии с новыми правилами, футбольный мяч должен иметь сферическую форму с
объёмом (длиной окружности) от 68,6 до 71,7 см. Масса мяча могла колебаться в пределах от 368 до
425 граммов. В 1973 году масса мяча была увеличена до 410—450 граммов, и с того момента это
правило останется неизменным и по сегодняшний день. Мяч состоял из внутренней камеры и
покрышки. Покрышка изготавливалась из натуральной кожи и состояла из 18 сшитых между собой
панелей (Приложение 2). Ниппель был скрыт под шнуровкой. В начале 1960-х был изготовлен
полностью синтетический футбольный мяч. Натуральная кожа всё ещё находила применение в
производстве, но в конце 1980-х синтетические материалы полностью её заменили. Изначально
покрышка изготовлялась из натуральной кожи. Сейчас в основном применяют синтетику, поскольку
кожа впитывает воду и мяч набирает вес. Большинство современных мячей состоят из 32
водонепроницаемых панелей. Панели футбольного мяча сшивают нитками ручным или машинным
способом или склеивают.
Сферическая форма придаётся мячу за счёт давления воздуха, закачанного внутрь. Первый
такой мяч был произведён в Дании в 1950 год фирмой Select и получил в Европе широкое
распространение. Всемирно стал употребляться после чемпионата мира 1970 года, на котором
были такие мячи.
7
Платоновы тела
Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной
деятельности - от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика.
Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие -
в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа.
Правильные многогранники с древних времен привлекали внимание философов, строителей,
архитекторов, художников, математиков. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур.
Существует только пять правильных многогранников, а их гранями могут быть только три
типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны.
Эти правильные многогранники получили название Платоновых тел (Приложение 3).
Первое из них - это тетраэдр. Его гранями являются четыре равносторонних треугольника. Тетраэдр
имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского
правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных
многоугольников. Следующее тело - это гексаэдр, называемый также кубом. Гексаэдр имеет шесть
граней, представляющие собой квадраты. Гранями октаэдра являются правильные треугольники и
их число в октаэдре равно восьми. Следующим по количеству граней является додекаэдр. Его
гранями являются пентагоны и их число в додекаэдре равно двенадцать. Замыкает пятерку
Платоновых тел икосаэдр. Его гранями являются правильные треугольники и их число равно 20.
В древности Платоновы тела ассоциировались с природными стихиями. Тетраэдр
олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разогревшегося пламени.
Икосаэдр, как самый обтекаемый символизирует воду. Куб- самая устойчивая фигура, символизирует
землю. Октаэдр – воздух.
В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества: твердым,
газообразным, жидким и пламенным
Пятый многогранник, додекаэдр, символизировал весь мир и почитался главнейшим.
Архимедовы тела
Полуправильные многогранники — в общем случае это различные выпуклые
многогранники, которые, не являясь правильными, имеют некоторые их признаки, например: все
грани равны, или все грани являются правильными многоугольниками, или имеются определённые
пространственные симметрии. Определение может варьироваться и включать различные типы
многогранников, но в первую очередь сюда относятся архимедовы тела (Приложение 4).
Уделим особое внимание усеченному икосаэдру. Ведь именно этот полуправильный
многогранник определяет форму футбольного мяча.
8
Футбольный мяч – вовсе не шар
Хотя считается, что футбольный мяч - это шар, на самом деле он представляет собой
многогранник, который, будучи заполненным воздухом, принимает форму, близкую к сферической.
Футбольный мяч - это усеченный икосаэдр, гранями которого являются 20 правильных
шестиугольников и 12 правильных пятиугольников. Это архимедово тело имеет 32 грани, 90 ребер и
60 вершин.
Поверхность классического футбольного мяча состоит из «слегка искривлённых» 12
правильных пятиугольников чёрного цвета и 20 правильных белых шестиугольников. Модель мяча
можно представить себе следующим образом. Из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных
шестиугольников с равными сторонами можно сложить многогранник, называемый усечённым
икосаэдром.
Икосаэдр — один из пяти правильных многогранников. Его название происходит от
древнегреческих слов είκoσι— двадцать, έδρα — основание. У икосаэдра 12 вершин, 20 граней —
правильных треугольников и 30 рёбер. (Приложение 5)
«Отрежем» (отсечём) вершины икосаэдра, отступив от вершин вдоль прямых, направленных
в центр, на столько, чтобы оставшиеся части граней были правильными шести- угольниками.
Очевидно, что срезы будут правильными пятиугольниками. Получившаяся фигура и есть усечённый
икосаэдр.
Усечённый икосаэдр — один из полуправильных многогранников. Так называются
многогранники, у которых все грани — правильные многоугольники нескольких разных типов (в
отличие от правильных многогранников, все грани которых — одинаковые правильные
многоугольники), а все вершины устроены «одинаково», т. е. многогранные углы при вершинах
равны (совместимы).
Он занимает 86,74% объема описанной около него сферы, а будучи заполненным воздухом -
почти 95% ее объема. Хотя были изучены (и изготовлены) мячи другой формы, сегодня усеченный
икосаэдр по-прежнему остается идеальной моделью футбольного мяча.
При «наполнении воздухом» усечённого икосаэдра он принимает форму сферы, становится
футбольным мячом. При этом вершины усечённого икосаэдра совпадут с «вершинами мяча», рёбра
перейдут в швы, а грани — в «слегка искривлённые» многоугольники на поверхности мяча. Таким
образом, получится модель мяча — центральная проекция усечённого икосаэдра на сферу
(Приложение 6).
9
Практическая часть.
Создание информационной модели «Многогранники»
Информационная модель представляет собой табличные данные созданные в программе
Microsoft Excel. Информационная модель «Многогранники» состоит из нескольких листов:
(Приложение 7)
Правильные многогранники;
Тетраэдр;
Гексаэдр (куб);
Октаэдр;
Додекаэдр;
Икосаэдр;
Усеченный икосаэдр;
Сравнительный анализ.
Лист «Правильные многогранники» состоит из меню, содержащего гиперссылки,
осуществляющие переход на соответствующую названию многогранника страницу документа.
Листы «Тетраэдр», «Гексаэдр», «Октаэдр», «Додекаэдр», «Икосаэдр», «Усеченный
икосаэдр» содержат информацию о параметрах многогранника, которые вычисляются с помощью
формул (Таблица 2). Параметры, на странице вычисляются в зависимости от введенного значения
длины ребра а многогранника. Значения вычислений оформляются в таблице, из которой потом они
используются для аналитического анализа в листе «Сравнительный анализ».
Таблица 1.
Основные элементы правильных многогранников.
Название
многогранника
Грань
Количество граней
Тетраэдр
Треугольник
4
Гексаэдр (куб)
Квадрат
6
Октаэдр
Треугольник
8
Додекаэдр
Пентагон
12
Икосаэдр
Треугольник
20
Усеченный икосаэдр
Шестиугольник
20
Пятиугольник
12
Если за длину ребра многогранника принять , то для расчета параметров правильных
многогранников, можно использовать формулы, сведенные в нижеприведенную таблицу:
Таблица 2.
Параметры правильных многогранников.
Название
многогранника
Площадь
грани
Площадь
полной
поверхности
Объем тела
Радиус
вписанной
сферы
Радиус
описанной
сферы
Тетраэдр
4
3
2
a
3
2
a
12
2
3
a
12
6a
4
6a
Гексаэдр (куб)
2
a
2
6a
3
a
2
a
2
3a
Октаэдр
4
3
2
a
32
2
a
3
2
3
a
6
6a
2
2a
Додекаэдр
4
)525(5
2
a
)525(53
2
a
4
)5715(
3
a
10
51125
2
a
4
5618a
Икосаэдр
4
3
2
a
35
2
a
12
)53(5
3
a
12
3)53( a
4
5210a
Построение информационной модели усеченного икосаэдра
Наибольшую проблему с вычислениями параметров представляет усеченный икосаэдр.
Усеченный икосаэдр – это полуправильный многогранник, получаемый усечением вершин
икосаэдра. В процессе усечения грани икосаэдра превращаются в правильные шестиугольники, а на
месте удаленных вершин появляются правильные пятиугольники.
Если принять ребро икосаэдра, у которого будут усечены вершины за а, то параметры
усеченного икосаэдра можно будет определять следующими формулами:
Определение площади грани –шестиугольника:
2
33
4
3
6
22
6
аа
S
Определение площади грани – пятиугольника:
4
)525(5
2
5
а
S
Площадь полной поверхности усеченного икосаэдра:
330)525(53
2
33
20)525(5
4
12
22
22
.
аа
aa
S
икосаэдраус
Объем усеченного икосаэдра определяется, как разность объема икосаэдра с ребром длины а
и двенадцати объемов правильных пятиугольных пирамид с длиной ребра, составляющей треть от
ребра икосаэдра.
пирам идыпятиугикосаэдраикосаэдраус
VVV
..
12
Определим объем отсеченной пирамиды.
Учитывая, что длина ребра пятиугольника а, и радиус описанной окружности около грани
пятиугольника определяется формулой
5
180
sin2
0
5
a
R
, имеем
0
5
36sin2
a
R
. По теореме Пифагора
высота пятиугольной пирамиды
2
5
2
5
Rah
Объем отсеченной пятиугольной пирамиды :
.
2
0
2
2
55
)
36sin2
(
4
)525(5
3
1
3
1 a
a
a
hSV
сеч
Итак,
2
0
3
)
36sin2
1
(1)525(5
12
1
aV
сеч
Объем усеченного икосаэдра:
2
0
3
3
.
)
36sin2
1
(1)525(5
12
)53(5
a
a
V
икосаэдраус
Радиус вписанной сферы усеченного икосаэдра:
сечикосаэдраикосаэдраус
hRr
.
2
0
.
)
36sin2
1
(1
4
52103
а
a
r
икосаэдраус
По теореме Пифагора радиус описанной около усеченного икосаэдра сферы равен:
2
.
2
.. гранипятиугикосаэдраусикосаэдраус
RrR
;
2
0
2
..
)
36sin2
(
a
rR
икосаэдраусикосаэдраус
Таблица3.
Параметры усеченного икосаэдра
Параметр
Формула
Ребро икосаэдра
а3
Ребро усеченного икосаэдра
а
Площадь пятиугольной грани
4
)525(5
2
5
а
S
Площадь шестиугольной грани
2
33
2
6
a
S
Площадь полной поверхности
330)525(53
22
.
ааS
икосаэдраус
Радиус вписанной сферы
2
0
.
)
36sin2
1
(1
4
52103
а
a
r
икосаэдраус
Радиус описанной сферы
2
0
2
..
)
36sin2
(
a
rR
икосаэдраусикосаэдраус
Объем усеченного икосаэдра
2
0
3
3
.
)
36sin2
1
(1)525(5
12
)53(5
a
a
V
икосаэдраус
Сравнительный анализ объема правильных многогранников с объемом
описанной сферы
Самая оптимальная форма, которую мог бы иметь футбольный мяч, является сфера, или
шарообразная оболочка. Но если накачивать резиновый мяч воздухом для игры в футбол, то при
ударе ногой он не будет долговечным из за своей непрочности. Для этого резиновую камеру мяча
обшивают кожаным кожухом, который имеет наибольшую прочность. Какой же оптимальной формы
должен быть мяч. То, что он имеет форму правильного или полуправильного многоугольника можно
не сомневаться. Только такие многоугольники имеют несколько осей симметрии, что позволяет мячу
вращаться двигаться по заданной игроком траектории.
Проведем анализ, при какой же форме мяч будет иметь оптимальный объем.
Используя полученные данные, сравним объемы многогранников с объемом описанной
сферы, определяемой по формуле:
3
3
4
RV
мяча
Процентная разница между объемами многогранника и описанной около него сферы
определяем по формуле:
%100
никамногоуголь
никамногоугольсферы
V
VV
На листе «Сравнительный анализ» производится сравнение полученных объемов
многогранников с объемом описанной вокруг многогранника сферы и представляется в процентном
соотношении в таблице значения которой подтверждают предполагаемую гипотезу (Приложение 8).
Создание материальной модели футбольного мяча из бумаги
Для того чтобы собрать икосаэдр из листа бумаги или картона, необходимо предварительно
подготовить следующие материалы:
макет икосаэдра;
клей ПВА;
ножницы;
линейка.
Технология создания материальной модели икосаэдра:
1.Создаем на листе бумаги макет развертки икосаэдра. Можно создать несколько вариантов
разверток икосаэдра, которые, переносим на плотную бумагу или картон (Приложение 9).
2.Для построения макета развертки икосаэдра, состоящей из двадцати треугольников с заданной
длиной ребра, используем алгоритм построения правильного треугольника (Приложение 10).
3.Вырезаем макет развертки икосаэдра по пунктиру. Это необходимо для того, чтобы было
свободное место для склеивания деталей между собой.
1.
2.
4.Складываем икосаэдр по сплошным линиям (Приложение 11).
5.С помощью клея проклеиваем места, очерченные пунктирной линией, и соединяем между собой
соседние стороны треугольников, пол
Технология создания материальной модели футбольного мяча ( усеченного икосаэдра:
1.Футбольный мяч можно сделать, создав предварительно развертку усеченного икосаэдра
(Приложение 12)
2.Для построения макета развертки усеченного икосаэдра с заданной длиной ребра, используем
расчетные данные из информационной модели «Параметры правильных многогранников».
3.Для построения граней макета развертки усеченного икосаэдра используется алгоритм
построения правильного шестиугольника (Приложение 13) и алгоритм построения
правильного пятиугольника (Приложение 14).
4.Усеченный икосаэдр будет состоять из 20 граней – правильных шестиугольников и 10 граней
правильных пятиугольников. Складываем усеченный икосаэдр по сплошным линиям
(Приложение 15).
5.С помощью клея проклеиваем места, очерченные пунктирной линией, и соединяем между
собой соседние стороны граней.
Создание икосаэдра своими руками представляет интересный процесс, который требует
вдумчивости, терпения и большого количества бумаги. Этот процесс формирует образное мышление,
пространственные навыки, и знакомит с миром геометрии.
Заключение
В результате выполнения работы были изучены Платоновы тела и тела Архимеда. На
основе свойств правильных многогранников (Платоновых тел), были созданы материальная модель
икосаэдра, усеченного икосаэдра (футбольного мяча) из бумаги. Изучены и рассчитаны основные
параметры правильных многогранников и усеченного икосаэдра, зависящих от длины ребра:
площади граней и полной поверхности, объем многогранника, радиусы описанной и вписанной
сферы. При проведении сравнительного анализа было получено, что объем усеченного икосаэдра
максимально приближен к объему описанной около него сферы (12%), что полностью подтверждает
выдвинутую гипотезу. При накачивании футбольного мяча эта разница уменьшается до 5%.
Планы и перспективы: продолжить изучение правильных (Платоновых тел) и
полуправильных многогранников (Архимедовых тел) с помощью магнитных шариков «нано куба» и
разработать информационные модели разверток правильных и полуправильных многогранников в
3D графических редакторах.
Литература
Энциклопедии
1. Математика: Школьная энциклопедия – 2003
Книги
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия 10-11 класс – 2008. - №14
3. Веленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия – 1996
4. Гончар В. В., Гончар Д. Р. Модели многогранников. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2010. — 143 с
5. Депман И.Я. ,Веленкин Н.Я. За страницами учебника математики – 1989
6. Журин А.А. Учимся работать на компьютере. -М.: Лист, 2006
7. Индейкин В. В. Табличный редактор Microsoft Excel. Учебное пособие. – Казань, 2005.
8. Математическая составляющая(М., 2015)
9. Многогранники. Волшебные грани - наборы для сборки моделей многогранников. —
Москва: Многогранники, 2012. — С. 20
10. Паповский В.М. Углубленное изучение геометрии в 10-11 классах
11. Симанович С.В., Евсеев Г.А., Алексеев А.Г. Специальная информатика. Учебное пособие.-
М.:АСТ-ПРЕСС КНИГА; Инфорком-Пресс, 2006г.
12. Харт-Дэвис Г. Microsoft Office. Excel 2003. –Москва АСТ-Астрель 2005г.
Интернет- ресурсы
13. http://etudes.ru -сайт «Математические этюды»
14. http://womanadvice.ru/kak-sdelat-ikosaedr-iz-bumagi#ixzz3xs0RXrqv как сделать икосаэдр из бумаги
15. https://www.nkj.ru/archive/articles/27921 Наука и жизнь, №1, 2016-01-21
Приложения
Приложение 1 Приложение 2
Мяч Чарльза Гудиера. Структура футбольного мяча
Первый матч английской Футбольной лиги
Приложение 3
Приложение 4.
Архимедовы тела.
Кубооктаэдр. Икосододекаэдр. Усеченный тетраэдр. Усеченный октаэдр.
Усеченный икосаэдр. Усеченный куб. Усеченный додекаэдр. Ромбокубоктаэдр.
Ромбоикосододекаэдр. Ромбоусеченноый кубооктаэдр. Ромоусеченный икосододекаэдр. Курносый куб.
Дельтоидальный Дельтоидальный Пентагональный Пентагональный
икоситетраэдр гексеконтаэдр икоситетраэдр гексекотаэдр
Курносый додекаэдр. Ромбододекаэдр. Ромботриаконтаэдр Триакистетраэдр Гекзакисикосаэдр
Тетракисгексаэдр. Пентакисдодекаэдр. Триакисоктаэдр. Триакисикосаэдр Гекзакисоктаэдр
Приложение 5.
Различие между икосаэдром и усеченным икосаэдром
Приложение 6.
Сферическая форма усеченного икосаэдра при накачанной камере футбольного мяча
Приложение 7..
Страницы информационной модели «Многоугольники»
Лист «Правильные многогранники»
Лист «Тетраэдр»
Лист «Куб»
Лист «Октаэдр»
Лист «Додекаэдр»
Лист «Икосаэдр»
Лист Усеченный икосаэдр
Приложение 8.
Лист «Сравнительный анализ»
Приложение 9.
Развертки икосаэдра
Приложение 10.
Деление окружности на три части и построение правильного треугольника
Приложение 11.
Приложение 12.
Приложение 13.
Деление окружности на шесть частей и построение правильного шестиугольника
Приложение 14.
Деление окружности на пять частей и построение правильного пятиугольника
Приложение 15.
Получение усеченного икосаэдра из икосаэдра
Скачать материал

Геометрия - еще материалы к урокам: