Ученики на Учителя.com


МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
ЦЕНТРАЛЬНОЕ ОКРУЖНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
ДЕПАРТАМЕНТА ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
«ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ № 2»
РАССМОТРЕНО УТВЕРЖДАЮ
На заседании ПЦК_________ Руководитель методической службы
Протокол № ______________ _____________С.Н. Гришина
«__» ______________20___ «____» ______________ 20___
Пре5дседатель ПЦК
________ / Потрясилова М. В.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ
По дисциплине МАТЕМАТИКА
Разработал преподаватель: Потрясилова М. В.
Москва 2015
Организация внеурочных самостоятельных работ
Дисциплина: «Математика»
Раздел
Количес
тво
часов
Вид работы
Цель
Контроль
1. Развитие
понятия о числе
10
Подготовка
сообщения по теме
«Математика в науке,
технике, экономике»
Дополнительно
е изучение
практического
применения
математики в
жизни
Проверка
преподавателем
темы и
обсуждение на
занятии
2. Корни,
степени,
логарифмы
12
Выполнение
упражнений на
исследование свойств
логарифма
Выработка
умений и
навыков
применения
свойств
логарифма при
решении задач
Проверка
выполнения
индивидуальны
х заданий
3. Прямые
плоскости в
пространстве
11
Составление
алгоритмов решения
задач на вычисления
в геометрии
Выработка
умений и
навыков
составления
алгоритмов
решения
типовых задач
Проверка
преподавателем
и обсуждение в
группах
составленных
индивидуальны
х алгоритмов
4. Элементы
комбинаторики
10
Подготовка
конспекта по теме
«Правила
комбинаторики»
Выработка
умений и
навыков в
применении
правил
комбинаторики
Выполнение
индивидуальны
х заданий
5. Координаты и
векторы
10
Подготовка
сообщения по теме
«Декартова система
координат в
пространстве»
Дополнительно
е изучение
материала
раздела
Проверка
выполнения
сообщений
6. Основы
тригонометрии
10
Заполнение таблицы
значений
тригонометрических
функций
Углубление
ранее
изученного
материала
Проверка
выполнения
индивидуальны
х заданий
7. Функции, их
свойства и
графики
10
Изучение схемы
исследования
функций и
построение графиков
Выработка
умений и
навыков
«чтения» схем
Проверка
преподавателем
и обсуждение на
занятии
8. Многогранники
14
Изготовление
моделей правильных
многогранников
Углубление
раннее
изученного
Проверка
выполнения
индивидуальны
материала
х заданий
9. Тела и
поверхности
вращения
8
Подготовка ответов
на вопросы по теме
«Тела и поверхности
вращения»
Выработка
умений и
навыков
работать с
материалом
учебника
Проверка
выполнения
изученного
письменного
материала
10. Начала
математического
анализа
10
Составление таблицы
производных
Углубление
ранее
изученного
материала
Выполнение
индивидуальны
х заданий
11. Измерения в
геометрии
7
Подготовка ответов
на вопросы по теме
«Измерения в
геометрии (площади,
объемы)»
Углубление
ранее
изученного
материала
Проверка
преподавателем
индивидуальны
х заданий
12. Элементы
теории
вероятностей.
Элементы
математической
статистики
6
Подготовка ответов
на вопросы по теме
«Элементы теории
вероятностей.
Элементы
математической
статистики»
Выработка
умений и
навыков
работать с
материалом
учебника
Проверка
выполнения
изученного
письменного
материала
13. Уравнения и
неравенства
6
Подготовка
сообщения
«Основные приемы
сведения уравнений к
простейшим»
Углубление
ранее
изученного
материала
Проверка
преподавателем
индивидуальны
х заданий
14.
Предэкзаменацио
нное повторение
7
Разбор решений
вариантов
экзаменационных
работ
Повторение
ранее
изученного
материала
Проверка
преподавателем
индивидуальны
х заданий
Итого
131 час
Пояснительная записка
Данная методическая разработка предназначено для организации внеаудиторной
самостоятельной работы по математике.
Целью самостоятельных работ является содействие оптимальному усвоению студентами
учебного материала, развитию их познавательной активности и творческих способностей.
Задачи самостоятельных работ:
углубление и систематизация знаний;
повторение и закрепление изученного материала;
самостоятельная практическая отработка полученных умений и навыков;
подготовка к итоговой государственной аттестации по математике;
развитие аналитико-синтетических способностей умственной деятельности, умений
работать с различной информацией, учебной и научной литературой;
развитие навыков организации самостоятельной работы и контроля за ее
результативностью;
развитие творческих способностей студентов.
Пособие содержит 14 самостоятельных работ, согласно учебному плану и рабочей
программе по математике. Каждая работа примерно рассчитана на 6-10 часов.
В помощь студентам при выполнении работ предложены конкретные алгоритмы,
примеры решения заданий, перечень необходимой литературы, критерии оценивания
работ.
Самостоятельная работа № 1
Тема: Математика в науке, технике, экономике.
Цель: дополнительное изучение практического применения математики в
жизни.
Вид работы: подготовка сообщения по теме
Примерный план сообщения:
1. Математика как основа фундаментальных исследований в естественных и
гуманитарных науках.
2. Новые теории, возникающие в математике.
3. Приложения различных областей математики в физике, химии, геологии, биологии,
медицине, лингвистике, экономике, социологии и др.
4. Математика-орудие количественного расчета, метод точного исследования и
средство предельно четкой формулировки понятий и проблем.
5. Математика- мощное средство решения прикладных задач и элемент общей
культуры.
Критерии оценки выполненной работы
№/№
Критерии
Оценка
1
Содержание отражает глубокое понимание темы, работа
содержит уникальные интерпретации или дополнения
(обобщения, приложения, аналогии)
5
2
Выполнена большая часть работы, в работе
демонстрируется понимание наиболее важных понятий,
но некоторые особенности (подробности) упущены или
неправильно поняты. Включены требуемые
интерпретации и дополнения.
4
3
Выполнены некоторые пункты задания, работа
демонстрирует проблемы в понимании основного
содержания. Информация лишь перефразирована, не
интерпретирована, не дополнена.
3
4
Работа демонстрирует проблемы в основном понимании
содержания. Информация лишь пересказана или
скопированы куски информации
2
Самостоятельная работа № 2
Тема: Корни, степени, логарифмы (свойства)
Цель: Выработка умений и навыков применения свойств логарифма при решении
задач
Вид работы: выполнение упражнений на исследование свойств логарифма
Формулы и свойства логарифмов
Определение
Логарифмом числа по основанию ( ) называется такое число , что , то
есть записи и равносильны. Логарифм имеет смысл,
если .
Если немного перефразировать - Логарифм числа по основанию определяется как
показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получить число (Логарифм
существует только у положительных чисел).
Логарифм в переводе с греческого буквально означает "число, изменяющее отношение".
Специальные обозначения:
1. Натуральный логарифм - логарифм по основанию , где - число Эйлера.
2. Десятичный логарифм - логарифм по основанию 10.
Свойства логарифмов:
1° - основное логарифмическое тождество.
2°
3°
Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю.
Это возможно потому, что из любого действительного числа можно получить 1 только
возведя его в нулевую степень.
4° - логарифм произведения.
Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
5° - логарифм частного.
Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.
6° - логарифм степени.
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.
7°
8°
9° - переход к новому основанию.
Примеры решения задач
Пример
Задание. Вычислить , если
Решение. Перепишем данное выражение, используя свойство логарифма степени и
логарифма произведения:
Ответ.
Критерии оценки выполненной работы
№/№
Критерии
Оценка
1
Выполнено 90% - 100% из заданного варианта
5
2
Выполнено 70%-89% из заданного варианта
4
3
Выполнено 60%-69% из заданного варианта
3
Самостоятельная работа № 3
Тема: Прямые и плоскости в пространстве
Цель: Выработка умений и навыков составления алгоритмов решения типовых
задач
Вид работы: Составление алгоритмов решения задач на вычисления в геометрии
Этапы решения задачи:
1. Чтение условия задачи.
2. Выполнение чертежа с буквенными обозначениями.
3. Краткая запись условия задачи (формирование базы данных).
4. Перенос данных условия на чертёж, выделение элементов чертежа разными цветами.
5. Запись требуемых формул и теорем на черновике ( формирование базы знаний).
6. «Деталировка» - вычерчивание отдельных деталей на дополнительных чертежах.
7. Анализ данных задачи, привязка искомых величин к элементам чертежа.
8. «Синтез» - составление «цепочки» действий (алгоритм решения).
9. Реализация алгоритма решения,
Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
1.Точка М одинаково удалена от всех сторон квадрата ABCD. Расстояние MO от точки М
до его плоскости равно … см, АВ = … см. Вычислите расстояние от точки М до: а) сторон
квадрата; б) вершин квадрата.
Вариант
МО
АВ
Вариант
МО
АВ
1
16
24
16
10
19
2
12
23
17
13
21
3
11
23
18
12
24
4
10
22
19
14
25
5
13
24
20
15
27
6
14
26
21
17
23
7
15
25
22
13
23
8
13
26
23
15
24
9
15
27
24
16
26
10
17
28
25
11
20
11
18
29
26
12
21
12
19
30
27
15
22
13
16
25
28
17
24
14
15
26
29
13
23
15
13
25
30
16
23
2. Прямая ВD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Известно, что
BD =… см, AC =…см, BC = BA = …см. Найдите: а) расстояние от точки D до прямой
AC; б) площадь треугольника ACD.
Вариант
BD
AC
BC =
BA
Вариант
BD
AC
BC = BA
1
8
11
12
16
4
6
9
2
9
12
13
17
5
7
6
3
8
12
14
18
6
5
8
4
7
12
11
19
7
4
6
5
6
10
11
20
8
7
5
6
9
11
10
21
5
8
6
7
8
11
12
22
6
4
5
8
7
11
13
23
4
7
6
9
6
9
10
24
9
8
7
10
5
8
10
25
8
6
5
11
8
9
12
26
6
9
8
12
9
10
13
27
4
5
7
13
10
12
13
28
5
4
5
14
11
11
12
29
8
7
6
15
12
13
14
30
9
6
7
Критерии оценки выполненной работы
№/№
Критерии
Оценка
1
Выполнено 90% - 100% из заданного варианта
5
2
Выполнено 70%-89% из заданного варианта
4
3
Выполнено 60%-69% из заданного варианта
3
Самостоятельная работа № 4
Тема: Элементы комбинаторики
Цель: Выработка умений и навыков в применении привил комбинаторики при
решении задач
Вид работы: Подготовка конспекта по теме «Правила комбинаторики»
Составить конспект по плану:
1. Задача комбинаторики.
2. Правило сложения. Примеры.
3. Правило умножения. Примеры.
4. Перестановки без повторений. Примеры.
5. Перестановки с повторением. Примеры.
6. Размещения без повторений. Примеры.
7. Размещения с повторениями. Примеры.
8. Сочетания без повторений. Примеры.
9. Сочетания с повторениями. Примеры.
Критерии оценки выполненной работы
№/№
Критерии
Оценка
1
Выполнено 90% - 100% из заданного варианта
5
2
Выполнено 70%-89% из заданного варианта
4
3
Выполнено 60%-69% из заданного варианта
3
Самостоятельная работа № 5
Тема: Координаты и векторы
Цель: Дополнительное изучение материала раздела
Вид работы: Подготовка сообщения по теме «Декартова система координат в
пространстве»
Составить конспект по плану:
1. Определение прямоугольной системы координат в пространстве. Оси координат,
их название.
2. Правые и левые системы координат.
3. Что такое орта?
4. Взаимно однозначное соответствие.
5. Разложение вектора по ортам, составляющие вектора.
6. Условие коллинеарности 2-ч векторов.
7. Условие компланарности векторов.
8. Примеры решения задач в прямоугольной системе координат в пространстве.
Критерии оценки выполненной работы
№/№
Критерии
Оценка
1
Выполнено 90% - 100% из заданного варианта
5
2
Выполнено 70%-89% из заданного варианта
4
3
Выполнено 60%-69% из заданного варианта
3
Самостоятельная работа № 6
Тема: Основы тригонометрии
Цель: углубление ранее изученного материала
Вид работы: заполнение таблицы тригонометрических функций при помощи
единичной окружности
Заполнить таблицу значений тригонометрических функций при помощи единичной
окружности. Основные значения тригонометрических функций углов I четверти
приведены в таблице. Расширить таблицу для II, III, IV четвертей при помощи единичной
окружности.
Критерии оценки выполненной работы
№/№
Критерии
Оценка
1
Содержание отражает глубокое понимание темы, работа
содержит уникальные интерпретации или дополнения
(обобщения, приложения, аналогии)
5
2
Выполнена большая часть работы, в работе
демонстрируется понимание наиболее важных понятий,
но некоторые особенности (подробности) упущены или
неправильно поняты. Включены требуемые
интерпретации и дополнения.
4
3
Выполнены некоторые пункты задания, работа
демонстрирует проблемы в понимании основного
содержания. Информация лишь перефразирована, не
интерпретирована, не дополнена.
3
4
Работа демонстрирует проблемы в основном понимании
содержания. Информация лишь пересказана или
скопированы куски информации
2
Самостоятельная работа № 7
Тема: Функции, их свойства и графики
Цель: Выработка умений и навыков исследования функций по алгоритму,
построения графиков и «чтения» графиков
Вид работы: Изучение схемы исследования функций и построение графиков
Исследование функции и построение ее графика
При построении графика функции необходимо провести ее предварительное
исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика
имеет следующую структуру:
1. Область определения и область допустимых значений функции.
2. Четность, нечетность функции.
3. Точки пересечения с осями.
4. Асимптоты функции.
5. Экстремумы и интервалы монотонности.
6. Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.
7. Сводная таблица.
Задачи для исследования
1. На рисунке изображен график функции
()у f x
. Сколько точек минимума имеет
функция?
1) 4 2) 5 3) 2 4) 1
2.На рисунке изображен график производной у
=f ´(x). Найдите точку максимума функции у
=f(x).
1. На рисунке изображен график функции
()у f x
. Сколько точек минимума имеет
функция?
1) 5 2) 3 3) 2 4) 1
2.На рисунке изображен график производной у
=f ´(x). Найдите точку минимума функции у
=f(x).
1) 1 2) 3 3) 2 4) -2
3. На рисунке изображен график производной у
=f ´(x). Сколько точек минимума имеет
функция?
1) 4 2) 5 3) 2 4) 1
4. На рисунке изображен график производной
функции f(x), определенной на отрезке
4;3
.
Найдите промежутки возрастания функции f(x).
В ответе укажите сумму целых точек, входящих
в эти промежутки.
1) 1 2) 3 3) -4 4) -2
3. На рисунке изображен график производной у
=f ´(x). Сколько точек минимума имеет
функция?
1) 5 2) 3 3) 2 4) 1
4.На рисунке изображен график производной
функции f(x), определенной на интервале (-5;5).
Найдите промежутки убывания функции f(x). В
ответе укажите сумму целых точек, входящих в
эти промежутки.
5.На рисунке изображен график производной
функции f(x), определенной на интервале
(-6;6).. Найдите количество точек минимума
функции f(x) на отрезке
3;5
.
5.На рисунке изображен график производной
функции f(x), определенной на интервале(-5;3).
Найдите количество точек экстремума функции
f(x).
№/№
Критерии
Оценка
1
Выполнено 90% - 100% из заданного варианта
5
2
Выполнено 70%-89% из заданного варианта
4
3
Выполнено 60%-69% из заданного варианта
3
Самостоятельная работа № 8
Тема: Многогранники
Цель: Углубление ранее изученного материала
Вид работы: Изготовление моделей правильных многогранников
Рекомендации по изготовлению бумажных моделей
При построении бумажных моделей многогранников рекомендую действовать
следующим образом:
1. Изготовьте чертежи граней. Если вы хотите построить модель среднего размера,
можно просто напечатать чертежи, приведенные на странице, посвященной
соответствующему многограннику. Если же вы хотите построить модель другого
размера, вы должны выполнить чертеж самостоятельно. Будьте очень аккуратны, от
точности чертежа зависит, насколько хорошо подойдут детали.
2. Изготовьте по чертежу трафарет. Для этого наложите чертеж на лист плотного
картона и проколите оба листа в вершинах многоугольника иглой или тонким шилом.
Острым карандашом соедините по линейке полученные проколы. Аккуратно вырежьте
ножом или ножницами трафарет, отступив от карандашной линии примерно на 0.5 см.
3. Выберите материал, из которого вы будете изготавливать модель. Для моделей
среднего размера неплохо подходит плотная чертежная бумага. Хорошо также
использовать тонкий глянцевый картон. Если же вы делаете большую модель, нужно
выбирать более плотный материал, чтобы модель не разрушилась от собственного веса.
Если вы делаете цветную модель, надо использовать цветной материал или
самостоятельно окрасить его до того, как вы сделаете заготовки.
4. По трафарету изготовьте требуемое число заготовок. Для изготовления заготовки
положите трафарет на лист материала, выбранного вами для модели, и сделайте проколы
в вершинах многоугольника. Теперь острым предметом — иглой или шилом — нанесите
между проколами границы и линии сгибов. Если вы используете достаточно толстый
картон, вместо иглы можно воспользоваться очень острым ножом, аккуратно надрезав
картон на треть толщины.
5. Вырежьте детали, оставляя поля-наклейки, которыми части будут соединены,
размером от 0.3 до 0.5 см. Есть несколько технологий соединения деталей (о них сказано
ниже); оставляйте те наклейки, которые требуются при выбранной вами технологии.
Срежьте уголки заготовок так, чтобы разрез прошел точно через прокол.
6. Аккуратно согните заготовки по проведенным вами линиям. Если сгиб очень длинный
(более 8 см) то, чтобы не помять заготовку, воспользуйтесь линейкой, прижав ей
заготовку по линии сгиба.
7. Этот этап можно пропустить, но если вы делаете одноцветную модель, с такой
обработкой она значительно выиграет. Отогнув наклейки, аккуратно окрасьте черной
тушью ребра будущей модели. Чтобы не испачкать заготовки, окрашивайте ребра по
одному, не приступая к следующему, пока не просохло предыдущее. Очень удобно
работать «конвейерным» способом, делая одновременно много одинаковых заготовок —
вы окрашиваете у каждой заготовки по одному ребру, и, когда вы обработаете
последнюю деталь, первая уже полностью высохнет и можно начинать окраску
следующего ребра.
8. Если модель имеет очень острые многогранные углы, дополнительно подрежьте
уголки наклеек. Это не стоит делать преждевременно, иначе будет тяжело акуратно
отогнуть наклейки. Постарайтесь оставлять для склейки как можно больше места.
Срезайте ровно столько, чтобы наклейки не мешали граням и друг другу вблизи вершин
многогранника.
9. Когда все детали готовы, можно приступать к склейке модели. Существуют четыре
способа склейки деталей:
Двойные наклейки. Наклейки сохраняются на каждом ребре каждой детали. Наклейки
приклеиваются друг к другу, оставаясь внутри модели; в результате получаются ребра
двойной толщины. Эти ребра делают модель очень жесткой и прочной.
Одинарные наклейки. Наклейка оставляется только на одной из деталей и приклеивается
к другой. Этот метод плох тем, что склейка получается несимметричной а модель —
неаккуратной. Я не рекомендую пользоваться этим методом. Однако при изготовлении
некоторых моделей при соединении отдельных частей приходится пользоваться именно
этим методом, так как двойную наклейку сделать не удается. Все такие случаи
оговорены в тексте особо.
Склейка «встык». Метод требует очень большой аккуратности. При склейке «встык»
наклейки вообще не оставляются. Детали соединяются без клея, а затем клей густо
наносится на границу между ними. Части необходимо придерживать до высыхания клея.
Этим методом стоит пользоваться только при изготовлении относительно простых
моделей (там, где части легко придерживать до высыхания) из очень плотного
материала. Кроме того, иногда «встык» приходится прикреплять очень мелкие детали —
настолько мелкие, что наклейку сделать практически невозможно.
Склейка дополнительным материалом. Наклейки, так же, как и при склейке «встык», не
делаются. Части скрепляются полоской тонкой бумаги (например, кальки), смазанной
клеем, или скотчем. Таким способом трудно сделать аккуратную модель.
Выбор клея немаловажен. Прежде чем делать модель, проверьте клей на кусочках той
же бумаги, с которой вы собираетесь работать. Необходимо, чтобы клей после
высыхания не коробил бумагу и не оставлял на ней пятен. Кроме того, клей должен
схватываться достаточно быстро (менее минуты, чтобы вам не пришлось придерживать
детали в течении нескольких суток), но не мгновенно (чтобы вы могли немного
сдвинуть уже соединенные детали для достижения аккуратного результата). Последнее,
но очень важное требование — клей не должен быть токсичным. Если вы собираетесь
изготовить модель, вы не сможете работать в вытяжном шкафу и вам поневоле придется
дышать испарениями высыхающего клея.
Из доступных клеев лучше всего использовать ПВА. Этот клей удовлетворяет всем
требованиям. Он бесцветен и не коробит бумагу, схватывается за 10-20 секунд и
совершенно нетоксичен (при высыхании выделяет пары воды). Кроме того, ПВА можно
разбавлять водой до нужной густоты. Дело в том, что иногда (например, при склеивании
крупных деталей) удобнее иметь дело с жидким клеем, который схватывается чуть
медленнее, а в других случаях (для мелких или труднодоступных деталей) хочется,
чтобы клей схватился быстрее. Можно, конечно, пользоваться несколькими разными
клеями, но использование смеси ПВА с водой в нужной пропорции значительно
удобнее. Максимальное рекомендуемое разведение — 1:1, чаще же всего используется
смесь одной части воды на две части клея.
Процедура склейки достаточно проста. Вы наносите равномерно тонкий слой клея на
обе наклейки и соединяете их. Следует чуть-чуть подвигать детали, чтобы клей
равномерно распредилился по наклейкам. После того, как части приведены в правильное
положение, их следует плотно сжать и дождаться, пока клей не подсохнет. Время от
времени надо пользоваться пинцетами или, еще лучше, хирургическими зажимами. Эти
инструменты особенно полезны на завершающих стадиях, когда приходится работать
внутри модели через небольшое отверстие. Кроме того, при постройке сложных моделей
иногда приходится применять широкие плоские зажимы для придерживания наклеек до
полного высыхания клея.
Примеры
Тетраэдр
Тетраэдр принадлежит к семейству платоновых тел, то есть
правильных выпуклых многогранников.Тетраэдр — простейший многогранник, его
граняи являются четыре равносторонних треугольника.Несмотря на свою простоту,
тетрэдр — полноправный представитель семейства платоновых тел.Все его грани —
одинаковые правильные многоугольники, все его многогранные углы равны.
Тетраэдр — пространственный аналог плоского
равностороннего треугольника, поскольку он имеет наименьшее число граней,
отделяющих часть трехмерного пространства. Модель тетраэдра допускает
четырехцветную раскраску, удовлетворяющую принципу раскраски карт. Изготовление
модели начните с четырех заготовок. Не забудьте оставить наклейки с каждой стороны.
Приклейте три заготовки к сторонам четвертой. Вы получите большой треугольник,
состоящий из четырех заготовок. Соедините несклеенные боковые грани и склейте две
из них между собой. Затем покройте клеем оставшиеся наклейки и приклейте
последнюю грань, как бы закрывая коробку. Некоторое время придерживайте модель за
ребра, чтобы внутренние напряжения и клей закончили свое дело.
название тетраэдр невыпуклых граней 0
обозначение 3|2 3
граней 4 грань
ребер 6
вершин 4 количество 4
Додекаэдр
Додекаэдр — представитель семейства платоновых тел, то есть правильных выпуклых
многогранников. Додекаэдр имеет двенадцать пятиугольных граней, сходящихся в
вершинах по три. Этот многогранник замечателен своими тремя звездчатыми формами.
Додекаэдр допускает две интересных раскраски. Первая — раскраска в четыре цвета.
Однако при такой раскраске противоположные грани, лежащие в параллельных
плоскостях, получают различный цвет. Второй вариант — раскраска в шесть цветов, при
которой противоположные грани окрашены одинаково.
Первый вариант раскраски — 4 цвета
Второй вариант раскраски — 6 цветов
Построение модели начинается с приклеивания пяти
пятиугольников к одному центральному пятиугольнику. После этого боковые
пятиугольники склеиваются междк собой — и половина модели готова. Остается
подклеить к ней оставшиеся грани.
название додекаэдр
обозначение 3|2 5
граней 12
ребер 30
вершин 20
невыпуклых граней 0
грань
количество 12
Икосаэдр
Икосаэдр — представитель семейства платоновых тел, то есть правильных выпуклых
многогранников. Икосаэдр имеет двадцать треугольных граней, сходящихся в вершинах
по пять.
Икосаэдр имеет две эффектные пятицветные окраски. Во-первых, он может быть
раскрашен так, чтобы у каждой вершины встречались все пять цветов (но
противоположные грани при этом не будут окрашены одинаково). При другом варианте
окраски противоположные грани окрашены одинаково, но у всех вершин, кроме двух
диаметрально противоположных «полюсов», один из цветов встречается дважды.
Первый вариант раскраски
Второй вариант раскраски
Модель можно начать строить, склеив из пяти треугольников
невысокую пятиугольную пирамиду без основания. К сторонам ее основания
приклеиваются следующие пять треугольников. Между ними вы приклеиваете по
одному треугольнику — в каждой вершине должно сходиться по пять граней. Наконец,
завершая модель, приклейте последние пять треугольников.
название икосаэдр
обозначение 5|2 3
граней 20
ребер 30
вершин 12
невыпуклых граней 0
грань
количество 20
Ромбокубоктаэдр
Ромбокубоктаэдр принадлежит к семейству архимедовых тел,
то есть полуправильных выпуклых многогранников. Название многогранника объясняет
его происхождение — он получается ромбическим усечением кубоктаэдра. Наиболее
естественна окраска этого тела, когда множество квадратных граней разбивается на два
разноцветных подмножества — кубического и ромбического происхождения, а
треугольники, оставшиеся в наследство от октаэдра, получают третий цвет.
Ромбокубоктаэдр особенно интересен связью с псевдоромбокубоктаэдром —
многогранником, также принадлежащим к семейству архимедовых тел, но открытым
только в XX веке.
При построении этой модели можно начать со склейки пяти
квадратов в своеобразный крест. Затем между четырьмя квадратами креста вклеиваются
треугольники, и вы получаете чашу с восьмиугольным верхним краем. К свободным
наклейкам приклеиваются восемь квадратов. После этого модель несложно закончить,
приклеивая детали по одной. Последним приклеивается любой из треугольников.
название ромбокубоктаэдр
обозначение 3 4|2
граней 26
ребер 48
вершин 24
невыпуклых граней 0
грань
количество 8 18
Ромбоусеченный икосододекаэдр
Ромбоусеченный икосододекаэдр принадлежит к семейству
архимедовых тел, то есть полуправильных выпуклых многогранников. Он получается из
икосододекаэдра при ином варианте ромбического усечения, нежели
ромбоикосододекаэдр. Этот многогранник допускает простую окраску — все
десятиугольники, оставшихся от додекаэдра, окрашиваются в один цвет,
унаследованные от октаэдра шестиугольники — во второй, квадраты ромбического
происхождения — в третий.
Для построения модели окружите
десятиугольник попеременно квадратами и шестиугольниками. Присоединяйте
последующие десятиугольники, окружая их кольцами граней двух других типов. В
результате каждые два десятиугольника будут отделены таким кольцом.
название ромбоусеченный икосододекаэдр
обозначение 2 3 5|
граней 62
ребер 180
вершин 120
невыпуклых граней 0
грань
количество 30 20 12
Большой додекаэдр
Большой додекаэдр принадлежит к семейству тел Кеплера-
Пуансо, то есть правильных невыпуклых многогранников. Грани большого додекаэдра
— пересекающиеся пятиугольники. Вершины большого додекаэдра совпадают с
вершинами описанного икосаэдра.
Большой додекаэдр был впервые описан Луи Пуансо в 1809 г.
Модель большого додекаэдра допускает шестицветную раскраску, при которой
параллельные грани получают одинаковый цвет. Эта раскраска удовлетворяет принципу
раскраски карт.
Для изготовления модели соедините заготовки между
собой, чтобы получить 20 треугольных пирамид наклейками наружу. Затем склейте
пирамиды способом, напоминающим способ склейки икосаэдра.
название большой додекаэдр
обозначение 5/2 2|5
граней 12
ребер 30
вершин 12
невыпуклых граней 0
грань
количество 12
Октагемиоктаэдр
Этот многогранник представляет собой ограненный
кубоктаэдр. Иногда его называют также октатетраэдром. Четыре экваториальные
шестиугольные грани многогранника имеют общие ребра с восемью треугольными
гранями.
Другой ограненной формой кубоктаэдра является кубогемиоктаэдр.
Модель допускает окраску в пять цветов, при которой четыре экваториальные
шестиугольные грани окрашиваются в четыре различных цвета, а все внешние
треугольные грани получают пятый цвет. Эта раскраска удовлетворяет принципу
раскраски карт.
Так же, как и при изготовлении модели тетрагемигексаэдра, есть два способа
изготовления этой модели.
При использовании первого метода изготовьте восемь тетраэдров,
оставив на части их ребер пазы, а на части — язычки. Самостоятельно определите, какие
наклейки следует отогнуть, а какие оставить внутри. Соедините заготовки, вставляя
язычки в соответствующие пазы.
При втором методе вы изготавливаете шесть чаш — бездонных пирамид с квадратными
основаниями — и соединяете их наклейками двойной толщины. В последнюю очередь
подклеиваются внешние треугольные грани.
название октагемиоктаэдр
обозначение 3/2 3|3
граней 12
ребер 24
вершин 12
невыпуклых граней 0
грань
количество 8 4
Малый битригональный икосододекаэдр
Этот многогранник состоит из 12 пентаграмм на гранях
додекаэдра и 20 треугольников на гранях икосаэдра. Легко заметить, что у каждой
вершины грани встречаются тройками в чередующемся порядке, поэтому многогранник
и называется битригональным икосододекаэдром.
Пентаграммы могут быть окрашены в шесть цветов так, что противоположные звезды
будут одноцветными. Для сохранения основного принципа раскраски карт при выборе
красок для треугольных граней необходимо обратиться к второй схеме раскраски
икосаэдра.
Чертеж и описание изготовления модели этого многогранника пока отсутствуют.
название малый битригональный икосододекаэдр
обозначение 3|5/2 3
граней 32
ребер 60
вершин 20
невыпуклых граней 12
грань 3 5/2
количество 20 12
Критерии оценивания выполненной работы
Оценка «5» ставится при условии:
- работа выполнялась самостоятельно;
- материал подобран в достаточном количестве с использованием разных источников;
- работа оформлена с соблюдением всех требований для оформления проектов;
Оценка «4» ставится при условии:
- работа выполнялась самостоятельно;
- материал подобран в достаточном количестве с использованием разных источников;
- работа оформлена с незначительными отклонениями от требований для оформления
проектов
Оценка «3» ставится при условии:
- работа выполнялась с помощью преподавателя;
- материал подобран в достаточном количестве;
- работа оформлена с незначительными отклонениями от требований для оформления
проектов;
Оценочная таблица конечного результата выполнения работы.
Ф.И.
ученика
Самостоятельность
Объём
материала
Оформление
работы
Защита
проекта
Итоговая
оценка
Самостоятельная работа № 9
Тема: Тела и поверхности вращения
Цель: Выработка умений и навыков работать с материалом учебника
Вид работы: Подготовка ответов на вопросы по теме «Тела и поверхности
вращения»
Подготовить ответы на вопросы
I. Ответить на вопросы по теме “Цилиндр”
1. Определение цилиндра. Чертеж (на карточке сделать чертеж с буквенными
изображениями)
2. По чертежу показать и назвать основные элементы цилиндра
3. Как получить цилиндр вращением? Сделать чертеж
4. Сечение цилиндра плоскостями(перечислить, сделать чертеж)
5. Доказать, что осевое сечение цилиндра есть прямоугольник
II. Ответить на вопросы по теме “Конус”
1. Определение конуса. Чертеж (на карточке сделать чертеж с буквенными
изображениями)
2. По чертежу показать и назвать основные элементы конуса
3. Как получить конус вращением? Сделать чертеж
4. Назвать и показать сечение конуса разными плоскостями
5. Доказать, что сечение усеченного конуса плоскостью, проходящей через 2 его
образующие, представляет собой равнобедренную трапецию
III. Ответить на вопросы по теме “Шар. Сфера”
1. Определение шара, сферы. Чертеж (на карточке сделать чертеж с буквенными
изображениями)
2. По чертежу показать и назвать основные элементы шара
3. Доказать, что пересечение шара плоскостью есть круг
4. Доказать, что касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку
касания
5. Уравнение сферы в прямоугольной системе координат
№/№
Критерии
Оценка
1
Выполнено 90% - 100% из заданного варианта
5
2
Выполнено 70%-89% из заданного варианта
4
3
Выполнено 60%-69% из заданного варианта
3
Самостоятельная работа № 10
Тема: Начала математического анализа
Цель: углубление ранее изученного материала
Вид работы: Составление таблицы производных
Изучив теоретический материал, самостоятельно составить таблицу производных и
разобрать примеры
Операция отыскания производной называется дифференцированием.
В некоторых языках нашей планеты слово "производная" означает то же самое, что
"потомок". В данном случае - "потомок" функции. Рождение потомства у функций
происходит по таблице производных и по строго определённым правилам
дифференцирования, которым и посвящена данная статья. "А там они откуда?", - спросят
самые любознательные. А там они появились при решении задач о "рождении потомства"
у самых простых функций по определению производной через приращение аргумента
функции и приращение функции.
Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на
составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение,
сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций
находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного
- в правилах дифференцирования. Составьте таблицу производных после первых двух
разобранных примеров.
Пример 1. Найти производную функции
.
Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть
сумма производных функций, т. е.
.
Из таблицы производных выясняем, что производная "икса" равна единице, а производная
синуса - косинусу. Подставляем эти значаения в сумму производных и получаем искомую
производную:
.
Пример 2. Найти производную функции
.
Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с
постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:
Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после
ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К
ним мы и переходим прямо сейчас.
Правило 1. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и
функции
причём
т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме
производных этих функций.
Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое,
то их производные равны, т.е.
Правило 2. Если функции
и
дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их
произведение
причём
т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих
функций на производную другой.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна
сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.
Например, для трёх множителей имеем:
Правило 3. Если функции
и
дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо
и их частное u/v , причём
т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность
произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную
знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.
Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как
постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае
постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка,
которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже
нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.
Пошаговые примеры - как найти производную
Пример 3. Найти производную функции
.
Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет
произведение, а его сомножители - суммы, во второй из которых одно из слагаемых
содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования
произведения:
Далее применяем правило дифференцирования суммы (в нашем случае в каждой сумме
второе слагаемое со знаком минус).
Искомая производная:
Пример 4. Найти производную функции
Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу
дифференцирования частного:
Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также,
что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере
берётся со знаком минус:
Пример 5. Найти производную функции
Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых -
квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы
ознакомились в таблице производных. По перечисленным правилам:
Пример 6. Найти производную функции
Решение. В данной функции видим частное, делимое которого - квадратный корень из
независимой переменной. По перечисленным правилам:
Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на :
Пример 7. Найти производную функции
.
Решение. Применяя правила вычисления производной алгебраической суммы функций,
вынесения постоянного множителя за знак производной и формулу производной степени
(в таблице производных - под номером 3), получим
.
Пример 8. Найти производную функции
Решение. Применим правило дифференцирования произведения, а затем найдём
производные сомножителей, так же, как в предыдущей задаче, пользуясь формулой 3 из
таблицы производных. Тогда получим
Пример 9. Найти производную функции
Решение. Применим правило дифференцирования частного:
Затем, так же как и выше, вычислим производные в числителе. Имеем
Пример 10.Найти производную функции
Шаг1. Применяем правило дифференцирования суммы:
Шаг2. Найдём производную первого слагаемого. Это табличная производная квадратного
корня (в таблице производных - номер 5):
Шаг3. В частном знаменатель - также корень, только не квадратный. Поэтому
преобразуем этот корень в степень:
и далее дифференцируем частное:
Корень из константы, как не трудно догадаться, является также константой, а производная
константы, как мы знаем из таблицы производных, равна нулю:
искомая производная:
Критерии оценки выполненной работы
№/№
Критерии
Оценка
1
Содержание отражает глубокое понимание темы, работа
содержит уникальные интерпретации или дополнения
(обобщения, приложения, аналогии)
5
2
Выполнена большая часть работы, в работе
демонстрируется понимание наиболее важных понятий,
но некоторые особенности (подробности) упущены или
неправильно поняты. Включены требуемые
интерпретации и дополнения.
4
3
Выполнены некоторые пункты задания, работа
демонстрирует проблемы в понимании основного
содержания. Информация лишь перефразирована, не
интерпретирована, не дополнена.
3
4
Работа демонстрирует проблемы в основном понимании
содержания. Информация лишь пересказана или
скопированы куски информации
2
Самостоятельная работа № 11
Тема: Измерения в геометрии
Цель: Углубление ранее изученного материала
Вид работы: Подготовка ответов на вопросы по теме «Измерения в геометрии
(площади, объемы)»
Самостоятельно изучите материал слайдов и найдите дополнительные сведения о
нахождении объемов тел вращения.
Ответить на вопросы:
1. Как изменится объем призмы, если все стороны основания увеличить в 2 раза?
2. Как изменится объем призмы, если высоту уменьшить в 3 раза?
3. Как изменится объем цилиндра, если радиус уменьшится в 2 раза, а высота увеличить в
3 раза?
4. Как изменится объем прямоугольного параллелепипеда, если его длину увеличить в 4
раз, ширину уменьшить в 2 раза, а высоту увеличить в три раза?
5. Как изменится объем куба, если его стороны удвоить?
6. Как изменится объем конуса, если радиус основания уменьшить вдвое?
7. Как изменится объем пирамиды, если площадь основания увеличить в 2 раза?
8. Как изменится объем конуса, если радиус основания увеличится в 3 раза, а высоту
уменьшить в 9 раз?
9. Как изменится объем шара, если его радиус увеличить в 4 раза?
10. Радиус основания первого конуса в 3 раза больше, чем радиус основания второго
конус, а образующая первого конуса в 2 раза меньше, чем образующая второго. Чему
равно площадь боковой поверхности первого конуса, если площадь боковой поверхности
второго конуса равна 36 кв. см?
11. Шар объёмом 10 куб.м. вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.
№/№
Критерии
Оценка
1
Выполнено 90% - 100% из заданного варианта
5
2
Выполнено 70%-89% из заданного варианта
4
3
Выполнено 60%-69% из заданного варианта
3
Самостоятельная работа № 12
Тема: Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики
Цель: Выработка умений и навыков работать с материалом учебника
Вид работы: Подготовка ответов на вопросы по теме «Элементы теории
вероятностей. Элементы математической статистики»
Самостоятельно изучите материал темы
Ответить на вопросы по теории вероятностей и математической статистике
1. Два класса причинных связей в природе и обществе. Место и роль теории вероятностей
среди других математических и прикладных наук. Взаимосвязь теории вероятностей и
математической статистики.
2. Случайные явления и события. Определение массовых случайных событий и
статистической устойчивости. Понятие элементарных событий. Пространство
элементарных событий и примеры его построения. Классическое определение
вероятности событий.
3. Соотношения между событиями. Элементы алгебры случайных событий: операции над
случайными событиями, интерпретация их с помощью понятий теории множеств.
Классический метод вычисления вероятностей.
4. Аксиоматическое определение вероятности события. Определения измеримого
пространства и вероятностного пространства. Свойства вероятностей. Понятия
совместных и несовместных событий. Теорема сложения вероятностей несовместных
событий. Вероятность противоположного события.
5. Условные вероятности, их свойства. Определение независимости событий. Умножение
вероятностей независимых событий. Понятие событий, независимых в совокупности.
Вероятность осуществления хотя бы одного из нескольких, независимых в совокупности
событий. Теорема сложения произвольных событий.
6. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Примеры применения байесовских
методов в эконометрике. Последовательности испытаний. Формула Бернулли.
7. Определение случайной величины. Дискретные случайные величины (ДСВ). Законы
распределения случайных величин, способы задания закона распределения ДСВ.
Интегральная функция распределения ДСВ
8. Числовые характеристики ДСВ: математическое ожидание, отклонение от среднего,
дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Основные свойства числовых
характеристик. Вероятностный смысл математического ожидания и дисперсии. Числовые
характеристики биномиального закона распределения ДСВ.
9. Непрерывные случайные величины (НСВ). Понятие плотности распределения.
Определение и свойства дифференциальной функции распределения НСВ. Интегральная
функция распределения и ее свойства.
1. Предмет математической статистики. Связь теории вероятностей и математической
статистики. Примеры типичных задач математической статистики, встречающихся в
инженерной и экономической практике.
2. Генеральная совокупность, выборка и ее основные характеристики: объем,
представительность, виды отбора выборочной совокупности.
3. Вариационный ряд, статистическое распределение выборки. Полигон частот,
эмпирическая функция распределения. Порядок построения эмпирической функции
распределения.
4. Интервальный статистический ряд распределения. Графическое представление
эмпирической плотности распределения генеральной совокупности с помощью
гистограммы. Порядок построения гистограммы.
5. Основные характеристики выборки: размах выборки, среднее арифметическое, медиана,
мода, статистическая дисперсия и среднее квадратическое отклонение выборки.
Вариационный размах и коэффициент вариации.
№/№
Критерии
Оценка
1
Выполнено 90% - 100% из заданного варианта
5
2
Выполнено 70%-89% из заданного варианта
4
3
Выполнено 60%-69% из заданного варианта
3
Самостоятельная работа № 13
Тема: Уравнения и неравенства
Цель: Углубление ранее изученного материала
Вид работы: Подготовка сообщения «Основные приемы сведения уравнений к
простейшим»
Самостоятельно изучите материал темы на примере тригонометрических
уравнений. Подготовить сообщение на примере линейных, квадратных,
показательных, логарифмических, иррациональных, дробно-рациональных
уравнений.
Критерии оценки выполненной работы
№/№
Критерии
Оценка
1
Содержание отражает глубокое понимание темы, работа
содержит уникальные интерпретации или дополнения
(обобщения, приложения, аналогии)
5
2
Выполнена большая часть работы, в работе
демонстрируется понимание наиболее важных понятий,
но некоторые особенности (подробности) упущены или
неправильно поняты. Включены требуемые
интерпретации и дополнения.
4
3
Выполнены некоторые пункты задания, работа
демонстрирует проблемы в понимании основного
содержания. Информация лишь перефразирована, не
интерпретирована, не дополнена.
3
4
Работа демонстрирует проблемы в основном понимании
содержания. Информация лишь пересказана или
скопированы куски информации
2
Самостоятельная работа № 14
Тема: Предэкзаменационное повторение
Цель: Повторение ранее изученного материала
Вид работы: Разбор решений вариантов экзаменационных задач
Самостоятельно разобрать демонстрационный вариант ЕГЭ
№/№
Критерии
Оценка
1
Выполнено 90% - 100% из заданного варианта
5
2
Выполнено 70%-89% из заданного варианта
4
3
Выполнено 60%-69% из заданного варианта
3
Скачать материал

Педагогика - еще материалы к урокам: