Презентация "Сфера, шар основные характеристики" 11 класс

• Урок-лекция
• по теме:

• Геометрия –11 класс

• Сфера, шар
• основные характеристики

• Учитель математики МБОУ «СОШ № 37» г. Новокузнецка
• Кривошеева Л. В.

Окружность и круг

• Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

• r

• d

• r

• Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии r от данной точки.

• r – радиус;

• d – диаметр

• Определение сферы

• R

• Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии (R) от данной точки (центра т.О).

• Сфера – тело полученное в результате вращения полуокруж-ности вокруг её диаметра.

• т. О – центр сферы

• О

• D – диаметр сферы – отрезок, соединяющий любые 2 точки сферы и проходящий через центр.

• D = 2R

• Параллель (экватор)

• меридиан

• диаметр

• R – радиус сферы – отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром.

Шар

• Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
• Центр, радиус и диаметр сферы являются также центром, радиусом и диаметром шара.
• Шар радиуса R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от т. О на расстоянии, не превышающем R.

Как изобразить сферу?

• R

• 1. Отметить центр сферы (т.О)

• 2. Начертить окружность с центром в т.О

• 3. Изобразить видимую вертикальную дугу (меридиан)

• 4. Изобразить невидимую вертикальную дугу

• 5. Изобразить видимую гори-зонтальную дугу (параллель)

• 6. Изобразить невидимую горизонтальную дугу

• 7. Провести радиус сферы R

• О

Уравнение сферы

• (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2

• R

• МС = R , или МС2 = R2

• следовательно уравнение
• сферы имеет вид:

• уравнение окружности имеет вид:
• (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2

• М

• М(х;у;z),

• C

• C(x0;y0;z0)

Задача Зная координаты центра С(2;-3;0), и радиус сферы R=5, записать уравнение сферы.

• Решение
• так, как уравнение сферы с радиусом R и центром в точке С(х0;у0;z0) имеет вид (х-х0)2 + (у-у0)2 + (z-z0)2=R2, а координаты центра данной сферы С(2;-3;0) и радиус R=5, то уравнение данной сферы (x-2)2 + (y+3)2 + z2=25
• Ответ: (x-2)2 + (y+3)2 + z2=25

Взаимное расположение окружности и прямой

• r

• d

• Если d < r, то прямая и окружность имеют 2 общие точки.

• d= r

• d> r

• Если d = r, то прямая и окружность имеют 1 общую точку.

• Если d > r, то прямая и окружность не имеют общих точек.

• Возможны 3 случая

Сечение шара плоскостью есть круг.

• α

• C

• Сечение шара плоскостью есть круг.

• r

• Взаимное расположение сферы и плоскости

• Рассмотрим 1 случай

• d < R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность радиусом r.

• r = R2 - d2

• М

• С приближением секущей плоскости к центру шара радиус круга увеличивается. Плоскость, проходящая через диаметр шара, называется диаметральной. Круг, полученный в результате сечения, называется большим кругом.

• d

• α

• C(0;0;d)

• d = R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку

• Взаимное расположение сферы и плоскости

• Рассмотрим 2 случай

• d

• α

• C(0;0;d)

• d > R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

• Взаимное расположение сферы и плоскости

• Рассмотрим 3 случай

• d

Задача. Шар радиусом 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найти радиус сечения.

• Дано:
• Шар с центром в т.О
• R=41 дм
• α - секущая плоскость
• d = 9 дм

• М

• К

• О

• R

• d

• Найти: rсеч = ?

• Решение:
• Рассмотрим ∆ОМК – прямоугольный
• ОМ = 41 дм; ОК = 9 дм; МК = r, r = R2 - d2
• по теореме Пифагора: МК2 = r2 = 412- 92 = 1681 - 81=1600 отсюда rсеч = 40 дм

• Ответ: rсеч = 40 дм

• r

• Свойство касательной.

• Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

• Планиметрия

• Стереометрия

• А

• О

• О

• А

• В

• r

• r

• Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

• Признак касательной.

• Планиметрия

• Стереометрия

• А

• О

• О

• r

• А

• В

• r

• Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательно к сфере.

• Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

• касательная

• касательная пл.

• 112

• № 592 Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

• 15

• В

• А

• 112

• О

• N

• ВN – искомое расстояние

• O

• B

• М

• N

• C

• P

• A

• O1

• C

• М

• A

• B

• N

• P

• № 584 Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13см, ВС=14см, СА=15см.

Площадь сферы

• Площадь сферы радиуса R: Sсф=4πR2

• Сферу нельзя развернуть на плоскость.

• Опишем около сферы многогранник, так чтобы сфера касалась всех его граней.

• За площадь сферы принимается предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани

• т.е.: Площадь поверхности шара равна учетверенной площади большего круга

• Sшара=4 Sкруга

Задача Найти площадь поверхности сферы, радиус которой = 8 см.

• Дано:
• сфера
• R = 8 см
• Найти:
• Sсф = ?

• Решение:
• Sсф = 4πR2
• Sсф = 4π 82 = 256π см2
• Ответ: Sсф = 256π см2

Объем шара

• R

• Vшара = 4/3ПR2

Объём шарового сегмента и шарового слоя

• Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

• Шаровой слой – это часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями.

• Vш. сегмента=Пh2(R- 1/3h)

• Vш. слоя=Vш.сег.1-Vш.сег.2

• Основание сегмента

• Высота сегмента (h)

• R

• Шаровой слой

Объём шарового сектора

• Vш. сектора = 2/3ПR2h

• Шаровой сектор – это тело, полученное вращением кругового сектора, с углом, меньшим 90о, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов.

• Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса

• R

• h