Презентация "Поверхности второго порядка" скачать бесплатно


Презентация "Поверхности второго порядка"


Подписи к слайдам:
§15. Поверхности второго порядка

  • Поверхности второго порядка

  • <number>
  • Определение Уравнение поверхности - уравнение вида
  • Замечание Поверхности второго порядка,
  • за исключением случаев сильного вырождения,
  • можно разделить на пять классов:
  • эллипсоиды,
  • гиперболоиды,
  • параболоиды,
  • конусы
  • цилиндры.

в общем случае уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид

  • в общем случае уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид
  • a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+
  • +2a23yz+2a10x+2a20y+2a30z+a00=0 .
  • Поверхности второго порядка делятся на
  • 1) вырожденные
  • 2) невырожденные

  • Вырожденные поверхности второго порядка это плоскости и точки, которые задаются уравнением второй степени.
  • Невырожденными поверхности второго порядка подразделяются на пять типов.
  • Эллипсоиды
  • гиперболоиды,
  • параболоиды,
  • конусы
  • цилиндры.

Определение Эллипсоид поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяемая уравнением

  • Определение Эллипсоид поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяемая уравнением
  • <number>
  • Эллипсоид может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей. Такой эллипсоид называют эллипсоидом вращения или сфероидом
  • эллипсоид есть сфера
  • полуоси эллипсоида,
  • если они различны,
  • то эллипсоид
  • трехосный

Система координат, в которой эллипсоид имеет уравнение (1) называется его канонической системой координат, а уравнение (1) – каноническим уравнением эллипсоида

  • Система координат, в которой эллипсоид имеет уравнение (1) называется его канонической системой координат, а уравнение (1) – каноническим уравнением эллипсоида
  • где a, b, cположительные константы.
  • Эллипсоид имеет центр симметрии O(0; 0; 0) и три плоскости симметрии xOy, xOz, yOz.

Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида.

  • Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида.
  • Если все они различны, то эллипсоид называется трехостным.
  • Если две из трех полуосей равны, эллипсоид является поверхностью вращения.
  • Он получается в результате вращения эллипса вокруг одной из своих осей.

ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПСОИДА

  • 1) Сечения плоскостями x = h:
  • Это уравнение определяет
  • а) при | h | < a – эллипс (причем, чем больше | h |,
  • тем меньше полуоси эллипса);
  • б) при | h | = a – точку A2,1(a; 0; 0);
  • в) при | h | > a – мнимую кривую.

3) Сечения плоскостями y = h:

  • 3) Сечения плоскостями y = h:
  • Это уравнение определяет
  • а) при | h | < b – эллипс (причем, чем больше | h |,
  • тем меньше полуоси эллипса);
  • б) при | h | = b – точку B2,1(0; b; 0);
  • в) при | h | > b – мнимую кривую.

3) Сечения плоскостями z = h:

  • 3) Сечения плоскостями z = h:
  • Это уравнение определяет
  • а) при | h | < c – эллипс (причем, чем больше | h |,
  • тем меньше полуоси эллипса);
  • б) при | h | = c – точку C2,1(0; 0; c);
  • в) при | h | > c – мнимую кривую.

Определение Сфера в пространстве - геометрическое место точек, одинаково удаленных от некоторой точки, называемой центром сферы.

  • Определение Сфера в пространстве - геометрическое место точек, одинаково удаленных от некоторой точки, называемой центром сферы.
  • <number>
  • уравнение сферы радиуса
  • Сфера с центром в начале координат есть уравнение
  • Замечание Эллипсоид, у которого все три полуоси равны, называют сферой

Определение Двухполостный гиперболоид – поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением

  • Определение Двухполостный гиперболоид – поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением
  • <number>
  • Определение Однополосный гиперболоид –
  • поверхность, которая в некоторой системе
  • декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением

    • Замечание Шуховская башня расположена в Москве на улице Шаболовка. Построена в 1919—1922г. русским архитектором Владимиром Григорьевичем Шуховым (1853—1939).
    • Шуховская башня имеет конструкцию, благодаря чему достигается минимальная ветровая нагрузка.
  • По форме секции башни — это однополостные гиперболоиды вращения, сделанные из прямых балок, упирающихся концами в кольцевые основания.
  • Такие конструкции часто употребляются для устройства высоких радиомачт, водонапорных башен
  • <number>

Гиперболоиды

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Однополостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
  • где a, b, cположительные константы.
  • Система координат, в которой однополостный гиперболоид имеет уравнение (2) называется его канонической системой координат, а уравнение (2) – каноническим уравнением однополостного гиперболоида.
  • Замечание Однополостный гиперболоид имеет центр симметрии O(0; 0; 0) и три плоскости симметрии xOy, xOz, yOz.

Величины a, b и c называются полуосями однополостного гипер- болоида.

  • Величины a, b и c называются полуосями однополостного гипер- болоида.
  • Если a = b, то однополостный гиперболоид является поверхностью вращения. Он получается в резуль- тате вращения вокруг своей мнимой оси гиперболы

ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ОДНОПОЛОСТНОГО ГИПЕРБОЛОИДА

  • 1) Сечения плоскостями x = h:
  • Это уравнение определяет
  • а) при | h | < a – гиперболу, с действительной осью || Oy;
  • б) при | h | > a – гиперболу, с действительной осью || Oz;
  • в) при | h | = a – пару прямых.

3) Сечения плоскостями y = h:

  • 3) Сечения плоскостями y = h:
  • Это уравнение определяет
  • а) при | h | < b – гиперболу, с действительной осью || Ox;
  • б) при | h | > b – гиперболу, с действительной осью || Oz;
  • в) при | h | = b – пару прямых.

3) Сечения плоскостями z = h:

  • 3) Сечения плоскостями z = h:
  • Это уравнение определяет эллипс при любом h.
  • При h = 0 полуоси эллипса будут наименьшими.
  • Этот эллипс называют горловым эллипсом
  • однополостного гиперболоида.

Замечание.

  • Замечание.
  • Уравнения
  • определяют однополостные гиперболоиды,
  • но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Двуполостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Двуполостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
  • где a, b, cположительные константы.
  • Система координат, в которой двуполостный гиперболоид имеет уравнение (3) называется его канонической системой координат,
  • а уравнение (3) – каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Величины a, b и c называются полуосями двуполостного гипербо- лоида.

  • Величины a, b и c называются полуосями двуполостного гипербо- лоида.
  • Если a = b, то двуполостный ги- перболоид является поверхностью вращения. Он получается в резуль- тате вращения вокруг своей действительной оси гиперболы

  • Двуполостный гиперболоид имеет центр симметрии
  • O(0; 0; 0)
  • и три плоскости симметрии xOy, xOz, yOz.

ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ДВУПОЛОСТНОГО ГИПЕРБОЛОИДА

  • 1) Сечения плоскостями x = h:
  • При любом h это уравнение определяет гиперболу, с действительной осью || Oz.

2) Сечения плоскостями y = h:

  • 2) Сечения плоскостями y = h:
  • При любом h это уравнение определяет гиперболу, с действительной осью || Oz.

3) Сечения плоскостями z = h:

  • 3) Сечения плоскостями z = h:
  • Это уравнение определяет
  • а) при | h | > c – эллипс (причем, чем больше | h |,
  • тем больше полуоси эллипса);
  • б) при | h | = c – точку C2,1(0; 0; c);
  • в) при | h | < c – мнимую кривую.

Замечание.

  • Замечание.
  • Уравнения
  • тоже определяют двуполостные гиперболоиды, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.

  • <number>

Определение Эллиптический параболоидповерхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением

  • Определение Эллиптический параболоидповерхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, определяется уравнением
  • <number>

Параболоиды

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллиптическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
  • где a, bположительные константы.
  • Система координат, в которой эллиптический параболоид имеет уравнение (5) называется его канонической системой координат, а уравнение (5) – каноническим уравнением эллиптического параболоида.
  • Эллиптический параболоид имеет две плоскости симметрии xOz, yOz.

Величины a и b называются параметрами параболоида. Точка O называется вершиной параболоида.

  • Величины a и b называются параметрами параболоида. Точка O называется вершиной параболоида.
  • Если a = b, то параболоид является поверхностью вращения. Он получа- ется в результате вращения вокруг оси Oz параболы
  • Эллиптический параболоид это поверхность, которая получается при движении одной параболы вдоль другой (вершина параболы скользит по параболе, оси подвижной и неподвижной параболы параллельны, ветви направлены в одну сторону).

ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПАРАБОЛОИДА

  • 1) Сечения плоскостями x = h:
  • При любом h это уравнение определяет параболу. Ее ось || Oz, ветви направлены вверх, параметр p = b2. При h  0 вершина параболы смещена вверх.

2) Сечения плоскостями y = h:

  • 2) Сечения плоскостями y = h:
  • При любом h это уравнение определяет параболу. Ее ось || Oz, ветви направлены вверх, параметр p = a2. При h  0 вершина параболы смещена вверх.

3) Сечения плоскостями z = h:

  • 3) Сечения плоскостями z = h:
  • Это уравнение определяет
  • а) при h > 0 – эллипс (причем, чем больше h,
  • тем больше полуоси эллипса);
  • б) при h = 0 – точку O (0; 0; 0);
  • в) при h < 0 – мнимую кривую.

Замечания:

  • Замечания:
  • 1) Уравнение
  • тоже определяет эллиптический параболоид, но «развер- нутый» вниз.
  • 2) Уравнения
  • определяют эллиптические параболоиды, с осями симметрии Oy и Ox соответственно.

  • Определение Гиперболический параболоид – поверхность определяемая уравнением
  • <number>
  • Ввиду схожести гиперболический
  • параболоид
  • называют «седлом».
  • Гиперболический параболоид имеет две плоскости симметрии xOz, yOz.

  • Величины a и b называются параметрами параболоида.
  • Гиперболический параболоид это поверхность, которая получается при движении одной параболы вдоль другой (вершина параболы скользит по параболе, оси подвижной и неподвижной параболы параллельны, ветви направлены в разные стороны).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
  • где a, bположительные константы.
  • Система координат, в которой гиперболический параболоид имеет уравнение (6) называется его канонической системой координат, а уравнение (6) – каноническим уравнением гиперболического параболоида.

ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ПАРАБОЛОИДА

  • 1) Сечения плоскостями x = h:
  • При любом h это уравнение определяет параболу. Ее ось || Oz, ветви направлены вниз, параметр p = b2. При h  0 вершина параболы смещена вверх.

2) Сечения плоскостями y = h:

  • 2) Сечения плоскостями y = h:
  • При любом h это уравнение определяет параболу. Ее ось || Oz, ветви направлены вверх, параметр p = a2. При h  0 вершина параболы смещена вниз.

3) Сечения плоскостями z = h:

  • 3) Сечения плоскостями z = h:
  • Это уравнение определяет
  • а) при h  0 – гиперболу
  • при h > 0 – действительная ось гиперболы || Ox,
  • при h < 0 – действительная ось гиперболы || Oy;
  • б) при h = 0 – пару прямых .

Замечания:

  • Замечания:
  • 1) Уравнение
  • тоже определяет гиперболический параболоид, но «развер- нутый» вниз.
  • 2) Уравнения
  • определяют гиперболические параболоиды, у которых «неподвижные параболы» лежат в плоскости xOy и имеют оси Oy и Ox соответственно.

Определение Цилиндрическая поверхность - поверхность, образованная прямыми (образующими), параллельными некоторой данной прямой и пересекающими данную линию (направляющую).

  • Определение Цилиндрическая поверхность - поверхность, образованная прямыми (образующими), параллельными некоторой данной прямой и пересекающими данную линию (направляющую).
  • <number>
  • Определение Тело, ограниченное замкнутой конечной цилиндрической поверхностью
  • и двумя сечениями, благодаря которым она была получена, называется цилиндром.

Эллиптический цилиндр

  • Эллиптический цилиндр
  • <number>
  • Параболический цилиндр

  • Гиперболический цилиндр
  • <number>

Цилиндры

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Цилиндрической поверхностью (цилиндром) называется поверхность, которую описывает прямая (называемая образующей), перемещающаяся параллельно самой себе вдоль некоторой кривой (называемой направляющей) .
  • Цилиндры называют по виду направляющей: круговые, эллиптические, параболические, гиперболические.

Замечание Цилиндр в некоторой декартовой системе координат задается уравнением, в которое не входит одна из координат.

  • Замечание Цилиндр в некоторой декартовой системе координат задается уравнением, в которое не входит одна из координат.
  • Кривая, которую определяет это уравнение в соответствующей координатной плоскости, является направляющей цилиндра; а образующая – параллельна оси отсутствующей координаты.

Цилиндры

Определение Коническая поверхность- поверхность, образованная прямыми (образующими конуса), проходящими через данную точку (вершину конуса) и пересекающими данную линию (направляющую конуса).

  • Определение Коническая поверхность- поверхность, образованная прямыми (образующими конуса), проходящими через данную точку (вершину конуса) и пересекающими данную линию (направляющую конуса).
  • <number>
  • Конус

Конус

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конусом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
  • где a, b, cположительные константы.
  • Система координат, в которой конус имеет уравнение (4) называется его канонической системой координат, а уравнение (4) – каноническим уравнением конуса.
  • Конус имеет центр симметрии O(0; 0; 0) и три плоскости симметрии xOy, xOz, yOz

Величины a, b и c называются полуосями конуса.

  • Величины a, b и c называются полуосями конуса.
  • Центр симметрии O называется вершиной конуса.
  • Если a = b, то конус является по- верхностью вращения. Он получа- ется в результате вращения вокруг оси Oz прямой

ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ КОНУСА

  • 1) Сечения плоскостями x = h:
  • Это уравнение определяет
  • а) при h  0 – гиперболу, с действительной осью || Oz;
  • б) при h = 0 – пару прямых.

2) Сечения плоскостями y = h:

  • 2) Сечения плоскостями y = h:
  • Это уравнение определяет
  • а) при h  0 – гиперболу, с действительной осью || Oz;
  • б) при h = 0 – пару прямых.

3). Сечения плоскостями z = h:

  • 3). Сечения плоскостями z = h:
  • Это уравнение определяет
  • а) при h  0 – эллипс (причем, чем больше | h |,
  • тем больше полуоси эллипса);
  • б) при h = 0 – точку O (0; 0; 0).

Замечание.

  • Замечание.
  • Уравнения
  • тоже определяют конусы, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.