Презентация "Применение определителей 2 и 3 порядка в решении задач №14 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом"


Подписи к слайдам:
Слайд 1

  • ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 2 И 3 ПОРЯДКА В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ
  • №14 ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ КООРДИНАТНО – ВЕКТОРНЫМ МЕТОДОМ.
  • Выполнил: Каримов Н.Х.
  • учитель
  • МБОУ «Кутлушкинская средняя общеобразовательная школа».

  • СОДЕРЖАНИЕ:
  • 1. Введение.
  • 2. Нахождение угла между плоскостями.
  • 3. Нахождение угла между прямой и плоскостью.
  • 4. Нахождение расстояния от точки до плоскости.
  • 5. Заключение.

  • 1. Введение.
  • Цель данной работы рассмотреть координатно – векторный метод решения
  • задач №14 из ЕГЭ по математике и показать возможность применения
  • определителей третьего порядка для нахождении уравнения плоскости.
  • Метод координат — весьма эффективный и универсальный способ нахождения
  • любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в простран-
  • стве.
  • Данный метод решения заключается во введении (привязке к исследуемым
  • фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся
  • векторов (их длин и углов между ними).
  • Преимущество координатного метода перед альтернативным решением
  • средствами дополнительных построений состоит в том, что удается
  • полностью отстраниться от чертежа и заниматься исключительно числами
  • (координатами).

  • 2. Нахождение угла между плоскостями.
  • Величина двугранного угла измеряется величиной соответствующего линейного угла(рис.1.).
  • Чтобы построить линейный угол двугранного угла, нужно взять на линии пересечения плоскостей произвольную точку, и в каждой плоскости провести к этой точке луч перпендикулярно линии пересечения плоскостей. Угол, образованный этими лучами и есть линейный угол двугранного угла:
  • Рис.1. Угол между плоскостями.

  • В высшей математике есть такое правило, которое позволит нам с легкостью
  • решать задания данного типа методом координат.
  • Угол между двумя плоскостями в пространстве равен модулю угла между
  • нормалями к этим плоскостям.
  • Таким образом, если мы найдем координаты вектора нормали, то воспользовавшись формулой косинуса угла между векторами, известной из школьного курса геометрии, найдем искомый угол.

  • Уравнение плоскости имеет вид
  • В этом уравнении плоскости коэффициенты А, В, С – координаты вектора
  • нормали к плоскости (то есть вектора, перпендикулярного плоскости).
  • Нахождение координат вектора нормали.
  • Рис.2. Нормаль к плоскости.

  • Для составления уравнения плоскости можно использовать определитель
  • третьего порядка, который можно посчитать по формуле разложения по строке.
  • Уравнение плоскости проходящей через точки
  • в координатной форме будет иметь вид:
  • Нахождение уравнения плоскости через определитель.
  • Если совместить точку М1 с началом координат то определитель упроститься

  • Определителем квадратной матрицы называется число, которое может быть
  • вычислено по элементам матрицы по формуле разложения по первой строке:
  • Нахождение определителя.
  • где М1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием
  • первой строки и k – го столбца.
  • Для матрицы второго порядка определитель вычисляется по формуле:
  • Для матрицы третьего порядка определитель вычисляется по формуле:

  • Заданы точки: , , найдем уравнение плоскости и вектор
  • нормали.
  • - уравнение плоскости проходящее через точки А, В, С.
  • Вектор нормали
  • Пример нахождения уравнения плоскости и вектора нормали.

  • После того, как мы нашли координаты векторов нормалей двух плоскостей, угол
  • между двумя пересекающимися плоскостями можно вычислить как угол между
  • нормалями по формуле:
  • где
  • - вектор нормали плоскости
  • ,
  • - вектор нормали плоскости
  • Угол между нормалями в координатной форме.
  • ,

  • Алгоритм решения задач на нахождение угла между плоскостями:
  • На рисунке изображаем указанные в задаче плоскости
  • 2. Вписываем фигуру в систему координат
  • 4. Находим уравнения заданных плоскостей
  • 5. Находим координаты вектора нормали к плоскостям
  • 6. Подставляем в формулу "косинус угла между плоскостями"
  • 7. После чего (если требуется в задаче), зная косинус, находим значение
  • самого угла.
  • Для того, чтобы лучше понять алгоритм решения данных типов задач,
  • лучше рассмотреть решение самых простых из них.
  • Ниже будут приведены решения именно таких заданий.

  • Задача 2. 1.
  • В правильной треугольной призме , все ребра которой равны 1, найдите
  • косинус угла между плоскостями и .
  • Решение
  • Впишем призму в декартову систему координат как показано на рис.3. Для
  • нахождения угла между заданными плоскостями нам необходимо найти
  • координаты векторов нормали к этим плоскостям.
  • Найдем уравнение плоскости .
  • Найдем координаты точек, задающих
  • указанную плоскость: , ,
  • .
  • Рис.3. Треугольная призма.

  • Найдем уравнение плоскости.
  • Умножив каждое слагаемое на (-2) получим уравнение плоскости:

  • 2. Найдем уравнение плоскости . Найдем координаты точек, задающих
  • указанную плоскость: , ,
  • Найдем уравнение плоскости.
  • Получили уравнение плоскости

  • 3. Найдем косинус угла между заданными плоскостями.
  • Ответ:

  • 3. Нахождение угла между прямой и плоскостью.
  • Прежде чем переходить к алгоритму решения данного типа заданий вспомним,
  • что же является углом между прямой и плоскостью.
  • Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол
  • между этой прямой и её проекцией на данную плоскость (рис.4.).
  • Рис.4. Угол между прямой и плоскостью.

  • На прямой можем выделить вектор, и найти его координаты:
  • Нормаль можем провести к точке пересечения прямой и плоскости.
  • Вектор нормали будет иметь следующие координаты:
  • Тогда можем найти
  • ,но нам нужен
  • Из рисунка видно, что
  • значит
  • Т.е получили

  • Алгоритм решения задач на нахождение угла между прямой и
  • плоскостью:
  • 1. На рисунке изображаем указанные в задаче прямую и плоскость (прямой
  • придаем направление, т.е. вектор)
  • 2. Вписываем фигуру в систему координат
  • 3. Находим координаты концов направляющего вектора.
  • 4. Находим координаты вектора
  • 5. Находим координаты вектора нормали к плоскости
  • 6. Подставляем в формулу "синус угла между прямой и плоскостью"
  • 7. После чего (если требуется в задаче), зная синус, находим значение
  • самого угла.

  • Задача 3.1.
  • В правильной четырехугольной пирамиде ABCD, все ребра которой равны 1,
  • найдите синус угла между прямой BE и плоскостью SAD, где - E середина
  • ребра SC .
  • Решение
  • Впишем правильную четырехугольную пирамиду ABCD, в декартову систему
  • координат как показано на рис. 5.
  • Рис.5. Правильная четырехугольная пирамида.

  • Для нахождения угла между заданной прямой и плоскостью нам необходимо
  • найти координаты вектора принадлежащего прямой BE и координаты нормали
  • плоскости SAD.
  • Найдем координаты точек, задающих указанную плоскость:
  • 1. Найдем уравнение плоскости и координаты вектора нормали.

  • 2. Найдем координаты вектора
  • .
  • т.к
  • 3. Найдем синус угла между прямой и плоскостью.
  • Ответ:

  • 4. Нахождение расстояния от точки до плоскости.
  • Для начала выясним, что называется расстоянием от точки до плоскости.
  • Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина
  • отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость (рис.6.) .
  • Рис.6. Расстояние от точки до плоскости.

  • Итак, для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости нам необходимо
  • найти координаты точки, и координаты нормали данной плоскости. После чего
  • воспользоваться следующей формулой:
  • - уравнение плоскости
  • - координаты заданной точки
  • , где

  • Алгоритм решения задач на нахождение расстояния от точки
  • до плоскости:
  • На рисунке отмечаем указанные в задаче точку и плоскость.
  • 2. Вписываем фигуру в систему координат.
  • 3. Находим координаты точек (данной и трех точек плоскости).
  • 4. Составляем уравнение плоскости .
  • 5. Находим координаты вектора нормали плоскости.
  • 6. Подставляем в формулу "расстояние от точки до плоскости"

  • Задача 4.1.
  • В правильной шестиугольной призме АВ …F1 все ребра которой
  • равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости BFE1 .
  • Для нахождения расстояния между заданной точкой и плоскостью нам
  • необходимо найти координаты точки A и координаты нормали плоскости
  • BFE1.
  • Рис.7. Правильная шестиугольная призма.

  • Найдем уравнение плоскости BFE1. Найдем координаты точек, задающих
  • указанную плоскость:
  • Воспользовавшись понятием определителя найдем уравнение плоскости.
  • Получили уравнение плоскости:

  • 2. Координаты точки А(0,0,0).
  • 3. Расстояние от точки А до плоскости BFE1 находим по формуле:
  • Ответ:

  • 5. Заключение.
  • Решение вышеприведенных задач показывает возможность совместного
  • применения координатно – векторного метода и понятия определителей
  • для упрощения вычислений и экономии времени.
  • Спасибо за внимание!

Литература

  • Литература
  • 1. В.В.Леваков Решение заданий С2 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом.
  • 2. Л.С.Атанасян Геометрия 10 -11класс