Ученики на Учителя.com


Технологическая карта урока "Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия" 9 класс

Предмет: Математика
Класс: 9
Тема: «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия»
Тип урока: урок изучения нового материала.
Цели:
Образовательная: формирование представлений о бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, о сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии, умений решать задачи на
нахождение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Воспитательная: воспитание потребности к самообразованию, привитие интереса к предмету.
Развивающая: развитие познавательной активности учащихся, связной речи; критического
мышления; умения работать и взаимодействовать в группе одноклассников.
Приемы ТРКМ: «Корзина идей», «РАФТ».
Продолжительность: 45 мин
Учебник: Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк,
К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. Теляковского. - М. «Просвещение», 2012.
Оборудование: ПК, документ-камера, мультимедийный проектор, экран.
Этапы урока
Информа
ционно-
методичес
кое
обеспечен
ие, ЦОРы
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
I.Организац
ионный
момент
Учитель приветствует детей.
II.Актуализа
ция знаний.
Слайд 1, 2
Компьют
ерное
тестирова
ние
- Мы продолжаем изучение
геометрической прогрессии.
Вспомним, какая
последовательность называется
геометрической прогрессией?
Выполните тест.
Отметки по желанию учащихся
выставляются в журнал.
Ученики на компьютерах
выполняют тест.
Анализ ответов. Ответы к
тесту выводятся на экран.
III.Стадия
вызова
Прием
«Корзина
идей»
Слайд 3
Макет
корзины.
Слайд 4
- Зная формулы геометрической
прогрессии, мы умеем решать
интересные задачи литературного,
исторического и практического
содержания на прогрессию.
Решите еще одну задачу про героя
троянской войны Ахиллеса:
«Ахиллес бежит со скоростью в 10
раз быстрее, чем черепаха и
изначально находится на
расстоянии 1000 шагов от нее.
Какое общее расстояние,
пройденное Ахиллесом до встречи
с черепахой?»
- Обсудите в парах и составьте
план решения задачи. Все идеи
«сбрасываем в корзину»
Все мнения, выражения
записываются учителем или
учениками в «корзине» идей на
доске (без комментариев), даже
если они ошибочны. Основное
условие – не повторять то, что
Учащиеся обсуждают решение
в парах.
Выражения записываются
учениками на доске.
Постановка
цели урока
Слайд 5
Слайд 6
уже было сказано другими.
- Попробуем систематизировать
полученную информацию.
- Таким образом, получаем
последовательность
1000, 100, 10, 1, 0,1, 0,01…
- Что можете сказать о данной
последовательности?
- Конечной или бесконечной?
Убывающей или возрастающей?
Какой знаменатель прогрессии?
- Как вычислить общее
расстояние, пройденное
Ахиллесом до встречи с
черепахой?
- Вычислите сумму по известным
формулам геометрической
прогрессии.
- На какие вопросы хотели бы
получить ответы?
- Как назовем тему сегодняшнего
урока?
- Открываем тетради, пишем тему
урока.
Учитель конкретизирует цели
урока, обращает внимание на
«идеи в корзине» и вместе с
учащимися обсуждают, какие
идеи ошибочны, какие ближе к
ответу, какие необходимо еще
уточнить. Исправляются ошибки.
- Когда Ахиллес пробежит 1000
шагов, черепаха проползет в 10
раз меньше, то есть 100 шагов.
Расстояние между Ахиллесом и
черепахой будет 100 шагов.
Тогда Ахиллес пробежит 100
шагов, а черепаха проползет 10
шагов. После этого между
Ахиллесом и черепахой будет
расстояние в 10 шагов.
Когда Ахиллес пройдет 10
шагов, черепаха проползет 1
шаг.
Когда Ахиллес пройдет 1 шаг,
черепаха проползет еще 0, 1
шага и все равно будет дальше
него. Так можно продолжать до
бесконечности.
- Последовательность является
геометрической прогрессией.
- Бесконечно убывающая.
Знаменатель

.
- Сложить числа
1000+100+10+1+

+

+

+…
- Невозможно. Членов
прогрессии бесконечно.
- Как определить, является
геометрическая прогрессия
убывающей?
- Как вычислить сумму, если
геометрическая прогрессия
убывающая и бесконечная?
- Сумма бесконечно убывающей
прогрессии.
Дети записывают тему.
IV.Стадия
осмысления
Каждая
группа
- Найдем сумму разными
способами. Первая группа
Класс делится на 4 группы.
Находят сумму различными
Первичное
закрепление
работает с
учебнико
м и
дополнит
ельным
материал
ом на
компьюте
ре.
Слайд 7
Слайд 8
вычисляет сумму первым
способом, вторая – вторым, третья
– третьим способом. IV группа
выводит формулу суммы,
используя материал учебника. Для
этого в группе разбираете
указанный выше способ
нахождения суммы и применяете
для нашей последовательности.
- Командиры с помощью членов
группы представляют свое
решение.
- Какое общее расстояние,
пройденное Ахиллесом до встречи
с черепахой?
- Какой вывод можно сделать из
этих решений?
- Какое условие должно
выполняться, чтобы
геометрическая прогрессия была
бесконечно убывающей?
- Что для этого необходимо знать?
- Решите задачу: «Один из
учеников, вызванный к доске,
должен идти от стола к двери по
прямой. Первый шаг он делает
длиной 1метр, второй -1/2 м.,
третий 1/4 м и т. д. так, что длина
следующего шага в 2 раза меньше
длины предыдущего. Дойдет ли
ученик до двери, если расстояние
от стола до двери по прямой 3
метра?»
- Вернемся к задаче про Ахиллеса
и черепаху. Расстояние, которое
потребуется преодолеть Ахиллесу,
чтобы догнать черепаху, равно
- Все согласны с таким ответом:
способами. Каждая группа свое
решение оформляет в тетради.
Для презентации работы
используют документ-камеру,
доску.
Последней выступает группа,
вычисляющая сумму по формуле
суммы геометрической
прогрессии.
- S=1000+100+10+1+0,1+…=
1111
.
Расстояние, которое потребуется
преодолеть Ахиллесу, чтобы
догнать черепаху, равно
1111 и одна девятая шага
(0,111…=
.
- Мы нашли сумму бесконечной
прогрессии.
- Даже бесконечное количество
слагаемых в сумме может давать
конечную величину, если
пренебречь малой величиной
- Первый член прогрессии и
знаменатель.
S=

Дети формулу записывают в
тетрадях.
Индивидуальная работа.
Решение.
1, 1/2, 1/4, 1/8, …
S=

S=

=2
Ответ: нет.
- 1111 и одна девятая шага
(0,111…= 1/9).
- Да. Ахиллес догонит черепаху
и обгонит ее.
Слайд 9
быстрый Ахиллес догонит
медлительную черепаху.
- Всем известно, что такое
софизмы. Очень интересны
математические софизмы
древнегреческих философов-
математиков.
Разгадать один из самых
известных софизмов
древнегреческого философа
Зенона — парадокс Ахиллеса и
черепахи, будет вашим домашним
заданием.
V.Стадия
рефлексии.
Прием
«РАФТ»
Заключитель
ный этап
- Предлагаю каждому составить
рассказ (не более 5 предложений)
по теме: «Сумма бесконечно
убывающей геометрической
прогрессии». Работа по вариантам.
Учитель просит озвучить
несколько рассказов и обсудить:
если мама с папой прочитают
такой рассказ, все ли им будет
понятно?
- Подведем итоги.
- Что нового узнали на уроке?
- Цели урока выполнены?
- Что интересного было на уроке?
- Что вызвало затруднение? Какие
вопросы вы бы задали по этому
поводу?
- Не осталось ли в корзине идей?
- Оценки.
Учащиеся 1 варианта пишут от
своего имени своим родителям;
учащиеся 2 варианта пишут от
своего имени одноклассникам.
Пример рассказа: «Мама и папа!
Сегодня на уроке по теме
"Сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии " я
узнал, что сумма бесконечно
убывающей геометрической
прогрессии конечное число.
Узнал, что в математике
бесконечно малой величиной
можно пренебречь. Чтобы
вычислить сумму бесконечно
убывающей геометрической
прогрессии я должен знать
формулу, первый член прогрессии
и знаменатель. Меня
заинтересовали софизмы».
VI.
Домашнее
задание
Слайд 10
- Разгадать парадокс Ахиллеса и
черепахи.
- Почему данная задача древним
представлялась неразрешимою?
- Какую роль играют
математические софизмы?
Тест
Выберите верный ответ
1. Геометрическая прогрессия - это
а) числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме
предыдущего члена и одного и того же числа d;
б) числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается из
предыдущего члена умножением его на одно и то же число g;
в) числовая последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой,
начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число g.
2. Какая из последовательностей является геометрической прогрессией
а) 13, 25, 37, 49,…
б) -10, 20, -40, 80,…
в) -7, -2, 3, 0,…?
3. Какая геометрическая прогрессия является убывающей
а) -6, -3, -1,5,…
б)

,

,

,

,…
в) -

, -

, -

, -

,…?
4. В геометрической прогрессии 0,1, 0,001, 0,00001,…
найдите знаменатель
а)

б)

в) 0, 0001
5. Формула для нахождения суммы n-первых членов геометрической прогрессии
а) S
n
=




б) S
n
=


в) S
n
=


·n.
Нахождение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Способ 1.
Обозначим сумму через S:
S= 1000+100+10+1+

+

+

+…
Тогда 10S=10000+1000+100+10+1+

…
10S=10000+S,
9S=10000,
S=10000/9,
S=1111
.
Способ 2.
Ахиллес догонит черепаху, пробежав некоторое расстояние S. За это время черепаха, скорость
которого в 10 раз меньше, проползет расстояние

, и расстояние между ними уменьшится на S-

.
=


. Если в начале оно равнялось 1000 шагам, а в момент встречи стало нулевым, то


=1000
иS=10000/9.
Способ 3.
По формуле суммы геометрической прогрессии S
n
=




, где g=

, а с ростом n

бесконечно
мало, и им можно пренебречь. Тогда S
n
=

, S
n
=

.
S=


=

Литература:
1. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И.
Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. Теляковского. - М. «Просвещение», 2012.
2. Гельфанд И. М., Шень А.Х. АЛГЕБРА. – М.: ФАЗИС, 1998.
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: