Контрольные и зачеты по геометрии 10 класс
2
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
В а р и а н т I
1. Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости α. Через точки В и
С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках Е и
F соответственно.
а) Каково взаимное положение прямых ЕF и АВ?
б) Чему равен угол между прямыми ЕF и АВ, если АВС = 150°?
Поясните.
2. Дан пространственный четырехугольник ABCD, в котором диагонали
АС и BD равны. Середины сторон этого четырехугольника соединены
последовательно отрезками.
а) Выполните рисунок к задаче.
б) Докажите, что полученный четырехугольник есть ромб.
В а р и а н т II
1. Треугольники АВС и АDC лежат в разных плоскостях и имеют общую
сторону АС. Точка Р – середина стороны AD, а K – середина стороны DC.
а) Каково взаимное положение прямых РK и АВ?
б) Чему равен угол между прямыми РK и АВ, если АВС = 40° и
ВСА = 80°? Поясните.
2. Дан пространственный четырехугольник АВСD, М и N – середины
сторон АВ и ВС соответственно; Е CD, K DA, DE : EC = 1 : 2, DK : KA =
1 : 2.
а) Выполните рисунок к задаче.
б) Докажите, что четырехугольник MNEK есть трапеция.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
Вариант 1
1. Прямые a и b лежат в параллельных плоскостях
и
. Могут ли эти
прямые быть: а) параллельными;
б) скрещивающимися?
Сделайте рисунок для каждого возможного случая.
2. Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями
и
,
проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости
и
в
точках А
1
и А
2
соответственно, прямая m - в точках В
1
и В
2
. Найдите
длину отрезка А
2
В
2
, если
А
1
В
1
= 12 см, В
1
О : ОВ
2
=3 : 4.
3
Вариант 2
1. Прямые a и b лежат в пересекающихся плоскостях
и
. Могут ли эти
прямые быть: а) параллельными;
б) скрещивающимися?
Сделайте рисунок для каждого возможного случая.
2. Через точку О, не лежащую между параллельными плоскостями
и
,
проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости
и
в
точках А
1
и А
2
соответственно, прямая m - в точках В
1
и В
2
. Найдите
длину отрезка А
1
В
1
, если
А
2
В
2
= 15 см, О В
1
: ОВ
2
=3 : 5.
Контрольная работа №3
Вариант 1
1. Длина стороны ромба ABCD равна 5 см, длина диагонали BD равна 6 см.
через точку О пересечения диагоналей ромба проведена прямая ОК,
перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от точки К до
вершин ромба, если ОК=8 см.
2. Длина катета прямоугольного равнобедренного треугольника равна 4 см.
Плоскость α, проходящая через катет, образует с плоскостью
треугольника угол, величина которого 30°. Найдите длину проекции
гипотенузы на плоскость α.
3. Диагональ куба равна 6 см. Найдите: а) ребро куба; б) косинус угла
между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.
Вариант 2
1. Длина сторон прямоугольника равна 8 и 6 см. через точку О пересечения
его диагоналей проведена прямая ОК, перпендикулярная его плоскости.
Найдите расстояние от точки К до вершин прямоугольника, если
ОК=12 см.
2. Длины сторон треугольника ABC соответственно равны: BC=15 см,
AB=13 см, AC=4 см. через сторону АС проведена плоскость α,
составляющая с плоскостью данного треугольника угол 30°. Найдите
расстояние от вершины В до плоскости α.
3. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат,
диагональ параллелепипеда равна 2
6
см, а его измерения относятся как 1
: 1 : 2. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между
диагональю параллелепипеда и плоскостью основания.
4
Контрольная работа №4
Вариант 1
1.Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8
см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её наибольшая
боковая грань – квадрат.
2.Боковое ребро правильной четырех угольной пирамиды равно 4 см и
образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°.
а) Найдите высоту пирамиды;
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3.Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Постройте сечение тетраэдра,
проходящее через середину ребра DA параллельно плоскости DBC, и
найдите площадь этого сечения.
Вариант 2
1.Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 13
см и катетом 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её
наименьшая боковая грань – квадрат.
2.Высота правильной четырехугольной пирамиды равна
6
см, а боковое
ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°.
а) Найдите боковое ребро пирамиды;
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3.Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Постройте сечение тетраэдра,
проходящее через середины ребер DA и AB параллельно ребру BC, и найдите
площадь этого сечения.
Зачет №1 по теме «Параллельность прямых и плоскостей»
Карточка №1
1. Какие плоскости называются параллельными? Привести наглядные
примеры.
2. Признак скрещивающихся прямых.
3. Определение угла между пересекающимися прямыми.
4. Верно ли утверждение: отрезки параллельных прямых, заключенные
между параллельными плоскостями равны
5. Постройте тетраэдр и укажите грани, ребра, вершины.
6. Перечислите свойства параллелепипеда.
7. Какие фигуры могут быть сечением тетраэдра?
Карточка №2
1. Прямые a и b параллельны. Какое положение может занимать прямая a
относительно плоскости, проходящей через прямую b?
2. Продолжите: если стороны двух углов соответственно
_______________, то такие углы равны.
3. Как читается признак параллельности плоскостей?
4. Верно ли утверждение: если две параллельные плоскости пересечены
третьей, то линии пересечения перпендикулярны?
5. Постройте параллелепипед и укажите грани, ребра, вершины.
5
6. Существует ли параллелепипед, у которого: только одна грань –
прямоугольник?
7. Какие фигуры могут быть сечением параллелепипеда?
Карточка №3
1. Одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости.
Можно ли утверждать, что и вторая прямая параллельна этой
плоскости?
2. Как определяется угол между скрещивающимися прямыми?
3. Существует ли тетраэдр, у которого углы граней прямые?
4. Постройте параллелепипед и укажите грани, ребра, вершины.
5. Какие грани параллелепипеда называются смежными, какие
противоположными?
6. Какие фигуры могут быть сечением тетраэдра?
7. Какая плоскость называется секущей?
Карточка №4
1. Какие прямые называются скрещивающимися?
2. Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они
параллельны?
3. Какой отрезок называется диагональю параллелепипеда? Сколько
диагоналей имеет параллелепипед?
4. Существует ли параллелепипед, у которого: только одна грань –
прямоугольник?
5. Как читается признак параллельности плоскостей?
6. Постройте тетраэдр и укажите грани, ребра, вершины.
7. Какие плоскости называются параллельными? Привести наглядные
примеры.
Карточка №5
1. Верно ли утверждение: отрезки параллельных прямых, заключенные
между параллельными плоскостями равны
2. Продолжите: если стороны двух углов соответственно
_______________, то такие углы равны.
3. Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней прямые?
4. Какие плоскости называются параллельными? Привести наглядные
примеры.
5. Существует ли параллелепипед, у которого: только две смежные грани
– ромбы?
6. Постройте параллелепипед и укажите грани, ребра, вершины.
7. Признак скрещивающихся прямых.
Карточка №6
1. Какие плоскости называются параллельными? Привести наглядные
примеры.
2. Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они
параллельны?
3. Постройте тетраэдр и укажите грани, ребра, вершины.
6
4. Перечислите свойства параллелепипеда.
5. Какая плоскость называется секущей?
6. Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней прямые?
7. Определение угла между пересекающимися прямыми.
Карточка №7
1. Прямые a и b параллельны. Какое положение может занимать прямая a
относительно плоскости, проходящей через прямую b?
2. Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они
параллельны?
3. Какой отрезок называется диагональю параллелепипеда? Сколько
диагоналей имеет параллелепипед?
4. Как читается признак параллельности плоскостей?
5. Постройте параллелепипед и укажите грани, ребра, вершины.
6. Существует ли параллелепипед, у которого: только одна грань –
прямоугольник?
7. Какие фигуры могут быть сечением параллелепипеда?
Карточка №8
1. Какие прямые называются скрещивающимися?
2. Продолжите: если стороны двух углов соответственно
_______________, то такие углы равны.
3. Верно ли утверждение: если две параллельные плоскости пересечены
третьей, то линии пересечения перпендикулярны?
4. Существует ли параллелепипед, у которого: только одна грань –
прямоугольник?
5. Как читается признак параллельности плоскостей?
6. Постройте тетраэдр и укажите грани, ребра, вершины.
7. Какие плоскости называются параллельными? Привести наглядные
примеры.
Зачет №2 по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»
Теория (вставить недостающие слова вместо многоточия)
1. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если …
2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к
плоскости, то и …
3. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то …
4. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, … , то
она перпендикулярна к этой ...
5. Через любую точку пространства проходит прямая, … к данной
плоскости, и …
6. Длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости α,
называется ….
7. (см. рис.) Отрезок АН называется ….
Точка Н - ….
Отрезок АМ называется …, а точка М- ….
Отрезок НМ называется ….
7
8. Проекцией точки на плоскость называется основание …, проведенного
из этой точки к плоскости, если точка …, и сама точка, если …
9. Прямая, проведенная в плоскости через основание …
перпендикулярно к её … на эту плоскость, …..и к самой наклонной.
10. Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не
перпендикулярной к ней, называется ….
11. Двугранным углом называется фигура, образованная …и двумя
полуплоскостями с общей границей а, …
12. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, … к другой
плоскости, то такие плоскости ….
13. Параллелепипед называется прямоугольным, если его …
перпендикулярны к основанию, а основание представляют собой ….
14. Квадрат диагонали ….равен сумме ….
15. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны,
называется ...
Практика
Карточка№1
1. В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 6, 8, 10. Найти
диагональ параллелепипеда и угол между диагональю параллелепипеда
и плоскостью его основания.
2. Из вершины А прямоугольного треугольника АВС (
00
60,90 ВС
)
восстановлен перпендикуляр к плоскости АВС и на нем взят отрезок
АМ = h. Точка М соединена с В и С. Найдите
,
MBC
S
если двугранный
угол АВСМ равен 30
0
3. Решите задачу № 143
Карточка№2
1. В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 5, 7,
47
. Найти
диагональ параллелепипеда и синус угла между диагональю
параллелепипеда и плоскостью его основания.
2. Точка М находится на расстоянии h от плоскости
. Проведены 2
наклонные МР и МQ (где Р и Q – основания наклонных),
соответственно под углами 45
0
и 60
0
. Найдите РQ, если
РОQ
= 150
0
,
где О – основание перпендикуляра МО, МО
.
3. Решите задачу №131
Карточка№3
1. Три измерения прямоугольного параллелепипеда равны 1 м, 2 м, 3 м.
Найдите: а) сумму длин всех его ребер; б) Сумму площадей всех его
граней; в) длины его диагоналей.
2. Из вершины А прямоугольного треугольника АВС (
00
60,90 ВС
)
восстановлен перпендикуляр к плоскости АВС и на нем взят отрезок
АМ = h. Точка М соединена с В и С. Найдите
,
MBC
S
если двугранный
угол АВСМ равен 30
0
3. Решите задачу №150
8
Карточка№4
1. Три измерения прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую
вершину равны 2 м, 3 м, 5 м, а одна из диагоналей равна 6 м. Является
ли этот параллелепипед прямоугольным?.
2. Точка М находится на расстоянии h от плоскости
. Проведены 2
наклонные МР и МQ (где Р и Q – основания наклонных),
соответственно под углами 45
0
и 60
0
. Найдите РQ, если
РОQ
= 150
0
,
где О – основание перпендикуляра МО, МО
.
3. Решите задачу №157 или №206
Карточка№5
1. В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 5, 7,
47
. Найти
диагональ параллелепипеда и синус угла между диагональю
параллелепипеда и плоскостью его основания.
2. Точка М находится на расстоянии h от плоскости
. Проведены 2
наклонные МР и МQ (где Р и Q – основания наклонных),
соответственно под углами 45
0
и 60
0
. Найдите РQ, если
РОQ
= 150
0
,
где О – основание перпендикуляра МО, МО
.
3. Решите задачу № 171 или 202.
Карточка№6
1. В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 6, 8, 10. Найти
диагональ параллелепипеда и угол между диагональю параллелепипеда
и плоскостью его основания.
2. Из вершины А прямоугольного треугольника АВС (
00
60,90 ВС
)
восстановлен перпендикуляр к плоскости АВС и на нем взят отрезок
АМ = h. Точка М соединена с В и С. Найдите
,
MBC
S
если двугранный
угол АВСМ равен 30
0
3. Решите задачу № 195
Зачет №3 по теме «Многогранники. Площадь поверхности пирамиды,
призмы»
Карточка №1
1. Призма. Площадь боковой поверхности прямой призмы.
2. Основание прямой призмы – ромб со стороной 5 см и тупым углом
120°. Боковая поверхность призмы имеет площадь 240 см
2
. Найдите
площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую
диагональ основания.
3. Правильные многогранники. Тетраэдр и икосаэдр.
4. Сторона правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота
13
см. найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Карточка №2
1. Пирамида. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды.
2. Основание прямой призмы – ромб с острым углом 60°. Боковое ребро
призмы 10 см, а площадь боковой поверхности - 240 см
2
. Найдите
9
площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую
диагональ основания.
3. Правильные многогранники. Октаэдр и гексаэдр.
4. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 5 см, а высота
13
см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Карточка №3
1. Пирамида. Площадь боковой поверхности правильной усеченной
пирамиды.
2. Основание пирамиды прямоугольный треугольник с катетом 4
3
см и
противолежащим углом 60°. Все боковые ребра пирамиды наклонены к
плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды.
3. Правильные многогранники. Додекаэдр и икосаэдр.
4. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 5 см, а высота
13
см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
