Ученики на Учителя.com


Открытый урок "Перпендикулярность прямой и плоскости"

ГПОУ «Усинский политехнический техникум»
Открытый урок по геометрии
Тема «Перпендикулярность прямой и плоскости».
Выполнил: преподаватель математики Мельникова Е.А.
Усинск, 2016 г.
Тип урока: Урок-семинар
Цели урока:
1. Обобщить, закрепить и систематизировать знания обучающихся по данной теме,
умения применять эти знания при решении задач; показать практическую значимость
изучаемого материала; изучить связь между отношениями параллельности и
перпендикулярности в пространстве; показать межпредметную связь.
2. Воспитывать культуру устной и письменной речи, способствовать воспитанию
эстетического вкуса, прививать интерес к предмету математики.
3. Развивать пространственное и логическое мышление.
Оборудование к уроку: карточки с названиями Теоретики, Практики, Исследователи,
задания группам, ПК, проектор.
План урока.
I. Организация учащихся.
Обучающимся предлагаются карточки с названиями Теоретики, Практики, Исследователи и
производится деление на 3 группы.
II. Постановка целей и задач урока.
Говорят, что математика- наука неинтересная, что математика - сухая наука, что о ней можно
говорить только в кабинете математики, на уроке. Нет, жизнь доказывает обратное: математика
повсюду вокруг нас. Послушайте, что пишет об этом Роман Бухараев в стихотворении “Геометрия
трав”.
Математик несбывшийся, странник,
Оглянись, удивляясь стократ:
В травах - срез волчеца - пятигранник,
А в сеченьи душицы – квадрат.
Все на свете покажется внове
Под гольцом, чья вершина в снегу:
Водосбор - треуголен в основе
На цветущем альпийском лугу!
Где же круг?
Возле иглистой розы.
Там, где луг поднебесный скалист,
Вижу, с ветром играет березы
Треугольно-ромбический лист.
Но я соглашусь с тем, что математика наука точная, требующая четкости определений и
доказательства фактов. И поэтому сейчас предлагаю от лирики перейти к практике.
Вы изучили очень важную тему геометрии “Перпендикулярность прямой и плоскости”. В
результате изучения этой темы вы должны:
- знать определения перпендикулярных прямых и прямой, перпендикулярной к
плоскости.
- уметь формировать и доказывать теоремы (прямую и обратную) о параллельных
прямых, прямых, перпендикулярных к плоскости, признак перпендикулярности прямой
и плоскости, теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости.
- Решать задачи типа 119, 121, 126, 128, 131 (уч. “Геометрия 10-11”, автор Атанасян
Л.С.)
• Преподаватель знакомит с целями урока.
III. Закрепление знаний и умений.
На уроке будут работать 3 группы «Теоретики», «Практики», «Исследователи».
• Преподаватель дает задание группам, приготовленное на листах. Указывает на порядок
оценивания.
Перед началом работы групп фронтальная проверка готовности.
1. Каково может быть взаимное расположение 2-х прямых в пространстве? (Прямые
могут пересекаться, скрещиваться и быть параллельными.)
2. Какие две прямые называют параллельными? (Параллельные прямые
называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не
пересекаются.)
3. Какие две прямые называют скрещивающимися? (Прямые называются
скрещивающимися, если одна из прямых лежит в плоскости, а другая эту плоскость
пересекает в точке не принадлежащей первой прямой.)
4. Если угол между двумя прямыми 90
0
, как их называют? (Перпендикулярные прямые)
5. Какую прямую называют перпендикулярной к плоскости?
(Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если
она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
6. Верно ли утверждение:
a) Любая прямая перпендикулярная к плоскости, пересекает эту плоскость? (верно)
b) Любая прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна к этой плоскости? (неверно)
c) Если прямая не перпендикулярна к данной плоскости, то она не пересекает эту плоскость?
(неверно)
• Прямая а параллельна прямой в и не пересекает плоскость ?. Может ли прямая в быть
перпендикулярной к плоскости ? Ответ обоснуйте. (не может быть, т.к если прямая в будет
перпендикулярной плоскости, то и прямая а тоже перпендикулярна плоскости, что
невозможно, т.к по условию прямая а не пересекает плоскость, следовательно она
параллельна плоскости )
Далее начинают работу группы.
1. Задания для группы «Теоретики».
• Доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.
Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая
прямая перпендикулярна к этой прямой.
Дано:a
‖
b, a
⊥
c
Доказать: b
⊥
c
Доказательство:
Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС,
параллельные соответственно прямым а и с. Так как а
⊥
с, то
∠
АМС=90
о
.
По условию, b
‖
a, а по построению а
‖
МА, поэтому b
‖
МА.
Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90
о
,
т.е. b
‖
МА, с
‖
МС, угол между МА и МС равен 90
о
Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90
о
, то есть b ⊥ с. Лемма доказана.
• Доказать теоремы (прямую и обратную) о параллельных прямых, прямых,
перпендикулярных к плоскости.
Теорема: (прямая) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и
другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Запись на доске и в тетрадях:
Дано: а
‖
а1, а
⊥
α
Доказать, что а1
⊥
α
Доказательство:
Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α, т.е. x
∊
α.Так как а
⊥
α, то а
⊥
x.
По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1
⊥
x.
Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а1
⊥
α.
Теорема доказана.
Теорема:(обратная) Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Дано: а
⊥
α, b
⊥
α
Доказать, что а
‖
b
Доказательство:
Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой а.
М
∊
b, M
∊
b1, b1
‖
a. По предыдущей теореме b1
⊥
α.
Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будем доказано, что а
‖
b. Допустим,
что прямые b1 и b не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b1, через точку М
проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β.
Но это невозможно, следовательно, а
‖
b, т.е. b
∊
β, b1
∊
β, α β=c (невозможно)→ а
‖
b.
• Сформировать и провести анализ доказательства признака перпендикулярности прямой и
плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости: Если прямая перпендикулярна двум
пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости
По окончании группы «Теоретики» преподаватель предоставляет слово обучащемуся с
исторической справкой «Провешивание прямой».
Для проведения длинных отрезков прямых (при прокладывании трассы шоссейной или
железной дороги, линий электропередач и т.д.) применяется способ, называемый провешиванием
прямой, который заключается в использовании всех - шестов, имеющих длину около 2 м.,
заостренных с одного конца для того, чтобы их можно было воткнуть в землю. Если нужно
провести прямую линию между двумя точками А и В, положение которых дано, то сначала в этих
точках ставятся вехи; затем между ними устанавливается промежуточная веха С так, чтобы веха А
и С закрывали веху В. Необходимо, чтобы все вехи стояли вертикально. Правильность
вертикального направления проверяется с помощью отвеса. Отвес - это шнур, на конце которого
укреплен небольшой груз. Казалось бы, в этой простой процедуре провешивания прямой все ясно.
Но и здесь есть много вопросов, о которых следует подумать, а ответы на них дают изучение
нашего курса и других дисциплин. Во-первых, почему все отвесы мира смотрят в центр Земли, а с
точки зрения геометрии- определяют прямую, перпендикулярную ее поверхности? Во-вторых,
веха должна быть параллельна отвесу, и тогда она также будет перпендикулярна поверхности
Земли. Таким образом, все вехи перпендикулярны поверхности Земли и, значит, параллельны
между собой.
Такой способ получил название провешивание прямой на местности. Слово "провешивание" -
производное от слова "веха".
2. Задания для группы «Практики».
• Показать применение теории при решении задач № 126, 127, 128,131 (стр. 42 уч.
“Геометрия 10-11 автор Атанасян Л.С.)
3. Задания для группы «Исследователи».
• Изучить связь между отношениями параллельности и перпендикулярности в пространстве.
Проверку осуществить с помощью таблицы.
- Даны прямая а, перпендикулярная к плоскости α, и прямая b. Укажите взаимное расположение
прямых а и b:
1. Если b параллельна , то……
2. Если b перпендикулярна , то ……
3. Если b параллельна или принадлежит , то…..
4. Если b перпендикулярна , то……
- Даны прямая а, перпендикулярная к плоскости α, и плоскость .
1. Если параллельна , то……
2. Если перпендикулярна , то ……
3. Если параллельна а или а принадлежит , то…..
4. Если перпендикулярна , то……
• Приведите примеры окружающей нас обстановки, иллюстрирующие перпендикулярность
прямой и плоскости.
По окончании работы групп учащиеся приводят примеры расположения прямых в задачах по
физике (межпредметная связь)
• Вспомните о силе давления. Как она направлена? (Перпенд. плоскости поверхности).
• Тело на горизонтальной поверхности. Как на любое тело на него действует сила тяжести
mg? Каково ее направление?
• Тело опущено в жидкость. На него оказывает действие выталкивающая сила. Каково ее
направление?
IV. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
V. Домашнее задание.
П.15 – 16, вопросы 1, 2 (стр. 57), №116, 118.
Скачать материал

Геометрия - еще материалы к урокам: