Презентация "Метод мажорант" 11 класс


Подписи к слайдам:
Справочное пособие по геометрии

Метод мажорант.

  • Школьникам
  • Учителям
  • Землянова Н.В.,
  • учитель математики
  • МБОУ «Гимназия №131»
  • г.Барнаул 2012

В материалах, предлагаемых выпускникам для решения на едином государственном экзамене, есть задачи, требующие специальных методов решения, которые, к сожалению, не изучаются в школе. Один из таких методов-метод мажорант. Красивейший способ решения сложных задач.

  • В материалах, предлагаемых выпускникам для решения на едином государственном экзамене, есть задачи, требующие специальных методов решения, которые, к сожалению, не изучаются в школе. Один из таких методов-метод мажорант. Красивейший способ решения сложных задач.

Содержание.

  • Определение мажоранты функции
  • Примеры функций, имеющих мажоранту
  • Метод мажорант
  • Примеры решения задач методом мажорант

Определение мажоранты функции.

  • Мажорантой функции f(x) на множестве P называется такое число M, что либо f(x) ≤M для всех x є P, либо f(x) ≥ M для всех x є P.

Примеры функций, имеющих мажоранту.

  • 1.Тригонометрические функции .
  • f(x)=sin x
  • -1≤ sin x ≤ -1
  • M=1, M=-1
  • f(x)=cos x
  • -1≤ cos x ≤ -1
  • M=1, M=-1
  • f(x)=sin x
  • f(x)=cos x
  • M
  • M
  • M
  • M

  • 2.Квадратичная функция.
  • f(x)= ax²+bx+c,
  • (p ; n) -
  • вершина параболы
  • M=n=(4ac-b²)/4a
  • f(x)=-x²-2x
  • M
  • M
  • f(x)=x²- 4x+1

3. Функции, содержащие переменную под знаком модуля.

  • f(x)=|g(x)|
  • 0 ≤|g(x)|<+∞
  • M=0
  • f(x)=|3-2x|
  • f(x)=|-3ctg(x-2)|
  • M
  • M

4. Функции, содержащие переменную под знаком корня.

  • f(x)= √g(x)
  • 0 ≤ √g(x) <+∞
  • M=0
  • M
  • M
  • f(x)= x
  • f(x)= -2ln(3x-4)+3

В более сложных случаях для того, чтобы определить мажоранту, нужно провести исследование функции, применяя различные методы . При этом можно использовать свойства неравенств, некоторые известные равенства и неравенства, определение возрастающей и убывающей

  • В более сложных случаях для того, чтобы определить мажоранту, нужно провести исследование функции, применяя различные методы . При этом можно использовать свойства неравенств, некоторые известные равенства и неравенства, определение возрастающей и убывающей
  • функций и т. д.

Метод мажорант.

  • Теорема1. Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена на этом множестве числом А сверху, а g(x) ограничена на этом множестве тем же числом А, но снизу. Тогда уравнение f(x) = g(x) равносильно системе уравнений
  • Теорема 2. Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) и g(x) ограничены на этом множестве снизу (сверху) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x) + g(x) = A+B равносильно системе уравнений
  • Теорема 3. Пусть f(x) и g(x) – некоторые неотрицательные функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена сверху ( или снизу) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x)·g(x)= А·B равносильно системе уравнений (при условии, что A>0 и B>0)

Примеры решения задач методом мажорант. 1.Найдите область значения функции. ( мажоранту функции) Рассмотрим два способа нахождения области значения для функции

  • 1. Графический.
  • Очевидно, что E (f) =[3;+∞].
  • M
  • 2. Аналитический.
  • Оценим выражение
  • 0 ≤ x² <+∞
  • 1≤ x²+1<+∞
  • 3≤ <+∞
  • E (f) =[3;+∞].
  • Очевидно, что графический
  • способ не всегда удобен, так
  • как может потребоваться
  • строить графики очень
  • сложных функций! Поэтому
  • мы будем учиться решать
  • такие задания аналитически!
  • f(x)=
  • 2
  • 1
  • 3
  • x
  • +
  • 2
  • 1
  • 3
  • x
  • +
  • 2
  • 1
  • 3
  • x
  • +

Найдите область значения функции.

  • Пример.
  • Решение.
  • 0 ≤ 3sin²x ≤ 3
  • 1 ≤ 1 + 3sin ² x ≤ 4
  • 0 ≤ log (1+3sin x) ≤ 2
  • 0,25 ≤ 0,5 ≤ 1
  • E(f) = [ 0,25; 1]
  • Задания для самостоятельной работы.
  • f(x)=
  • 2
  • 2
  • log (1+3sin x)
  • 0,5
  • log (1+3sin x)
  • 2
  • 2
  • 2
  • 2
  • 1) f(x) =
  • 1
  • 1-2
  • 4
  • x
  • 2) f(x) =
  • 3
  • 7
  • log
  • 17+ 16+ lg x
  • 3) f(x) =
  • 8
  • π
  • ( (3sinx-cosx+2))
  • arctg
  • 1
  • 4

2.Решите уравнения.

  • Задания для самостоятельной работы.
  •  
  • Пример.
  • Решение.
  • 3 + 3 = log (4 -|x|)
  • x
  • -x
  • 2
  • 2
  • 1
  • 1
  • 3
  • 3
  • 2
  • log (4-|x|) ≤ 2.
  • 3 + 3 = 2
  • log (4-|x|) = 2
  • ≥ 2 , то
  • x
  • а) Так как
  • б) 4-|x|≤ 4
  • a +
  • x
  • Из а), б) получим
  • a
  • +
  • x
  • ≥ 2.
  • Ю
  • м
  • п
  • п
  • н
  • п
  • п
  • о
  • -x
  • x = 0
  • 1) 2 sinxcosx = sin46º
  • 2) сos²(sinx)=1+ log (x²-6x+10)
  • 3) 2 + 2 = -4x² - x²
  • 1
  • 4)
  • x+1
  • x²- 4x +5
  • 1-x
  • 1
  • 10
  • 1
  • +
  • x²- 4x +29
  • 1,4
  • =

3. Решите неравенства.

  • Пример.
  • Решение.
  • Правая часть неравенства
  • не больше 1, левая –
  • больше 1, значит, корней
  • нет.
  • Задания для самостоятельной работы.
  • cosx - z³ ≥ y² +
  • 3
  • π
  • а) 1≤ cosx ≤ 1
  • - < cosx - z ³ ≤ 1
  • +
  • - ∞< - z ³ ≤ 0
  • б) y² + ≥ >1
  • 3
  • π
  • π
  • 3
  • 1) 2 - 2cosx + y - x²-1 ≤0
  • y
  • 2) 2x + 2- x ² ≥ 3
  • x ² -2x+2
  • 2
  • 3) x² + 4x + 6≤
  • y ² - 6y +10
  • 6
  • 4) cos3x ≤ x +1

4.Различные задания

  • Пример.
  • Найти наибольшее целое
  • значение c, при котором
  • решение неравенства
  • ||2x+4|-7|-13 ≤ 2c ²
  • удовлетворяет условию
  • x є [-37;35].
  • Решение.
  • -37 ≤ x ≤ 35
  • -70 ≤ 2x+4 ≤ 74
  • 0 ≤│2x+4│≤ 74
  • 0 ≤ ││2x+4│-7│≤ 67
  • -13 ≤ ││2x+4│-7│-13 ≤ 54
  • Для выполнения неравенства,
  • надо, чтобы -13≤2с²≤54.
  • То есть наибольшее целое
  • с=5.
  • Задания для самостоятельной работы.
  • 1) Найти сумму целых значений
  • функции
  • 2) Из множества значений функции
  • удалили целые числа. Сколько
  • получилось числовых
  • промежутков?
  • 2
  • f(x)=3 36cos x -12sinx + 27
  • 2
  • sin2x + cos2x
  • f(x)= 3+ 4arcsin

Пример задания группы С (С 3, ЕГЭ 2011).

  • Решите неравенство
  • Решение.
  • Так как, левая часть неравенства не больше1, а правая -
  • равна 1, то
  • 7 · log (6x-x ² -7) ≥ 1
  • 2
  • -|x- 3|
  • a) 0 < 7 ≤ 1
  • -|x-3|
  • б) log (6x-x ²-7)=log (2-(x-3) ²) ≤ log 2 =1
  • 2
  • 2
  • 2
  • м
  • п
  • п
  • н
  • п
  • п
  • о
  • log (6x-x ² -7) =1
  • 2
  • 7 = 1
  • -|x- 3|
  • x = 3

Решите самостоятельно задание C3.

  • 1. (2011 г.) cos ²(x+1) · lg(9-2x-x ²) ≥1.
  • 2. ( ЕГЭ 2012. Типовые тестовые задания.
  • Под редакцией А. Л. Семенова, И. В. Ященко)
  • м
  • п
  • п
  • н
  • п
  • п
  • о
  • 25 + 3 ·10 -4 · 4 > 0
  • x
  • x
  • x
  • log (x ² -12|x|+37) - log (x ² -12|x|+37 )≥ 0
  • 1-
  • 37
  • 1+
  • 37
  • Удачи в изучении математики!