Презентация "Независимые повторения испытаний. Теорема Бернулли" 11 класс

МБОУ СОШ № 20 пос. Зеленый Ногинского района Московской области

• Независимые повторения испытаний. Теорема Бернулли.
• Алгебра и начала анализа .
• 11 класс (базовый уровень).

• Симонова Лариса Алексеевна, учитель математики

Урок Случайные события и их вероятности Практикум по решению задач.

• 1.Что называют произведением событий А и В?
• 2. Сопоставьте произведение событий с теорией множеств. А сумму событий?
• 3. Какие события называют независимыми?
• 4. Запишите формулу вероятности суммы двух независимых событий.
• 5. Для каких событий вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий?

Самостоятельная работа

• 1 вариант
• 1.Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года
• 1) перегорят обе лампы,
• 2) хотя бы одна лампа не перегорит,
• 3) перегорит ровно одна лампа.

• 2 вариант
• В торговом центре два
• одинаковых автомата продают
• кофе. Вероятность того, что к концу
• дня в автомате закончится кофе,
• равна 0,3. Найдите вероятность
• того, что к концу дня
• 1)кофе останется в обоих автоматах,
• 2) кофе останется хотя бы в одном автомате.
• 3)кофе останется ровно в одном автомате.

1 вариант 2 вариант

• Решение.
• 1. 0,3·0,3 = 0,09. 2. 0,7·0,7= 0,49
• 1 способ
• 1 − 0,09 = 0,91.
• 2 способ
• (1-0,3) 0,3+ 0,3 (1-0,3)+ (1-0,3)(1-0,3)=0,91
• 3 способ
• P(A+B)=P(A)+P(B)- P(A) ·P(B)= 0,7+0,7-0,7 ·0,7=0,91
• 1 способ
• (1-0,3) 0,3+ 0,3 (1-0,3)=0,42
• 2 способ
• P(A+B)- P(A) ·P(B)=0,91-0,7 · 0,7=0,42

Сравните Пример 4 Пример 5.

• Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно.

• Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрела.

• <number>

• Найти вероятность того, что мишень:
• а)   будет поражена трижды;
• б)   не будет поражена;
• в)   будет поражена хотя бы раз;
• г)    будет поражена ровно один раз.

Тема урока

• Независимые повторения испытаний. Теорема Бернулли.

1.Решить примеры (учитывается степень самостоятельности и объем верно выполненной работы).

• Групповая работа стр.338 пример 5

• 1.Решить примеры (учитывается степень самостоятельности и объем верно выполненной работы).
• 2. Найти еще один метод, предложенный Бернулли.

• Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Было произведено 3 независимых друг от друга выстрела.

• Найти вероятность того, что мишень:
• а)   будет поражена трижды;
• б)   не будет поражена;
• в)   будет поражена хотя бы раз;
• г)    будет поражена ровно один раз.

• Пример 5.

• Производится серия n независимых испытаний.
• У каждого испытания 2 исхода:
• A - "успех" и - "неуспех".
• Вероятность "успеха" в каждом испытании одинакова и равна P(A) = p (соответственно, вероятность "неуспеха" также не меняется от опыта к опыту и равна ) р-1.

• Схема Бернулли

• Какова вероятность того, что в серии из n опытов k раз наступит успех?
• Найти .

Вероятность наступления k успехов в n независимых повторениях одного и того же испытания находится по формуле

• Вероятность наступления k успехов в n независимых повторениях одного и того же испытания находится по формуле
• где p – вероятность «успеха»,
• q = 1- p - вероятность «неудачи» в отдельном опыте.

• Теорема Бернулли

• Формула называется формулой Бернулли.

 Якоб Бернулли-1654-1705

• Швейцарский математик. 
• Старший брат Иоганна Бернулли.
• Профессор математики
• Один из основателей теории вероятностей и математического анализа
• Владел 5 языками
• Изучал богословию, философию
• Служил частным учителем
• В честь братьев Бернулли назван кратер на Луне, теоремы математики и физики

План работы

• №10 а, пример 5- записать решение с помощью теоремы Бернулли.
• Домашнее задание
• П.54 раздел 3-выучить теорию,
• доп.- прочитать о связи классического определения вероятности со статистическим, о теореме –следствии Бернулли, о явлении статистической устойчивости- стр.340-341
• № 10, доп. № 22,6
• Индивидуальное задание:
• рассказать о связи классического определения вероятности с геометрическим, о том, как вычислить геометрическую вероятность -стр.341-342.

№10 а

• План
• 1.Записать формулу в общем виде
• 2. Определить и записать
• N=
• K=
• P=
• Q=
• 3.Подставить в формулу
• 4. Вычислить

Работа парами пример 5

• 1 группа-
• а)

• 2 группа-
• б)
• в)-все вместе

• 3 группа-
• г)

Пример 5

• А)
• Б)
• Г)
• В)

Итоги

• Что узнали нового?
• Что научились делать?
• Какие у вас возникли проблемы?
• Предположите, чем будем заниматься на следующем уроке?

Задача. (проблема следующего урока)

• Точка случайным образом выбрана из фигуры, ограниченной y= x 2 , осью абсцисс, х=3.
• Какова вероятность того, что она лежит
• А)левее прямой х=1,
• Б)выше прямой y=3?
• Бесконечное число исходов события.

Использованные ресурсы

• Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1., ч.2 Учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – 4-е изд., доп. – М.: Мнемозина, 2007.
• http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2014/03/09/glava-9-paragraf-54-sluchaynye-sobytiya-i-ikh-veroyatnosti-chast-3
• http://org-wikipediya.ru/wiki/%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8,_%D0%AF%D0%BA%D0%BE%D0%B1
•