Исследовательская работа "Резонанс"
Урок конференция
МОУ «СОШ № 14» г.Братска
Резонанс
Выполнили: Гаврилова Анна , ученица 11класса А
Руководитель: Гаврилова Наталья Леоновна
учитель математики
г.Братск
2007г
1
Введение.
Объектом исследования в моей работе являются колебания, а предметом исследования
резонанс .
Актуальность работы. Резонанс играет очень большую роль в самых разнообразных
явлениях, причем в одних- полезную, в других вредную. Приведём несколько примеров,
относящихся к механическим колебаниям.
Идя по доске, перекинутой через ров, можно попасть шагами в резонанс с собственным
периодом системы (доски с человеком на ней), и доска начинает тогда сильно колебаться
(изгибаться вверх и вниз). То же самое может случиться и с мостом, по которому проходит
войсковая часть или проезжает поезд (периодическая сила обуславливается ударами ног или
ударами колёс на стыках рельсов). Так, например, в 1906г. в Петербурге обрушился так
называемый Египетский мост через реку Фонтанку. Это произошло при переходе через мост
кавалерийского эскадрона, причём чёткий шаг лошадей, отлично обученных церемониальному
маршу, попал в резонанс с периодом моста. Для предотвращения таких случаев войсковым
частям при переходе через мосты приказывают обычно идти не «в ногу», а вольным шагом.
Поезда же большей частью переезжают мосты на медленном ходу, чтобы период ударов колес
о стыки рельсов был значительно больше периода собственных колебаний моста. Иногда
применяют обратный способ «расстройки» периодов: поезда проносятся через мосты на
максимальной скорости.
Случается, что период ударов колес на стыках рельсов совпадает с собственным периодом
колебаний вагона на рессорах, и вагон тогда очень сильно раскачивается. Пароход также
имеет собственный период качаний на воде. Если морские волны попадают в резонанс с
периодом парохода, то качка становится особенно сильной. Капитан меняет тогда
скорость парохода или его курс. В результате период волн, набегающих на пароход,
изменяется (вследствие изменения относительной скорости парохода и волн) и уходит от
резонанса.
Неуравновешенность машин и двигателей (недостаточная центрировка, прогиб вала)
2
является причиной того, что при работе этих машин возникает периодическая сила,
действующая на опору машины — фундамент, корпус корабля и т. п. Период силы может
совпасть при этом с собственным периодом опоры или, например, с периодом колебаний
изгиба самого вращающегося вала или с периодом крутильных колебаний этого вала.
Получается резонанс, и вынужденные колебания могут быть .настолько сильны, что
разрушают фундамент, ломают валы и т. д. Во всех таких случаях принимаются специальные
меры, чтобы избежать резонанса или ослабить его действие (расстройка периодов,
увеличение затухания — демпфирование и др.).
Очевидно, для того чтобы с помощью наименьшей периодической силы получить
определенный размах вынужденных колебаний, нужно действовать в резонанс. Тяжелый
язык большого колокола может раскачать даже ребенок, если он будет натягивать веревку с
собственным периодом языка. Но самый сильный человек не раскачает язык, дергая веревку
не в резонанс.
На основе выше сказанного возникла потребность показать, что существует резонанс.
Цель нашей работы: показать роль и место резонанса, различные процессы вынужденных
колебаний и процессы затухания свободных колебаний.
Мы поставили перед собой следующие задачи:
1. совершенствование своих возможностей в области проектной деятельности.
2. знакомство с историей возникновения вопроса «резонанс», углубление знаний в
области физики и ее связи с другими науками.
3. разработка и выполнение творческого проекта.
Использованные методы – сбор материала, его анализ и обобщение .
3
I. Резонанс.
Обратим внимание на а м п л и т у д у вынужденных колебаний груза в данном опыте
(См.Приложение.Рис.1). При различных скоростях вращения ручки, т. е. при различных
периодах вынуждающей силы, эта амплитуда далеко не одинакова.
Если мы будем вращать ручку очень медленно, скажем, делать один оборот за 3—5 сек, то
груз вместе с пружиной будет перемещаться вверх и вниз так же, как и точка А. Таким
образом, амплитуда вынужденных колебаний груза будет почти такая же, как и
амплитуда точки А, т. е. 0,S—1 см. При более быстром вращении груз начнет колебаться
сильнее. Размах вынужденных колебаний станет очень большим — в несколько раз больше
амплитуды точки А, — если период вращения ручки, т. е. период силы, сделать близким к
собственному периоду колебаний груза на пружине. Однако при еще более быстром
вращении ручки мы увидим, что амплитуда вынужденных колебаний опять становится
меньше. Очень быстрое вращение ручки оставит груз почти неподвижным.
То же самое легко наблюдать и на вынужденных колебаниях маятника. Периодическую
силу в этом случае проще всего создать посредством покачивания стойки, на которой
подвешен маятник.
Эти и многочисленные аналогичные опыты показывают, что при действии периодической
силы на колебательную систему особенное значение имеет случай, когда период изменения
силы совпадает с собственным периодом колебательной системы.
Совпадение периода собственного колебания системы с периодом внешней силы,
действующей на эту систему, называется резонансом. Таким образом, амплитуда вынужден-
ного колебания достигает наибольшего значения при резонансе.
Явления, возникающие при резонансе (например, установление максимальной амплитуды
вынужденных колебаний), называют р е з о н а н с н ы м и я в л е н и я м и . Про силу,
период которой совпадает с собственным периодом и которая вызывает тем самым
наибольшую раскачку, наибольший «отклик» колебательной системы, говорят, что она
д е й с т в у е т в р е з о н а н с . Про систему, период которой равен периоду силы, говорят,
4
что она н а с т р о е н а в р е з о н а н с .
Явление резонанса наглядно демонстрируется следующим опытом. На рейке АВ
(См.Приложение. Рис. 2) подвешен массивный маятник а и легкие маятники р а з н о й
длины, т. е. р а з л и ч н ы х периодов.
Заставим маятник а качаться (в плоскости, перпендикулярной к рейке АВ). Его качания
вызовут периодическое изгибание рейки, так что на все остальные маятники через их точки
подвеса будет действовать сила с периодом маятника а. Мы увидим при этом, что маятники
d и е, у которых периоды наиболее отличаются от периода маятника а, останутся почти непод-
вижными, т. е. их амплитуды будут очень малы. Маятники с и / , более близкие по своим
периодам к а, будут колебаться с немного большей амплитудой. Наконец, маятники bug,
имеющие ту же длину, что и а, т. е. настроенные в резонанс, раскачиваются до очень
большой амплитуды.
II. Влияние трения на резонансные явления.
Существующее в системе трение, обусловливающее затухание ее свободных колебаний,
имеет для резонансных явлений очень большое значение. В этом легко убедиться, наблюдая
вынужденные колебания пружинного маятника (См.Приложение.Рис.2) при различной
величине трения. Для увеличения затухания можно воспользоваться по-прежнему
опусканием груза в воду или масло.
Если груз колеблется в воздухе, то при совпадении периода вращения ручки
раскачивающего механизма (периода силы) с собственным периодом системы раскачка
получается очень сильная — амплитуда колебаний груза в несколько раз больше амплитуды
точки А раскачивающего механизма. Однако стоит лишь немного ускорить или замедлить
вращение ручки, как амплитуда колебаний груза р е з к о уменьшится. Таким образом, если
затухание системы небольшое, то резонансные явления оказываются сильными и резко
выраженными (острый резонанс): при точном резонансе раскачка очень велика, но уже при
небольшой р а с с т р о й к е (расхождении периода силы и собственного периода системы)
5
амплитуда вынужденных колебаний значительно уменьшается.
Наоборот, в случае з а д е м п ф и р о в а н н о й системы, т. е. системы с увеличенным
затуханием (например, груз движется в воде), амплитуда вынужденных колебаний при точном
резонансе не очень сильно превышает амплитуду колебаний точки Л; зато при уходе от
резонанса в ту или другую сторону уменьшение амплитуды происходит не так резко.
Например, ускорив вращение ручки вдвое по сравнению с резонансной частотой вращения,
мы увидим, что колебания груза, опущенного в воду, станут лишь немного меньше, чем при
резонансе.
амплитуд в случаях малого и большого затухания особенно велико.
Резонансные кривые дают величину установившейся амплитуды. Колебания с такой
амплитудой устанавливаются не сразу, а в течение некоторого времени от того момента,
когда сила начала действовать на систему.
III. Примеры резонансных явлений.
На явлении резонанса основано действие прибора, предназначенного для определения
частоты переменного тока, сила которого изменяется по гармоническому закону. Такие
приборы, носящие название язычковых частотомеров, обычно применяются для контроля
постоянства частоты в электрической сети. Внешний вид прибора изображен на
(См.Приложение.Рис.4). Он состоит из набора упругих пластинок с грузиками на концах
(язычков), причем массы грузиков и жесткости пластинок подобраны так, что частоты
соседних язычков отличаются на одно и то же число герц. У частотомера, изображенного на
Эти результаты иллюстрирует график, изображенный на рис. 3(См.Приложение). На
нем показаны так называемые резонансные кривые, дающие зависимость амплитуды
вынужденных колебаний от их частоты, т. е. частоты- силы, действующей на систему. На
графике показаны две кривые, соответствующие малому и большому затуханию. Первая
имеет узкий и высокий максимум, вторая — низкий и пологий. Следует обратить внимание
на то, что первая кривая в с ю д у проходит выше второй, т. е. при в с я к о й частоте силы
амплитуды вынужденных колебаний тем больше, чем меньше затухание, но при точном
резонансе различие амплитуд
амплитуд в случаях малого и большого затухания особенно велико. '
Далее, следует твердо помнить, что резонансные кривые дают величину
у с т а н о в и в ш е й с я амплитуды. Колебания с такой амплитудой устанавливаются не
сразу, а в течение некоторого времени от того момента, когда сила начала действовать на
систему. Мы уже отметили это явление в § 12, когда описывали возникновение
вынужденных колебаний груза на пружине.
Ка к до лг о пр од ол жае тся э то т пр о це сс у ста но вл е ни я?
На это легко ответить, если учесть, что в первый момент, когда периоди ческ ая сила н ачинает
дейст вов ат ь на систему, в по следне й возникают наряду с вынуж денными кол еба ниями т ак же и
свободные колебания. П ерво начал ьное дв ижение сис темы именно пото му и яв ля ет ся сложны м, что оно
представляет собой сумму двух дв ижений: вынужденных колебаний с частотой силы и свободных
колебаний с соб ственной частотой. Но сила поддерживает только вынужд енное колеба ние, сво бодны е
же к олебания зату хают и, следо вател ьно, движе ние системы постепенно «очищается» от них. Остаются
6
рис.4, частоты язычков идут через каждые 0,5 гц. Эти частоты написаны на шкале против
язычков.
Устройство частотомера схематически показано на рис.4, б. Исследуемый ток
пропускается через обмотку электромагнита. Колебания якоря передаются планке, с
которой связаны основания всех язычков и которая укреплена на гибких пластинках.
Таким образом, на каждый язычок действует гармоническая сила, частота которой равна
частоте тока. Язычок,, попавший в резонанс с этой силой, сильно колеблется и показывает
на шкале свою частоту, т. е. частоту тока.
Явления электрического резонан са используется при осуществлении радиосвязи.
Радиоволны от различных передающихся станций возбуждают в антенне
радиоприёмника переменные токи различных частот, так как каждая передающая
радиостанция работает по своей частоте. С антенной индуктивно связан
колебательный контур. Вследствие электромагнитной индукции в контурной
катушке возникают переменные ЭДС соответствующих частот и вынужденные
колебания силы тока этих частот. Но только при резонансе колебания силы тока в
контуре и напряжения будут значительными.
7
Заключение.
В опытах, описанных выше, периодическое воздействие создавали тела, совершающие
г а р м о н и ч е с к о е колебание (движение нитки в механизме, изображенном на рис. 1,
массивный маятник). В соответствии с этим действующая сила тоже менялась по закону
гармонического колебания. К этому случаю и относится сделанное нами наблюдение, что
сильная раскачка получается только при с о в п а д е н и и п е р и о д а с и л ы с
с о б с т в е н н ы м п е р и о д о м системы.
Получится ли то же самое, если сила действует периодически, но не по з а к о н у
г а р м о н и ч е с к о г о к о л е б а н и я , а как-либо иначе?
Мы можем, например, периодически у д а р я т ь маятник, т. е. действовать короткими
повторяющимися толчками. Опыт показывает, что в этом случае резонансные явления
будут наступать уже не т о л ь к о п р и одном е д и н с т в е н н о м п е р и о д е силы.
По-прежнему мы будем наблюдать большую раскачку, ударяя, маятник один раз за
период его собственных колебаний, т. е. взяв период силы равным собственному периоду.
Но сильная раскачка получится и в том случае, если ударять маятник вдвое реже —
пропуская одно качание, или втрое реже — пропуская два качания, и т. д.
Таким образом, из описанного опыта видно, что е с л и с и л а м е н я е т с я
п е р и о д и ч е с к и , но не по г а р м о н и ч е с к о м у з а к о н у , то о н а может
в ы з в а т ь р е з о н а н с н ы е я в л е н и я не т о л ь ко п р и с о в п а д е н и и ее
п е р и о д а с собс т в е н н ы м п е р и о д о м с и с т е м ы , но и тогда, к о г д а п е р и о д
с и л ы в ц е л о е ч и с л о р а з д л и н н е е с о б с т в е н н о г о п е р и о д а .
К этому же заключению приводит и следующая постановка опыта: вместо о д н о й
колебательной системы (маятника), на которую мы действуем п о о ч е р е д н о силами
разного периода, можно взять н а б о р однотипных систем с различными собственными
частотами и действовать на все эти системы о д н о в р е м е н н о одной и той же периоди-
ческой 'силой. Чтобы резонансные явления были острыми, системы должны обладать
достаточно малым затуханием. Воспользуемся снова набором маятников, но другим, чем
8
на рис. 2. Там длины наибольшего и наименьшего маятников отличались лишь в два
раза, т. е. собственные частоты. Теперь мы возьмем маятники, собственные частоты
которых лежат в более широком диапазоне и среди которых имеются, в частности,
маятники с кратными частотами. Пусть, например, собственные частоты составляют
1
/
2
;
3
/
4
;
1;
5
/
4
;
3
/
2
и 2 герца. Соответствующие длины маятников будут равны приблизительно 100;
44,4;" 25; 16; 11,1 и 6,3 см. Этот набор показан на (см.Приложение Рис.5). Разумеется, и здесь
мы можем убедиться, что при действии г а р м о н и ч е с к о й силы большую амплитуду
приобретает только тот маятник, который настроен в резонанс на частоту силы.
Гармоническую силу можно создать прежним способом, подвесив к общей рейке
массивный маятник и сделав его равным по длине какому-либо из маятников нашего
набора. Опыт хорошо удается и в том случае, если просто покачивать всю стойку рукой,
сообщая ей гармонические колебания в такт с колебаниями одного из маятников набора.
Именно этот маятник и будет раскачиваться с большой амплитудой, остальные же
практически остаются в покое.
Картина получится совсем иная, если вместо гармонического покачивания стойки
сообщать ей резкие периодические толчки, т. е. действовать на все маятники с п е р и о-
д и ч е с к о й , но уже н е г а р м о н и ч е с к о й , силой. Т о л к а я стойку с периодом самого
длинного маятника — один раз в 2 сек, мы увидим, что раскачивается не только этот маятник,
но и другие, однако не в с е, а лишь те, собственные частоты которых в ц е л о е ч и с л о
р а з б о л ь ше, чем частота самого длинного маятника (1/2 герца). Сопоставляя этот
результат с предыдущим, когда г а р м о н и ч е с к а я сила раскачивала только о д и н
маятник, мы приходим к такому заключению:
Негармоническое периодическое в о з д ействие с периодом Т равносильно одновременному
действию гармонических силе разными частотами, а именно, с частотами, кратными наиболее
низкой частоте п=\/Т.Это заключение, касающееся периодической силы, является лишь частным
случаем общей математической теоремы, которую доказал в 1822 г. Фурье *). Теорема Фурье
гласит: всякое периодическое колебание периода Г может быть представлено в виде суммы
9
гармонических коле-, баний с периодами, равными Т, Т/2, Т/3, Г/4 и т. д., т. е. с частотами
п(=1/Т), 2п, 3n, An и т. д.Теорема Фурье — это математическая теорема совершенно
общего характера, позволяющая любую периодическую величину (перемещение, скорость,
силу и т. д.) представить в виде суммы величин (перемещений, скоростей, сил и т. п.),
меняющихся по синусоидальному закону.
Применительно к рассматриваемой нами задаче о действии негармонической
периодической силы эта теорема сразу же объясняет, почему можно раскачать маятник не
только толчками, следующими друг за другом с периодом, равным периоду маятника, но
вдвое реже, втрое реже и т. д.
Как мы видели, под действием гармонической силы определенной частоты
раскачивается один из язычков частотомера; при всяком же негармоническом воздействии
(например, прерывистый ток) будет колебаться не один язычок, а несколько, именно те,
которые попадают в резонанс с гармониками, входящими в состав тока. Раскачка каждого
язычка будет при этом прямо пропорциональна амплитуде той гармонической слагающей
тока, на которую этот язычок резонирует. Частотомером можно воспользоваться и для
определения гармонического состава механических колебаний, например колебаний
фундамента машины. Для этого достаточно поставить прибор на колеблющийся фундамент.
Процесс установления вынужденных колебаний состоит в том, что затухают
примешанные к ним свободные колебания, возбудившиеся в тот момент, когда начала
действовать сила. При очень малом затухании системы резонансная амплитуда очень
велика, но зато и раскачка до этой амплитуды длится долго. Наоборот при большом
затухании системы резонансная амплитуда невелика, но устанавливается быстро. Это надо
учитывать, выполняя опыты.
В некоторых случаях резонанс в электрической цепи может принести большой вред.
Если цепь не рассчитана на работу в условиях резонанса, то его возникновение приведёт к
аварии. Чрезмерно большие токи могут перегреть провода. Большие напряжения приведут
к пробою изоляции. Такого рода аварии нередко случались в прошлом веке, когда плохо
10
представляли себе законы электрических колебаний и не умели правильно рассчитать
электрические цепи. На явлении резонанса основана вся связь.
11
Список литературы
1. Элементарный учебник физики. (под.ред.Г.С. Лансберга) т.2, М.1973 стр.40,стр220
2. Справочник для школьника. Физика. Стр. 331
3. Словарь юного физика. Стр. 241-242
4. Физика 11 класс под редакцией Г..Я. Мякишев, Б.Б Буховцев. Стр. 94
12
Содержание
1. Введение………………………………………………………………………..…….1стр
2. Глава I . Резонанс ………………………………………………….….3стр
3. Глава II. Влияние трения на резонансные явления ……… …………...………….4стр
4. ГлаваIII Примеры резонансных явлений …………... ……………………….……5стр
5. Заключение……………………………………...……………………………………7стр
6. Список литературы……………...…………………………………………..……...11стр
13
Приложение I
Рис.1 вынужденные колебания груза Рис.2 Демонстрация резонанса на маятниках
Рис.4 Язычковый частотомер,
а) Внешний вид, 6) схема устройства
Рис.3 Резонансные кривые при малом
затухании(l) и при большом затухании (2)
14
Рис.5
