Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Касательная к графику функции. Задания с параметром" 11 класс

ОТКРЫТЫЙ УРОК
по теме
«Касательная к графику функции.
Задания с параметром»
в 11 КЛАССЕ
в рамках работы программы
«ОРГАНИЗАЦИЯ РАБОТЫ С
ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНО ОДАРЕННЫМИ
ДЕТЬМИ В УСЛОВИЯХ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ»
Разработала: учитель математики высшей
категории МБОУ СОШ № 56 г.Брянска
Заварзина Эльмира Махмудовна
Пояснительная записка.
Тема «Касательная» входит в программу по математике как
общеобразовательных учреждений, так и профильного обучения. В
стандартных учебных пособиях для средней школы к этой теме приведено
немного задач, главным образом технического характера.
При анализе заданий вступительных экзаменов в ВУЗы и текстов
экзаменационных работ в профильных классах возникла необходимость как
расширения списка задач на касательную к графику функции, так и
рассмотрения задач с применением знаний других разделов школьного курса
математики, в частности, задач с параметром.
Как показывает практика работы в классах углубленного изучения
математики, задачи о касательной становятся гораздо содержательнее, если
их решение «обогащено» работой с параметром. С помощью таких задач
можно не только обеспечивать учащихся новыми знаниями, но и расширять
их «информационное поле» по указанной теме, повышать логическое и
умственное развитие, формировать общематематическую культуру
школьников.
Тема урока :
«Касательная к графику функции. Задания с параметром».
Тип урока : Урок комплексного применения знаний и способов действий.
Цели урока :
• Образовательные : закрепление знаний, умений и навыков учащихся
по теме «Касательная к графику функции»; развитие умений учащихся
применять знания в новых ситуациях – при работе с параметром;
создание условий для самостоятельного применения знаний, умений
учащихся в нестандартных ситуациях , освоения материала на более
высоком уровне понимания.
• Развивающие : развивать умения применять знания в новой ситуации,
обобщать и систематизировать изученный материал; способствовать
развитию различных видов мышления, речи, внимания, памяти,
общеучебных компетенций учащихся.
• Воспитательные : воспитание умения обучаться в коллективе, в
группе, в парах; воспитание общей культуры учащихся.
Формы организации деятельности учащихся :
Фронтальная работа, работа в парах, индивидуальная и самостоятельная
работа учащихся.
Дидактическое обеспечение урока : учебное пособие, карточки, таблицы.
Ход урока :
1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
1. При каком значении а прямая у = 3х – 4 + а является касательной к
графику функции f(x) = ln (3х – 4) ?
Решение : D(f) =(
3
1
1
; ∞).
ln
\
(3x
0
– 4) = 3,
ln(3x
0
– 4) = 3х
0
– 4 + а;
43
3
0
х
= 3,
х
0
=
3
5
= 1
3
2
,
3
5
D(f),
ln(3
)4
3
5
= 3
- 4 + а,
а = -1.
Ответ : при а = -1.
2. Найдите наибольшее целое отрицательное значение параметра а, при
котором через начало координат проходит 2 различные прямые,
касающиеся графика функции у =
12
8
ах
ах
.
Решение : а
0, х
-
а
12
.
1). у
к
=
12
8
0
0
ах
ах
+
2
0
2
)12(
96
ах
а
(х – х
0
).
2). 0 =
12
8
0
0
ах
ах
-
2
0
2
0
)12(
)96(
ах
ах
,
4х
0
2
а + а
2
х
0
+ 6а = 0,
4х
0
2
+ ах
0
+ 6 = 0,
D = а
2
– 96,
D > 0,
а
( - ∞; -4
6
)
(4
6
; +∞), а = - 10.
Ответ : при а = -10.
3. При каком значении параметра а графики функций у = -х
2
– 3х – 3 и у = -
х
а
пересекаются и имеют в точке пересечения общую касательную?
Решение : х
0.
-х
0
2
– 3х
0
– 3 =
0
х
а
,
-2х
0
– 3 = -
2
0
х
а
,
а = -х
0
3
– 3х
0
2
– 3х
0
,
а = 2х
0
3
+ 3х
0
2
,
- х
0
3
– 3х
0
2
– 3х
0
– 2х
0
3
– 3х
0
2
= 0,
х
0
3
+ 2х
0
2
+ х
0
= 0,
х
0
(х
0
2
+ 2х
0
+ 1) = 0,
х
0
(х
0
+ 1)
2
= 0,
х
0
= 0 или х
0
= -1,
х
0
= 0 – посторонний корень,
при х
0
= -1 а = 2(-1)
3
+ 3(-1)
2
,
а = -2 + 3,
а = 1.
Ответ : при а = 1.
3. Актуализация знаний учащихся .
На этом этапе урока все учащиеся работают по заранее заготовленным
карточкам – «заготовкам» в течение 10 минут , кроме троих учащихся,
которые работают по индивидуальным заданиям.
Карточка – «заготовка» :
1 вариант :
1. При каком значении параметра а прямая у = ах + 2 является касательной
к графику функции у = ln х , х > 0, а
R ?
2. При каких в и с парабола у = х
2
+ вх + с касается прямой у = 4х + 1 в
точке х
0
= 1?
2 вариант :
1. При каких значениях параметра р касательная , проведенная к графику
функции у = х
3
– рх в точке графика х
0
= 1 проходит через т. М(2;3)?
2. При каком значении параметра а касательная, проведенная к графику
функции у = (2х+1)е
1-ах
в точке х
0
=
2
1
параллельна оси абсцисс?
4. Этап комплексного применения знаний учащихся и способов действий.
Решить задачи : (фронтальная работа)
1.При каких значениях параметра р из точки В(р; -1) можно провести три
различные касательные к графику функции у = х
3
– 3х
2
+ 3?
Решение :
у
к
= у(х
0
) + у
\
(х
0
)х – х
0
)
у(х
0
) = х
0
3
– 3х
0
2
+ 3,
у
\
(х) = 3х
2
– 6х,
у
\
(х
0
) = 3х
0
2
– 6х
0
,
у
к
= х
0
3
– 3х
0
2
+ 3 + ( 3х
0
2
– 6х
0
) (х – х
0
),
- 1 = х
0
3
– 3х
0
2
+ 3 + (3х
0
2
– 6х
0
)(р – х
0
),
2х
0
3
– 3х
0
2
(1 + р) + 6х
0
р – 4 = 0,
(х
0
– 2)(2х
0
2
+ х
0
(1 – 3р) + 2) = 0,
D = 9р
2
– 6р – 15,
D > 0,
D= 36∙16 = 576 = 24
2
,
Р
1
=
3
5
, р
2
= -1.
р
( - ∞; -1)
( 1
3
2
; +∞).
Если х
0
= 2 – корень, то 2∙4 + 2(1 – 3р) + 2 = 0, р = 2.
При р = 2 х
0
= 2 – корень четной кратности.
Ответ : р
( - ∞; -1)
(1
3
2
; 2)
( 2; +∞).
2. Найти все значения параметра а, при которых числа х
1
,
3
2
а
, х
2
образуют геометрическую прогрессию, если х
1
и х
2
– абсциссы точек
графика функции f(x) = х
3
+ 7х
2
+ (2 – 9а)х , в которых касательные к
графику функции наклонены к оси абсцисс под углом 135°.
Решение:
1). f
\
(x
0
) = -1,
f
\
(x
0
) = 3х
0
2
+ 14х
0
+ (2 – 9а),
3х
0
2
+ 14х
0
+ (2 – 9а) = -1,
3х
0
2
+ 14х
0
+ (3 – 9а) = 0,
2). х
1
х
2
= а
2
+ 3,
х
1
х
2
=
3
93 а
= 1 – 3а при условии D > 0.
D = 108а + 160, D > 0, если а > -1
108
52
;
3). 1 – 3а = а
2
+ 3,
а
2
+ 3а + 2 = 0,
D = 1, а
1
= -1, а
2
= -2 - посторонний корень.
Ответ : а = -1.
3. На параболе у = ах
2
+ вх + 5 существует единственная т. м, обладающая
тем свойством, что если в этой точке провести касательную к параболе,
то отрезок этой касательной , заключенный между координатными осями,
делится т. М пополам. Найдите ординату вершины параболы.
Решение :
1). у
к
= ах
0
2
+ вх
0
+ 5 + (2ах
0
+ в)(х – х
0
).
2). Т. к. касательная к параболе пересекает ось ОХ в т. Р, то Р(х;0).
ах
0
2
+ вх
0
+ 5 + 2ах
0
х
- 2ах
0
2
+ вх – вх
0
= 0,
х(2ах
0
+ в) – ах
0
2
+ 5 = 0,
х =
вах
ах
0
2
0
2
5
,
Р(
вах
ах
0
2
0
2
5
; 0).
3). Т. к. касательная к параболе пересекает ось ОУ в т. К, то К(0;у)
у = ах
0
2
+ вх
0
+ 5 – 2ах
0
2
– вх
0
,
у = - ах
0
2
+ 5, К(0; - ах
0
2
+ 5).
4). Т. М – точка касания, М (х
0
; у
0
), М(х
0
; ах
0
2
+ вх + 5), т.М – середина РК,
х
0
=
)2(2
5
0
2
0
вах
ах
.
2х
0
(2ах
0
+ в) = ах
0
2
– 5,
4ах
0
2
+ 2х
0
в – ах
0
2
+ 5 = 0,
3ах
0
2
+ 2х
0
в + 5 = 0,
х
0
- единственная
D = 0, D = 4в
2
– 60а,
4в
2
– 60а = 0, 4в
2
= 60а,
в
2
= 15а, а =
15
2
в
.
х
в
= -
а
в
2
= -
2
2
15
в
в
= -
в2
15
,
у
в
= а
2
4
225
в
+ в
)
2
15
(
в
+ 5 = 12,5
Ответ : 12,5.
5. Подведение итогов урока.
6. Постановка домашнего задания.
Карточка :
1. При каком значении k касательная к графику функции f(x) = kх
2
образует с
осью ОХ угол, равный
, и отсекает от четвертой четверти треугольник,
площадь которого равна
3
38
?
2. Прямая у – 5 – х является касательной к графику функции у = х -
ахх 2
2
. Найдите координаты точки касания.
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: