Презентация "Правильная треугольная пирамида"

Презентация на тему:

• апофема — высота боковой грани правильной пирамиды;
• боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;
• боковые ребра — общие стороны боковых граней;
• вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
• высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
• основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
• осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая её высоту.

• основанием её является правильный треугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:
• боковые ребра - равны;
• все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
• в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу;
• если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно π/n, где n  — количество сторон многоугольника основания;
• площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
• Усеченная пирамида, которая получается из правильной, также называется правильной. Боковые грани правильной усеченной пирамиды- равные равнобокие трапеции; их высоты называются апофемами.

• Все диагонали пирамиды принадлежат её граням.
• Если все боковые ребра равны, то:
• около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
• Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:
• в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• высоты боковых граней равны;
• площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

• Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:
• Где S  —площадь основания и h  — высота;
• Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:
• Полная поверхность — это сумма боковой поверхности и площади основания:

• Для нахождения боковой поверхности в правильной треугольной пирамиде можно использовать формулы:
• где  а - апофема боковой грани, P —периметр основания, n — число сторон основания ( для треугольной пирамиды – 3 ),  b— боковое ребро, α — плоский угол при вершине пирамиды.

• При построении развёртки пирамиды применяется способ треугольника. Развёртка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников — граней пирамиды и правильного теугольника — основания. Поэтому построение развёртки пирамиды сводится к определению натуральной величины основания и граней пирамиды. Грани пирамиды можно построить по трём сторонам треугольников, их образующих. Для этого необходимо знать натуральную величину рёбер и сторон основания. Определение истинной величины основания и рёбер пирамиды.

• Определяют натуральную величину основания пирамиды (например методом замены плоскостей проекций);
• Определяют истинную величину всех рёбер пирамиды любым из известных способов (в данном примере натуральная величина всех рёбер пирамиды определена методом вращения вокруг оси, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций и проходящей через вершину пирамиды);
• Строят основание пирамиды и по найденным трём сторонам строят какую-либо из боковых граней, пристраивая к ней следующие.
• Точки, расположенные внутри контура развёртки, находят во взаимно однозначном соответствии с точками поверхности многогранника. Но каждой точке тех рёбер, по которым многогранник разрезан, на развёртке соответствуют две точки, принадлежащие контуру развёртки.

• Сфера
• около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).[Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
• в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

• Конус
• Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
• Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
• Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

• Цилиндр
• Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Причём вписать цилиндр в пирамиду можно только тогда, когда в основании пирамиды — описанный многоугольник (необходимое и достаточное условие);
• Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания цилиндра. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).