Ученики на Учителя.com


Разработка урока "Неравенство Бернули и его применение для сравнения числовых выражений"

1
Разработка для факультативных занятий.
Епифанова Татьяна Николаевна,
учитель математики ГБОУ СОШ №1358 г. Москвы.
НЕРАВЕНСТВО БЕРНУЛЛИ И ЕГО
ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ СРАВНЕНИЯ
ЧИСЛОВЫХ ВЫРАЖЕНИЙ.
Неравенство Бернулли:
Для любых
1x
и
Nn
верно неравенство
nxx
n
11
(*)
Причём равенство достигается при х=0 или при n=1.
Доказательство неравенства Бернулли методом
математической индукции:
1. Пусть n=1, тогда
xx 11
- верное равенство.
2. Предположим, что неравенство (*) справедливо
при
kn
, т.е.
kxk
k
1)1(
(**)
3. Покажем, что неравенство (*) выполняется
также и при
1 kn
, т.е. докажем неравенство
(***)
Имеем
kk
xxx )1)(1()1(
1
.
В силу индукционного предположения (**), получим
xkxkxxkxkxxx
k
11111
2
1
.
Доказано неравенство (***).
На основании принципа математической индукции
следует, что неравенство Бернулли справедливо для
всех натуральных n.
Пример 1. Сравните
11
11
14
и
14log
2
.
Решение. 1)
414log16log14log
222
(1)
2) Сравним
11
11
14
с числом 4, используя классическое
неравенство Бернулли.
Очевидно, что
1111
11
3
1
11
14
.
2
Тогда согласно неравенству Бернулли, получим
следующее неравенство:
11
113
1
11
3
1
11
4
11
14
11
; (2)
Из (1) и (2) следует, что
14log
11
14
2
11
Пример 2. Сравнить
24
3
17
и 5!-3!-2!.
Решение. 1) 5!-3!-2!=112. (3)
2)
2424
3
14
1
3
17
.
Тогда согласно неравенству Бернулли, получим
следующее неравенство:
3
2414
1
3
14
1
24
113
3
17
24
; (4)
Из (3) и (4) следует, что
5!-3!-2!
3
17
24
Пример 3. Сравнить
64
36
43
24
17
и
8log
3
.
Решение. 1)
28log9log8log
333
(5)
2) Сравним
64
36
43
24
17
с числом 2, используя
классическое неравенство Бернулли
Очевидно, что
6464
36
7
1
24
7
1
36
43
24
17
.
Тогда согласно неравенству Бернулли, получим
следующее неравенство:
6
36
7
14
24
7
1
36
7
1
24
7
1
64
;
т.е.
2
6
7
1
6
7
1
36
7
1
24
7
1
64
;
Итак,
2
36
43
24
17
64
(6)
3
Из (5) и (6) следует, что
8log
36
43
24
17
3
64
.
Пример 4. Сравнить
199...321
1
...
321
1
21
1
1
99,12
,
200
51
и
2
1
2
.
Решение. Обозначив первую дробь через A,
разделим числитель и знаменатель на 2. Затем
каждую дробь в знаменателе, начиная со второй,
представим в виде разности двух дробей с
числителем 1.
А=
199...321
1
...
321
1
21
1
1
99.12
=
200
1
1
99,1
200
1
199
1
...
5
1
4
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
99,1
2
199
20099,1
(7)
Оценим
200
51
, используя неравенство Бернулли.
Очевидно, что
151
200
.
Тогда
p151
200
, где
0p
.
Исходя из неравенства Бернулли:
515112001
200
200
200
pp
Поэтому
25,050200 pp
Значит
225,15125,0151
200200
(8)
Из (7) и (8) следует, что
200
51A
2
2
1
2
как сумма взаимно обратных чисел.
Итак,
2
1
2
199...321
1
...
321
1
21
1
1
99,12
51
200
.
199200
1
...
12
1
6
1
2
1
99,1
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: