Презентация "Логарифм. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства"

Подписи к слайдам:
  • Айшаева Фердаус Сулеймановна – учитель математики и информатики первой квалификационной категории МОУ СОШ с.Карасу Кабардино-Балкарской Республики
  • email: aiferdaus@mail.ru
  • Тема урока:
  • Цель урока:
  • - обобщение и систематизация знаний, навыков и умений по теме.
  • Задачи:
  • - повторить определение логарифма, основное логарифмическое тождество, простейшие свойства логарифмов, определение и свойства логарифмической функции;
  • - закрепить способы решения логарифмических уравнений и неравенств;
  • - развивать вычислительные навыки, навыки самостоятельной работы, самоконтроля, навыки работы с различными источниками информации, а также познавательный интерес к предмету и логическое мышление;
  • - воспитывать информационную культуру учащихся, аккуратность, дисциплинированность.
  • Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, Интернет-ресурсы.
  • «Логарифм. Логарифмическая функция.
  • Логарифмические уравнения и неравенства.»
  • Определение логарифма:
  • Логарифмом положительного числа b по положительному и не равному единице основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b:
  • loga b=x, ax =b, где а > о, а ≠ 1, b >0, x Є R,
  • Основное логарифмическое тождество
  • Свойства логарифмов:
  • 1. Логарифм единицы по основанию а равен нулю:
  • loga1 = 0
  • 2. Логарифм а по основанию а равен 1:
  • logaa =1
  • 3. Cумма логарифмов равна логарифму произведения :
  • logaх + logaу = loga(xy), при x>0 и y>0
  • 4. Разность логарифмов равна логарифму частного:
  • logaх - logaу = loga(x/y), x>0 и y>0
  • 5. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени:
  • logaxp =plogax , х>0
  • для любого действительного числа р.
  • 6.
  • для любых действительных m и n
  • 7. Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию:
  • 8.
  • Логарифмическая функция
  • Определение:
  • функция, заданная формулой у = logax,
  • где а > 0 и а  1,
  • называется логарифмической функцией.
  • у
  • х
  • 0
  • 1
  • 2
  • - 1
  • - 2
  • 1
  • 2
  • 3
  • 3
  • 4
  • 4
  • a > 1
  • 0 < a < 1
  • У = logax
  • У = logax
  • Свойства логарифмической функции
  • y
  • x
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • -5
  • -5
  • 5
  • -4
  • -4
  • 4
  • -3
  • -3
  • 3
  • -2
  • -2
  • 2
  • -1
  • -1
  • 1
  • y = logax
  • a > 1
  • y = logax
  • 0< a < 1
  • 1. Область определения функции:D(f)=(0;+ )
  • 2. Область значений функции:E(f)=(- ;+ )
  • 3. Функция возрастает на всей области определения при а >1;т.е.
  • 4. Функция убывает на всей области определения при 0 < а < 1; т.е.
  • y
  • x
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • -5
  • -5
  • 5
  • -4
  • -4
  • 4
  • -3
  • -3
  • 3
  • -2
  • -2
  • 2
  • -1
  • -1
  • 1
  • y = logax
  • a > 1
  • y = logax
  • 0< a < 1
  • 4.
  • 5. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений
  • 6. Непрерывна
  • 7. Не является ни четной, ни нечетной
  • Алгоритм решения логарифмических уравнений
  • Найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной;
  • Решить уравнение выбрав метод;
  • Проверить найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение или выяснить удовлетворяют ли эти корни условиям ОДЗ.
  • У кошки маленький котеночек подрос.
  • — Как дальше быть? — возник вопрос.
  •  Решила мать, что в пору
  • Отдать котенка в школу.
  •         И вот за партой в классе
  •         Сидит пушистый Вася.
  •         С усердием большим,
  •         Как приказала мать,
  •         Принялся кот науку постигать.
  • С терпеньем изучал,
  • По пунктам и по темам,
  • Строение мышей по графикам и схемам.
  •     Решал он, чуть не плача,
  •         И про бассейн задачу.
  •         Сколь вытечет сметаны,
  •         Когда открыть все краны.
  • И через 10 лет, науками богат,
  • Понес наш кот домой
  • Из школы аттестат.
  • И у какой-то горки
  • Мышонок вылезал из норки.
  •         Но как его схватить?
  •         Нельзя же прыгнуть сразу —
  •         Тут надо применить
  •         Научных знаний базу.
  •  V — скорость, ускоренье — а,
  • И брызги сыплются с пера.
  • Затем привел он, глядя в книгу,
  • К логарифмическому виду.
  •         Потом в системе «це, ге, ес»
  •         Нашел его удельный вес.
  •         Вписал последнюю строку
  •         И приготовился к прыжку.
  • Пока ученый кот
  • Над уравненьем бился,
  • Мышонок — неуч
  • В норке скрылся.
  • Запомните, друзья, соль истины такой:
  • Теория мертва без практики живой.
  • Рассмотрим несколько заданий на применение логарифмов из открытого банка задач ЕГЭ 2011г.
  • В задания B3 ЕГЭ включены простейшие
  • логарифмические уравнения
  • АДРЕС САЙТА
  • http://www.mathege.ru:8080/or/ege/Main
  • ЗАДАНИЯ B7 включают в себя показательно-логарифмические выражения.
  • http://www.mathege.ru:8080/or/ege/Main
  • Решить уравнение log3(2-x)-log3(2+x)-log3 x+1=0
  • Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:
  • log3(2-x)+1=log3(2+x)+log3 x
  • log3(2-x)+log33 =log3(2+x)+logx
  • log3(2-x)3 =log3(2+x)x
  • 6-3x=2x+x2
  • X2+5x-6=0
  • X1=-6; x2=1
  • x1=-6 не входит в ОДЗ и является посторонним корнем.
  • Ответ:1
  • ОДЗ:
3) Решить уравнение
  • Так как корнями уравнения являются значения x принадлежащие интервалу (1/2;+∞), то и 3/2, и 16 принадлежат ОДЗ.
  • Ответ: 1,5; 16
  • ОДЗ:
  • Преобразуем данное уравнение
Решим систему уравнений
  • Так как выражение содержащееся под знаком логарифма должно быть всегда больше нуля, следовательно, x>0, y>0, значит y2=-2 не является корнем данной системы. Подставим во второе уравнение значение y1=3/2 и решим его.
  • Ответ: 1,5; 3
  • Решить неравенство log1/2(x2+2x-8)≥-4 Так как логарифмическая функция с основанием меньшим единицы является убывающей, то для всех logа f(x)>logаg(x) f(x)< g(x), 0<a<1, f(x)>0, g(x)>0 x<-4, x>2 Неравенство можно записать в следующем виде: log1/2(x2+2x-8)≥log1/216 Так как логарифмическая функция с основанием ½ является убывающей, то для всех x из области определения неравенства получаем (x2+2x-8)≤16 Таким образом, исходное неравенство равносильно системе неравенств
  • Ответ:
  • Решить уравнение типа С3 ЕГЭ 2011г.
  • ОДЗ:
  • Задание типа С4
  • В треугольнике АВС АВ=12, ВС = 6, СА = 10. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC = 2:7. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.
  • А
  • В
  • С
  • E
  • Q
  • F
  • Докажем сначала утверждение, что если окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его стороны СВ в точке F, то
  • Доказательство. Пусть Q и Е –точки касания вписанной окружности треугольника АВС со сторонами АC и AB. Тогда QC=СF, FB=BE, AE=AQ
  • Найдем полупериметр треугольника:
  • x
  • x
  • y
  • y
  • z
  • z
  • Выразим x через стороны треугольника, тогда
  • Решение.
  • А
  • В
  • С
  • Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС и точка D лежит вне отрезка ВС.
  • D
  • А
  • В
  • С
  • D
  • F
  • E
  • E
  • F
  • y
  • x
  • А
  • В
  • С
  • D
  • Рассмотрим 1 случай.
  • Найдем:
  • Значит,
  • Из ADC,
  • Из ADВ,
  • E
  • F
  • d
  • y
  • x
  • ВС=6
  • АВ=12
  • АС=10
  • Значит,
  • Из ADC,
  • Из ADВ,
  • А
  • В
  • С
  • D
  • F
  • E
  • Рассмотрим 2 случай: Точка D лежит на прямой ВС, тогда
  • x
  • y
  • d
  • Ответ:
  • или
  • 4
  • Литература
  • 1.http://www.mathege.ru:8080/or/ege/Main
  • 2. http://www.ctege.org
  • 3. http://www.ucheba.pro
  • Спасибо за урок!