Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Геометрический смысл производной. Уравнение касательной"

Тема урока: Геометрический смысл производной. Уравнение касательной.
Целевая аудитория : 1 курс СПО
Цель урока: организовать деятельность студентов по изучению геометрического смысла производной и расширить представление о
производной функции.
Задачи урока:
Образовательные: сформировать представление о геометрическом смысле производной, научиться составлять уравнение касательной к
графику функции в заданной точке, находить угловой коэффициент касательной к графику функции, угол между касательной к графику и
осью Ох.
Развивающие: способствовать формированию умения ставить перед собой цели; умения формулировать вопросы; умения и навыки
работы с текстом, умения анализировать информацию, способность ее систематизировать, оценивать, использовать; развитие логического
мышления, сознательного восприятия учебного материала.
Воспитательные: создать условия для повышения интереса к процессу обучения и активного восприятия учебного материала, развитие
коммуникативных навыков работы в парах, группах; обеспечить условия по формированию сознательной дисциплины и норм поведения
студентов; способствовать формированию научного мировоззрения на примере понятия производной; создать условия для воспитания
аккуратности и внимательности.
Результаты урока
Предметные
✓ оперировать имеющимся потенциалом знаний по теме «Производная»
✓ определять угловой коэффициент касательной по графику
✓ составлять уравнение касательной к графику функции в заданной точке.
Метапредметные
Умение
✓ самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности;
✓ самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность;
✓ использовать все возможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации
планов деятельности;
✓ продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать
позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;
✓ владение навыками познавательной, навыками разрешения проблем; способность и готовность к
самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;
✓ готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение
ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать
информацию, получаемую из различных источников;
✓ владение языковыми средствами: умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать
адекватные языковые средства;
✓ владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и
оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств для их достижения;
✓ целеустремленность в поисках и принятии решений, сообразительность и интуиция
Личностные
✓ логически мыслить;
✓ пользоваться алгоритмической культурой;
✓ критически мыслить на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и
самообразования;
✓ готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни;
сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной
деятельности;
✓ готовность и способность к самостоятельной творческой и ответственной деятельности;
✓ готовность к коллективной работе, сотрудничеству со сверстниками в образовательной деятельности;
Тип урока: урок изучения нового материала
Используемая технология: технология развития критического мышления, технология работы в сотрудничестве
Используемые приемы: “Корзина идей”, верные, неверные утверждения, ИНСЕРТ, кластер, “Шесть шляп мышления”.
Оборудование: презентация PowerPoint, интерактивная доска, раздаточный материал(карточки, информационный материал, таблицы)
Содержание урока:
1. Организационный момент
2. Актуализация знаний
3. Целеполагание
4. Изучение нового материала
5. Первичное закрепление
6. Проверка усвоения
7. Подведение итогов
8. Задание на дом
9. Рефлексия
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА
Этап
урока
Время
этапа
урока
Деятельность и
действия
преподавателя
Деятельность и
действия студента (ов)
Используемые
методы, приемы,
формы
Планируемый
результат
1. Организационный момент
2 мин
Организует
актуализацию
требований к студенту
со стороны учебной
деятельности. Создает
положительный
настрой на
продуктивную работу.
Определяет
тематические рамки
урока
Визуальный контроль
готовности кабинета и
рабочего места к уроку.
Включаются во
взаимодействие
Словесные
Готовность
студентов к
обучению.
2.Актуализация знаний
10 мин
Организует
повторение
необходимых знаний
для изучения новой
темы в форме парной
работы:
- матричный тест;
- задание по
графикам;
- устный опрос «Да-
нет» (проверка
домашнего задания)
Активно включаются в
работу.
Выполняют задания
матричного теста
( нахождение
производной).
Работают по графикам.
Делают вывод о
положении прямой в
зависимости от
углового
коэффициента.
Формулируют вопросы.
практические
Словесные
репродуктивные
Уметь
анализировать
данные.
Готовность
учащихся к
обучению
3.Целеполагание и
мотивация
5 мин
Вводит в тему.
Создает ситуацию
необходимости новых
знаний о производной
Высказывают гипотезы,
идеи.
Делают выводы о
недостатке знаний по
теме. Формулируют
тему урока и свою цель.
Словесные.
Наглядные.
Проблемный.
Уметь
сформулировать
тему и цель
4.Изучение нового материала
15 мин
Организует
деятельность
студентов по
формированию
новых знаний:
- стадия вызов
(верные/неверные
утверждения);
- стадия осмысления
(работа с
информационным
материалом-
ИНСЕРТ);
-стадия рефлексии
( решение задачи);
- расширение
представления о
применении
геометрического
смысла производной
«Корзина идей»;
- работа в группах над
алгоритмами
Включаются в учебный
процесс:
- заполнение таблицы;
- осмысленная работа с
текстом и его анализ;
- применение новых
знаний для решение
проблемы;
- высказывают идеи;
- работают в группах
из 4-х человек;
Составляют
алгоритмы;
представляют на
обсуждение.
Частично-
поисковый
Уметь
самостоятельно
сформулировать
новые понятия.
5.Первичное закрепление
15 мин
Предлагает задания на
применение
геометрического
смысла производной.
Контролирует и
корректирует
индивидуальную
деятельность
студентов.
Решают фронтально
задания у доски.
Сильные студенты
выполняют
дополнительные
задания.
Наблюдение,
практические
Уметь
самостоятельно
сформулировать
новые понятия.
Уметь находить
ошибки
Уметь пользоваться
геометрическим
смыслом
производной
Уметь составлять
уравнение
касательной к
графику функции.
6.Проверка усвоения
10 мин
Организует и
контролирует
выполнения
студентами заданий
на применение
геометрического
смысла производной
Решают задания со
взаимопроверкой.
Оценивают работу
соседа.
Самостоятельная
работа.
Самоконтроль.
Уметь составлять
алгоритм своих
действий при
выполнении
задания.
Выполнять
самоконтроль.
7.Подведение итогов
3 мин.
Подводит итог
занятия.
Оценивает работу
студентов.
Делают вывод о
достигнутых целях.
Возвращаются к
таблице и
корректируют её.
Словесные
Наблюдение
Умение критически
мыслить и
корректировать
свои знания и
действия
8.Задание на дом
3 мин.
Определяет
содержание
внеаудиторной
самостоятельной
работы
Записывают домашнее
задание.
Словесные
Уметь
самостоятельно
применять знания о
геометирическом
смысле
производной.
Уметь проводить
самоконтроль.
9.Рефлексия
5 мин
Организует
рефлексию
Отвечают на вопросы.
Высказывают своё
мнение.
Оценивают свою
работу на уроке.
Словесные
репредуктивный
Анализ конкретных
результатов
обучения:
-какие получены
достижения;
-что было удачным
на уроке, а что
менее удачным;
-объяснение
причины своих
неудач.
Ход урока
1.Организационный момент:
Преподаватель приветствует студентов. Визуальная проверка присутствующих и готовность студентов к занятию.
Мы продолжаем изучать тему «Производная». И на данный момент мы с вами уже знаем что?...
( предполагаемый ответ: определение производной; физический смысл производной); умеем что? …
( предполагаемый ответ: находить производные функций).
2. Актуализация знаний:
-Выполняют матричный тест работая в паре. Цель работы: выяснить уровень усвоения правил и формул дифференцирования. Время 5
мин. Проверка фронтальная . На доске слайд с правильными ответами.
На полях в тетради выставляют оценку: за каждое правильно выполненное задание 1 балл.

-4x
-2sin2x
2sinx
x+3


2x+3





-Задание «Найди пару»: каждому графику поставить в соответствие аналитический вид формулы. Приложение №1
Ответы на слайде. Оценивание: без ошибок- 5 баллов; 1-2 ошибки- 4 балла; 3 ошибки- 3 балла; более 3 ошибок- 0 баллов.
Устно делаем вывод о значении углового коэффициента и угла наклона прямой.
- Устный опрос «Да-Нет»: от каждой четверки задается вопрос по теме, на который ответ однозначный или да, или нет. Вопросы
готовят заранее дома. Вопросы повторяться не должны. На данном этапе происходит проверка домашнего задания.
3.Целеполагание: Предположите, зачем необходимо изучать производную? Где её можно применить?
Студенты высказывают свои предположения, которые фиксируются на доске. Получаем кластер.
Мы рассмотрели и научились находить производные функций. А что является «портретом» функции? (график).
Что можно провести к графику функции в любой его точке? (касательную)
Что собой представляет касательная? (прямую)
Что образует прямая с осью ОХ? (угол)
Где мы встречаемся чаще всего с углами в математике? (в геометрии)
Как вы думаете, какой ещё смысл может иметь производная?
Формулируем тему и цель урока.
Ну, что же нам сегодня предстоит подтвердить или опровергнуть наши предположения.
4.Изучение нового материала:
Мотивация. На слайде задание из банка ЕГЭ на геометрический смысл производной. Предложите решение.
Выслушать предложения.
Задание: На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите
значение производной функции f(x) в точке x
0
.
Стадия вызов: Итак, мы сделали предположения, но какие из них верные? Достаточно ли у нас знаний? Ребята, сегодня вышел свежий
выпуск газеты с математическими новостями! Может из них мы узнаем что-то большее? Ознакомьтесь и отметьте своё отношение по
каждому утверждению. На это вам 3 минуты. Приложение № 2
№
Утверждение
Старая
новость
Сенсация!
Сомневаюсь
Какие
глупости!
1.
В любой точке графика можно провести касательную
2.
Касательная с графиком имеет две общие точки
3.
Тангенс угла наклона прямой – это угловой коэффициент прямой
4.
Касательная- это прямая, проведенная к графику функции и имеющая с ним
одну общую точку
5.
Значение производной функции в заданной точке равно тангенсу угла наклона
касательной, проведенной к графику функции в этой точке
6.
Уравнение касательной имеет вид: 
7.
Значение функции в точке касания и значение касательной в данной точке
равны
8.
Уравнение касательной имеет вид:

9.
Если угол наклона прямой к оси ОХ острый, то угловой коэффициент
положительный
10.
Если производная функции в точке касания принимает отрицательные
значения, то угол наклона касательной к оси ОХ – тупой.
Итак, вы заполнили таблицу. К ней мы вернемся в конце урока .
Стадия осмысления: Сейчас вам предстоит ознакомиться с информацией по данной теме (Приложение №3). По ходу работы вы
отмечаете, что для вас уже известно(+) , что новое (!), что не понятное (?).
Работа ведется индивидуально с элементами сотрудничества в паре.
Затем обсуждаем теоретические факты. Выделяем главное. Подводим итог: формулируем геометрический смысл производной.
Стадия рефлексии: Итак, вернемся к задаче, которую пытались решить в начале обсуждения новой темы.
Решаем её фронтально на доске.
Давайте составим алгоритм наших действий:
А1: 1.Выбрать 2 точки на касательной.
2.Найти Δx-? Δy-?
3.Найти 



=
Подумайте, какую информацию мы ещё сможем извлечь из пункта 3 данного алгоритма? ( предполагаемый ответ: значение угла α)
Стадия вызов: Как вы считаете, какие ещё можно составить задачи с применением геометрического смысла производной?
Выслушать идеи «Корзина идей»: идеи фиксируются на доске, выбираем основные.
Стадия осмысления: Сейчас вам предстоит поработать самостоятельно в паре и попытаться составить алгоритмы по решению задач,
которые только что определили: составления уравнения касательной к графику функции.
Стадия рефлексии: Выполнить упражнение по самостоятельно составленному алгоритму и сравнить его с образцом на доске.
Упражнение: Составить уравнение касательной к графику функции
 в точке x
0
=2 . Преподаватель контролирует ход
работы. Выявляет правильные решения. Вызывает к доске для оформления решения.
Сделать вывод о допущенный ошибках. Записываем алгоритм составления уравнения касательной к графику функции.
5.Первичное закрепление
Фронтально выполняем тренировочные упражнения, которые заранее определены. Те студенты, которые справляются быстрее,
выполняют дополнительные задания более высокого уровня сложности. Приложение №3
6. Проверка усвоения
Самостоятельная работа по вариантам со взаимопроверкой. Сосед по парте выставляет оценку. Правильные ответы на слайде.
Приложение №4.
7. Подведение итогов:
Посмотрим, как изменилось наше мнение после работы на уроке. (вернуться к таблице и сделать корректировку)
Вспомнить о цели урока. Оцените, достигли ли мы этой цели? Вернуться к кластеру, дополнить его.
Подсчитать баллы за каждый этап урока и отметить его в листе самостоятельной работы. Поощрить активных дополнительными
баллами. Листы самостоятельной работы сдать. Выставить оценки в соответствие с набранными баллами ( критерии на слайде
презентации). Оценить визуально результативность урока: поднимаем руки.
8. Задание на дом:1. На основании текста оформить опорный конспект; выучить основные понятия;
2. Выполнить упражнения из задачника М.И.Башмаков, Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред.
проф.образования, гл.9,с.236 , № 9.16( 1б; 2б; 3г); 9.17(2;7)
9. Рефлексия: Проанализируем работу на уроке, используя прием «Шесть шляп»:
- Ребята! Уходя, надевают шляпы. Итак,
Белая шляпа: Информация (конкретные суждения без эмоционального оттенка)
Красная шляпа: эмоциональное суждение без объяснений.
Черная шляпа: критика- отражает проблемы и трудности.
Желтая шляпа: позитивные суждения.
Зеленая шляпа: творческое суждение, предложения
Синяя шляпа: обобщение сказанного, философский взгляд. Поблагодарить за работу на уроке.
Приложение №1. «Найди пару»
А:y=x+3
Б: y=3
В: y=x-3
Г: y=3-x
Д: y=-x-3
Ключ:
1
2
3
4
5
Д
А
Б
В
Г
y
0
1
5
0
0
0
2
0
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
0
1
3
0
y
x
4
0
y
x
Приложение №2
Приложение №3. Теоретический материал «Геометрический смысл производной.
Уравнение касательной к графику функции»
Производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению её
аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:




Функцию, имеющую производную ( в некоторой точке), называют дифференцируемой ( в
этой точке).
Производная функции также является функцией.
Рассмотрим график некоторой функции.
Пусть (АВ) – секущая графика функции
y=f(x), т.е. прямая, пересекающая график
функции .
Найдем угловой коэффициент секущей.
Известно, что это есть тангенс угла наклона
прямой к оси ОХ.
Проведем из точки А прямую параллельную
оси ОХ. Получим прямоугольный
треугольник
ΔАВN: АN=Δx ; ВN=Δf.
Тогда 





Посмотрим, что произойдет с секущей, если
аргумент точки В будет стремиться к x
0
.
Если
, то 
или .
Тогда точка В будет стремиться к точке А. И секущая будет стремиться занять предельное
положение ( иметь с графиком одну точку), т.е. положение касательной (AC).
Тогда


,






 



Итак, получили, что значение производной функции в точке x
0
равно угловому
коэффициенту касательной проведенной к графику функции в точке x
0
.

– геометрический смысл производной.
Касательная- это прямая, которая имеет с графиком функции одну общую точку.
Уравнение прямой имеет вид : y=kx+m.
Точка М(a;f(a))принадлежит прямой y=kx+m. Значит её
координаты удовлетворяют данному уравнению:
f(a)=ka+m , m=f(a)-ka.
Тогда уравнение касательной примет вид: y=kx+(f(a)-ka),
где

Получим: y=
y=
 – уравнение касательной к
графику функции.
N
М (а; f(а))
Приложение №3
1.Устные упражнения:
а) определить знак производной в точке касания.
б) Сравнить значения производных
и
x
0
y
x
0
0
x
0
y
x
0
x
0
0
x
y
0
x
3
2
y
в) Уравнение касательной имеет вид y=3-4x. Чему равно значение производной в точке
касания?
2.Письменные упражнения:
а) Найти угловой коэффициент касательной к функции

 в точке x=-1
б) Найти угол наклона касательной к графику функции
в точке x=1
в) На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к
нему в точке с абсциссой x
0
. Найдите значение производной функции f(x) в точке x
0
.
г) Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции


в точке

Дополнительно:
1.В некоторой точке к кривой 
 найти точку, в которой касательная к
кривой образует с осью Ох угол 
.
2.В какой точке касательная к параболе
параллельна прямой
y=6x-10.
Приложение №4
Самостоятельная работа:
№
Вариант 1
№
Вариант 2
1
y=4-5x –уравнение касательной к
графику функции в точке x
0
. Найти
значение производной в точке x
0
.
1
y=4+3x –уравнение касательной к
графику функции в точке x
0
. Найти
значение производной в точке x
0
.
2
На рисунке изображены график
дифференцируемой функции y=f(x) и
касательная к нему в точке с
абсциссой x
0
. Найдите значение
производной функции f(x) в точке x
0
.
2
На рисунке изображены график
дифференцируемой функции y=f(x) и
касательная к нему в точке с
абсциссой x
0
. Найдите значение
производной функции f(x) в точке x
0
.
3
Составить уравнение касательной,
проведенной к графику функции

 в точке
3
Составить уравнение касательной,
проведенной к графику функции
в точке
Ответы:
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Вариант 1
-5
0,75
у=11х-6
Вариант 2
3
3,5
у=5х-6
Критерии оценивания:
За первое задание – 1 балл;
За второе задание - 2 балла;
За третье задание – 3 балла.
Используемые источники:
1. Башмаков М. И., Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. Образования,
М., «Академия»,2016г.
2. Башмаков М. И. , Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред.
проф.образования, М., «Академия»,2016г.
3.Заир.Бек С.И. Развитие критического мышления на уроке: пособие для учителей
общеобразоват.учреждений. – М. Просвещение, 2011. – 223 с.
4. Открытый банк заданий ЕГЭ/Математика
http://www.fipi.ru/os11/xmodules/qprint/afrms.php?proj=
5. http://sho_hadb.olvn.zabedu.ru/files/org/225/58f615cfd7351.pdf
6. https://www.liveinternet.ru/users/4980570/post288798199
Слайды к презентации
Скачать материал

Геометрия - еще материалы к урокам: